EL LENGUAJE ALGEBRAICO

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1 TEMA 5 EL LENGUAJE ALGEBRAICO ÁLGEBRA, EL ARTE DE LA COSA Como casi todas las palabras actuales que empiezan por al, el término álgebra tiene origen árabe. Se lo debemos a un matemático llamado Al-Khwarizmi, que vivió en el siglo IX. Escribió una obra que ha servido a los matemáticos occidentales durante años. Ese libro se llamaba Al Chéber u Almocábala (algo así como Restauración y oposición) De la primera palabra, Al Chéber, viene álgebra. Este mismo matemático designaba la incógnita con el nombre de sahy (que significa la cosa ). Los algebristas italianos usaban la palabra cosa, y los alemanes llamaban a la incógnita coss. Con estos orígenes no es raro que durante una época el álgebra, es decir, las operaciones para LA EDAD DEL SABIO Cuentan que en la tumba de Diofanto de Alejandría (un matemático que vivió en el siglo IV y al que se considera padre del álgebra) había una inscripción que explicaba, en forma de problema, la edad que tenía el sabio cuando murió. Decía esto: Esta tumba contiene a Diofanto. Oh gran maravilla! Y la tumba dice con arte la medida de su vida. Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el fuego nupcial después de un séptimo, y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero, ay!, niño tardío y desgraciado, en la mitad de la medida de la vida de su padrelo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena cuatro años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida [Escribir texto] Página 63

2 TEMA 5. EL LENGUAJE ALGEBRAICO 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras Al traducir el lenguaje algebraico los términos de un problema, se obtienen expresiones algebraicas: - Un número entero, el anterior y el siguiente: n-1, n y n+1 - Dos números pares consecutivos: n, n+ - la suma de tres enteros consecutivos es 33: n+(n+1)+(n+)=33. Ejemplos: 1. La edad de Ángel, dentro de 5 años, será el doble de la que entonces tenga Isabel: AHORA DENTRO DE 5 AÑOS EDAD DE ÁNGEL x x+ 5 EDAD DE ISABEL y y + 5 Condición del problema: x + 5 = (y + 5). MONOMIOS Un monomio es: GRADO 4º 3 x 4 COEFICIENTE PARTE LITERAL Un monomio tiene un valor numérico dependiendo del valor que tenga la incógnita, por tanto podremos sumar y restar polinomios semejantes (que tengan el mismo grado e igual parte literal) y dividir y multiplicar, como si de números se tratara. IVIDADES: [Escribir texto] Página 64

3 1. Cuál es el grado de cada uno de los siguientes monomios? (el grado de un monomio es el número de factores que forman su parte literal) a) ab c 3 7 b) -3xy c) 4 3 x y 5 z. Halla el valor numérico de los monomios siguientes para x=3, y=-, z=5. a) -6x yz b) 3x c) 4xy d) -5x y z e) yz f) -xz 3 3. Efectúa las siguientes sumas de monomios: a) 5x 3x + 4x 11x + x = b) 3x y 5x y + x y + x y= [Escribir texto] Página 65

4 c) 7x 3 11x 3 + 3y 3 y 3 + y 3 = 4. Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes: a) - 5ab c 3 b) 11x 4 c) x 4. POLINOMIOS. Un polinomio es la suma de dos o más monomios: GRADO DEL POLINOMIO TÉRMINO INDEPENDIENTE 7x 3-3x + 4x 5 TÉRMINO PRINCIPAL Para sumar polinomios lo tenemos que hacer sumando los monomios semejantes y para multiplicar lo haremos como si multiplicamos números. Si sumamos los siguientes polinomios: A(x) = 3x + 5x y B(x) = x 3 + 4x -5 A(x) = 3x + 5x [Escribir texto] Página 66

5 + B(x) = x 3 + 4x -5 A(x) +B(x) = x 3 + 7x + 5x - 9 O lo que es lo mismo: (3x + 5x )+(x 3 + 4x -5) = x 3 + 7x + 5x - 9 Para restar polinomios: A(x) = 3x + 5x - B(x) = -x 3-4x +5 A(x) (B(x) = -x 3 x + 5x +3 O bien: (3x + 5x ) - (x 3 + 4x -5) = -x 3 x 5x +3 Para multiplicar: P(x) = x 3 x + 5x 1 y Q(x) = 3x P(x) = x 3 x + 5x 1 Q(x) = 3x P(x) Q(x) = 3x 5 6x x 3 3x O bien: (x 3 x + 5x 1) (3x ) = 3x 5 6x x 3 3x IVIDADES: 5. Di el grado de cada uno de estos polinomios: a) x 5 6x + 3x +1 [Escribir texto] Página 67

6 b) x + 3x 3 5x + x 3 3 4x 3 6. Sean P(x) = x 4-3x 3 + 5x + 3 y Q(x) = 5x 3 +3x 11. Halla: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q (x) c) Q(x) P(x) 7. Halla los productos siguientes: a) x(x + y + 1) b) x (3x + 5x ) c) ab(a + b) [Escribir texto] Página 68

7 d) 5(3x + 7x + 11) e) x y (x + y + 1) f) -(5x 3 + 3x 8) g) -x (3x 5x + 8) El producto de dos polinomios: Por ejemplo: P(x) = x 3 4x 1 y Q(x) = 3x - P(x) x 3 4x 1 Q(x) 3x - -4x 3 + 8x + 6x 4-1x 3-3x 6x 4 16x 3 + 8x -3x + PRODUCTO DE - POR P(x) PRODUCTO DE 3x POR P(x) P(x) Q(x) O también: (x 3 4x 1) (3x ) = 6x 4-1x 3-3x- 4x 3 + 8x + = 6x 4 16x 3 + 8x -3x + Sacar factor común: En la expresión: 6x 3 + 3x x la x se repite en todos los sumandos, es factor común a todos ellos. Podemos sacarla fuera del siguiente modo: [Escribir texto] Página 69

8 x (6x + 3x ) de tal manera que si desarrollamos el paréntesis tenemos de nuevo la primera expresión 6x 3 + 3x x = x (6x + 3x ) A esta transformación se le llama sacar factor común. IVIDADES: 8. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante. a) 3 (x 3 5x +7) (x 3 + 6x +11x +4) = b) x(3x 5x + 1) + 5(3x 5x + 1) - 1 x = 4 3 x 3x 5 c) (x 5) y x y d) 6 3 = 6 [Escribir texto] Página 70

9 e) 3(x y 7 4) 10 y 1 3 = g) (x-1) +3(y+4) - (3x 5 y) +9 = h) (3x 3 x + 11) x 3 -(11x 3 + 7x 3x) = 1 h) x 1 3x 6x 6 x 3 11x 31 = 3 [Escribir texto] Página 71

10 9. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones: a) 3x + 6x b) z 4 3z c) 6x d) y 4 3x y x 5 y 4 e) 13x 6 +4x 4-3x 3 e) 4 x 3x 3 5x f) x 3 x + x i) 40x 10x [Escribir texto] Página 7

11 5. IDENTIDADES NOTABLES. Una identidad es una igualdad algebraica que se cumple para cualquier valor de la incógnita. Se llaman identidades notables a las tres siguientes: Cuadrado de una suma Es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo (a+b) =a +b +ab Cuadrado de una diferencia Es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo menos el doble del primero por el segundo (a-b) =a +b -ab Suma por diferencia Es igual a la diferencia de cuadrados (a+b) (a-b) = (a -b ) IVIDADES: 10. Desarrollar: a) (x -7), es el cuadrado de una diferencia, por tanto: (x -7) = (x) + 7 x 7 = 4x x b) (x + 1) = c) (x 1) = d) (x + 3) = [Escribir texto] Página 73

12 e) (5x + ) = f) (5x + y) = g) (x + 1) (x 1) = h) (x +3) (x -3) i) (x -5) (x + 5) 11. Simplifica: a) ( x+3) - [x + (x 3) ] = b) (5x 4) (x +3) 5 = [Escribir texto] Página 74

13 c) 3x ((x +5) (x + 3) +19 = EJERCICIOS: 1. Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones algebraicas: a) A un número se le quita 7 b) El doble de un número mas su cuadrado c) Un múltiplo de 3 menos 1 d) El 0% de un número e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios f) El precio de un pantalón aumentado en un 10% g) Un número impar 0,x x +1 x + x 1,1x x 4x - 3 3x -1 x - 7. Llama x al ancho de la pizarra y expresa su altura en cada caso: a) La altura es la mitad del ancho b) La altura es 0 cm menos que el ancho c) La altura es los tres cuartos del ancho d) La altura es un 0% menor de su ancho 3. Traduce al lenguaje algebraico, empleando una sola incógnita: a) Los tres quintos de un número menos uno b) La suma de tres números consecutivos c) Un múltiplo de tres mas su doble d) La suma de un número y su cuadrado e) El producto de un número por su siguiente 4. Simplifica [Escribir texto] Página 75

14 a) 5x 3x 3 x + 4x 3-3 = b) (x + 5x 7) ( x 6x + 1) = c) (x +5x -7) +3(x +3x -4)= d) 3(x 3-5x +9) (x 3 + 6x - 11x +4) = e) x(3x -5x+1) + 5(3x 1 5x +1) - x 4 = 3 f) 3x (5x 3x) x(4x x 11x 4 = [Escribir texto] Página 76

15 3 x 3x 5 g) h) x 3 1 x 5 1 = 5. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones. a) 3x +6x b) b 4-3b c) 3ab + ab d) 5x +5x e) 16x 4 + 4x [Escribir texto] Página 77

16 f) 6x 3 +9x - 1x 6. Halla los productos siguientes: a) x(x + 3) b) ab (a +b) c) x y (x+y+1) d) x (3x 5x +8) e) 3x y 3 (x-y+1) f) -5(3x +7x +11) [Escribir texto] Página 78

17 h) -x (3x -5x+8) i) x (3x 5x 3 ) j) - 3x (x 15-3x 1-3x 7-5x -3x) 7. M ultiplica: a) (x+7) (x-7) = b) (1+ x) (1 x)= [Escribir texto] Página 79

18 c) (x 1) (x + 1) = d) (4 3x) (4 + 3x)= e) (5x 3) ( 5x +3)= 8. Utiliza las identi notables en los siguientes casos: a) (x +1) b) (x 1) c) (1 x) d) (1 + x) e) (x +3) [Escribir texto] Página 80

19 f) (3 x) g) (x -5) h) (6 x ) i) (x 3 x) j) x 3 k) 1 x 9. E xpresa en forma de producto: a) x + x + 1 [Escribir texto] Página 81

20 b) x x c) 4x + 4x + 1 d) 4x x [Escribir texto] Página 8