BLOQUE II. Álgebra. 7. Polinomios 8. Ecuaciones de 1 er y 2º grado 9. Sistemas de ecuaciones lineales

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1 BLOQUE II Álgebra 7. Polinomios 8. Ecuaciones de er y º grado 9. Sistemas de ecuaciones lineales

2 7 Polinomios. Lenguaje algebraico Dado el cubo de la figura siguiente, halla su área y su volumen en función de x P I E N S A Y C A L C U L A A(x) = 6x V(x) = x x x x Carné calculista 6 : 0,79 C = 45,56; R = 0,0076 Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones coloquiales: a) Un número x aumentado en 5 unidades. b) El lado de un cuadrado mide x metros. Cuánto mide su área? c) Los lados de un rectángulo miden x metros e y metros. Cuánto mide su perímetro? A P L I C A L A T E O R Í A Completa la siguiente tabla: Monomio 7x 5 4x y z 5 6x Coeficiente Grado Monomio 7x 5 4x y z 5 6x a) x + 5 Coeficiente b) A(x) = x Grado c) P(x, y) = x + y En la expresión algebraica: 4xy 5x + 6x, halla los términos, el término independiente, las variables y los coeficientes. Términos: 4xy, 5x, 6x, Término independiente: Variables: x, y Coeficientes: 4, 5, 6, 4 Halla cuáles de los siguientes monomios son semejantes: 5x, 7x, 7x, 9x,8x,x,9x a) 5x, 9x,x b) 7x,8x c) 7x, 9x 86 SOLUCIONARIO

3 5 Completa la tabla para P(x) = 7x 9x Términos Grado Coeficientes Coeficiente principal Término independiente a) P(0) = 6 b) P() = = 0 c) P(5) = = 4 d) P( 5) = ( 5) 7 ( 5) + 6 = 66 6 Términos 7x, 9x, Grado Coeficientes Coeficiente principal Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x 7x + 6 para los valores que se indican: a) x = 0 b) x = c) x = 5 d) x = 5 Término independiente 7, 9, 7 7 Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores que se indican: a) P(x) = x + x para x = b) P(x) = x 4 7x + 5 para x = c) P(x) = 5x + 6x 4x + 7 para x = a) P() = b) P( ) = c) P() = 4. Operaciones con monomios Aplicando las propiedades de las potencias, calcula: a) a n a p b) a n : a p c) (a n ) p P I E N S A Y C A L C U L A a) a n + p b) a n p c) a n p Carné calculista : = Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 4x 5 x 5 + 8x 5 b) 9x x c) ( x) 4 d) 7x :x a) x 5 b) 9x 6 c) 8x 4 d) 7 A P L I C A L A T E O R Í A 9 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) (7x 5 ) b) 9x + x + 5x c) 5x 4 : ( x) d) 7x ( 5x) x a) 49x 0 b) x c) 5x d) 5x 5 TEMA 7. POLINOMIOS 87

4 0 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) x 5 :x b) 7x ( 7) x 5 c) (x ) d) 7x + x + 6x x a) 4x b) 49x 8 c) 7x 9 d) 0x Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 5x 5 ( x) b) ( x ) 5 c) x 7x + x 5x d) 7x :x a) 5x 6 b) x 5 c) 9x d) x 7 Multiplica los siguientes polinomios por monomios: a) (x 4 5x + 4x + ) x 4 b) (x 6 x 4 + 6x 9) x 5 c) (x 4 + 4x 9x + 5) ( 4x) d) (x 4 7x + x ) ( 5x ) a) x 8 0x 7 + 8x 5 + x 4 b) x 9x 9 + 8x 7 7x 5 c) 4x 5 6x 4 + 6x 0x d) 5x 6 + 5x 5 0x + 60x 4 Elimina los paréntesis y reduce las siguientes expresiones: a) 6x (5x + 4x ) 9x 8 b) 5x 6x (x + 8x 9x 4) c) (5x 7 + x 4x + 8) + 9x d) 9(x 5x + 7) 5(4x 8x + ) a) 9x x 5 b) x + 6x + 8 c) x 7x d) 67x 65x + 58 Extrae todos los factores que puedas como factor común: a) 8x y b) 4x 5 6x c) x 4 + 5x 6x d) 4x y + 6xy xy a) 4(x y) b) x (x ) c) x(x + 5x ) d) xy(x + y ). Operaciones con polinomios Halla el polinomio que calcula el área del siguiente rectángulo: P I E N S A Y C A L C U L A x A(x) = (x + 5)x ò A(x) = x + 5x Carné calculista x + 5 6,4 : 9,7 C = 6,4; R = 0,09 88 SOLUCIONARIO

5 5 Dados los siguientes polinomios: P(x) = 5x 6x + 9 Q(x) = 7x 4 + 5x + 6x calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) a) 7x 4 + 0x b) 7x 4 x + 6 Dados los siguientes polinomios: P(x) = x 5 7x 4 + 9x Q(x) = 5x 4 9x + 7x calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) a) x 5 x 4 + 7x 4 b) x 5 x 4 + 8x 7x 7 Dado el siguiente polinomio: P(x) = 8x 5 + 5x 4 9x + a) halla su opuesto: P(x) b) suma P(x) con P(x). Qué polinomio se obtiene? a) P(x) = 8x 5 5x 4 + 9x b) P(x) P(x) = 0 A P L I C A L A T E O R Í A 8 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x 7x + Q(x) = x + halla el grado del producto. x 0x x + El grado del producto es + = 9 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x 4 5x x + Q(x) = x x + 7 halla el grado del producto. x 6 x 5 + x 4 4x + 5x x + 7 El grado del producto es 4 + = 6 0 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x x 4 Q(x) = x + x 5 halla el grado del producto. x 5 + 7x 4 7x + x 4x + 0 El grado del producto es + = 5 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x + x + Q(x) = x halla el grado del producto. x El grado del producto es + = 4. Igualdades notables Sustituye los puntos suspensivos por el signo de igualdad = o de desigualdad? a) ( + 4) + 4 b) ( + 4) 49 c) (5 ) 4 d) (5 ) 5 P I E N S A Y C A L C U L A a) ( + 4)? + 4 b) ( + 4) = 49 c) (5 ) = 4 d) (5 )? 5 Carné calculista ( ) = TEMA 7. POLINOMIOS 89

6 Calcula mentalmente: a) (x + ) 0 b) (x ) 0 c) (x + ) d) (x ) a) b) c) x + d) x a) x(x + ) b) x(x ) c) (x + 7)(x 7) d) (x + ) e) (x ) A P L I C A L A T E O R Í A Calcula mentalmente: a) (x + ) b) (x ) c) (x + )(x ) a) x + x + b) x x + c) x 4 Calcula mentalmente: a) (x + 4) b) (x 4) c) (x + 4)(x 4) d) (x + 5) e) (x 5) f) (x + )(x ) Calcula: a) ( ) x + b) ( ) x c) ( )( x + ) x a) 9x + x + /4 b) 9x x + /4 c) 9x /4 8 Halla mentalmente la descomposición factorial de: a) x 4 + 6x b) 6x 8x c) x 5 d) x x + e) x + x + x a) x + 8x + 6 b) x 8x + 6 c) x 6 d) x + 0x + 5 e) x 0x + 5 f) x 5 5 Calcula: a) (x + ) b) (x ) c) (x + )(x ) a) 4x + x + 9 b) 4x x + 9 c) 4x 9 6 Halla mentalmente la descomposición factorial de: a) x + x b) x x c) x 49 d) x + 4x + 4 e) x 6x + 9 a) x (x + ) b) x(x 4) c) (x + 5)(x 5) d) (x ) e) x(x + ) 9 0 Halla los cinco primeros números cuadrangulares sabiendo que vienen dados por la fórmula: C(n) = n, 4, 9, 6, 5 Escribe una fórmula, una ecuación y una identidad. Fórmula: Área del cuadrado:a(x) = x Ecuación: x + 5 = 7 Identidad: (x + ) = x + x + 90 SOLUCIONARIO

7 Ejercicios y problemas. Lenguaje algebraico Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones coloquiales: a) El triple de un número x disminuido en 7 unidades. b) Tenía x euros y me han dado 5. Cuánto tengo? c) El lado de un cuadrado mide x metros. Cuánto mide su perímetro? d) Los lados de un rectángulo miden x metros e y metros. Cuánto mide su área? a) x 7 b) x + 5 c) P(x) = 4x d) A(x, y) = xy En la expresión algebraica: 7x y 9xy + 5xy x + halla los términos, el término independiente, las variables y los coeficientes. 4 5 Halla cuáles de los siguientes monomios son semejantes: 7x, 5x, x, 5x,4x,x,9x a) 5x,5x b) 4x,9x c) 7x, x, x Completa la siguiente tabla: P(x) = 9x 4 + 5x 7 Términos Grado Coeficientes Coeficiente principal Términos 9x 4,5x, 7 P(x) = 9x 4 + 5x 7 Grado Coeficientes Coeficiente principal Término independiente Término independiente 4 9,5, Términos: 7x y, 9xy, 5xy, x, Término independiente: Variables: x, y Coeficientes: 7, 9, 5,, 6 Halla el valor numérico del siguiente polinomio: P(x) = x + 5x para los valores que se indican: a) x = 0 b) x = c) x = d) x = Completa la siguiente tabla: Monomio Coeficiente Grado 9x 7x yz 5 8x Monomio Coeficiente Grado 9x 9 7x yz x 8 0 a) P(0) = b) P() = c) P() = d) P( ) = 7 Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores que se indican: a) P(x) = x + 5x 4 para x = b) P(x) = x 4 + 7x para x = c) P(x) = x 5 8x + 5x + para x = d) P(x) = x 5 + 7x 8x + 5 para x = a) P( ) = 6 b) P() = 90 c) P() = d) P( ) = 9 TEMA 7. POLINOMIOS 9

8 Ejercicios y problemas. Operaciones con monomios 8 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 7x 5 4x 5 + 9x 5 b) 5x x c) ( x 5 ) d) 6x : ( x) a) x 5 b) 5x c) 8x 5 d) x 9 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) (x 4 ) b) 5x + x + 4x c) x : ( 4x) d) 6x ( 9x) x a) 7x b) x c) x d) 54x 6 40 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 56x 5 :8x b) 6x ( 9x ) c) x + 5x + 4x d) (x 5 ) a) 7x 4 b) 54x 5 c) 6x d) 4x 0 4 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 6x 4 ( 9x ) b) ( x ) c) 5x 9x + 7x x d) 6x 5 :4x a) 54x 7 b) 7x 9 c) x d) x 4 a) 8x 7 56x x 8x b) 4x 7 56x x 4 6x c) 54x 5 45x 4 + 7x 6x d) 6x x 7 4x 5 + 6x 4 4 Reduce las siguientes expresiones: a) 8x x + + 7x x 5 b) x 6x 5x + 7x 5x 9 c) 7x 8 + 9x x x d) 7x 9x + 6 7x 8x + a) 5x + 5x 4 b) x x 9 c) x + x d) x 6x Elimina los paréntesis y reduce las siguientes expresiones: a) 7x (8x x ) 7x b) x 5x (x + 4x 5x 6) c) (x 5 + 9x 7x + 4) + 0x d) 7 (x 6x + 9) 7 (x 7x + 9) a) x b) 6x + 0x + 8 c) 7x x + d) 56x 6x Extrae todos los factores que puedas como factor común: a) 6x 8y b) 8x x c) 4x 4 + 0x 6x d) 9x y + 6xy xy 4 Multiplica los siguientes polinomios por monomios: a) (x 5 7x + 6x ) 8x b) (x 4 8x + 7x 9) 7x c) (6x 4 + 5x 8x + 7) ( 9x) d) (x 4 9x + 7x 6) ( 6x 4 ) a) (x 4y) b) 4x (x ) c) x (x + 5x ) d) xy(x + y ) 9 SOLUCIONARIO

9 . Operaciones con polinomios 46 Dados los siguientes polinomios: P(x) = 7x 4 5x + Q(x) = 5x 4 + 9x + 4x 0 calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) a) x 4 + 4x + 4x 8 b) x 4 4x 4x + 47 Dados los siguientes polinomios: P(x) = x 4 + 5x + x 9 Q(x) = 4x 4 8x 5x calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) a) x 4 + 5x + 4x 5x b) 6x 4 + 5x + 0x + 5x 6 8x 6 + 4x 5 6x + 56x 44x + 4 El grado del producto es 4 + = 6 5 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = 5x x Q(x) = x + x 4 Halla el grado del producto. 5x 5 + 0x 4 7x 5x + 0x + 4 El grado del producto es + = 5 5 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x x + 4x 8 Q(x) = x + Halla el grado del producto. x 4 6 El grado del producto es + = 4 48 Dado el siguiente polinomio: P(x) = 5x 4 + 7x x + 9 a) halla su opuesto: P(x) b) suma P(x) con P(x). Qué polinomio se obtiene? a) P(x) = 5x 4 7x + x 9 b) P(x) P(x) = 0 49 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x + 4x Q(x) = 5x + Halla el grado del producto. 5x + x 7x 6 El grado del producto es + = 50 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x 4 + x 5x + 7 Q(x) = 4x x + 6 Halla el grado del producto. 5 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x + 5x 7 Q(x) = x 4x + 6 Halla el grado del producto. 6x 5 + 7x 4 8x + 9x + 8x 4 El grado del producto es + = 5 54 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = 7x 4x Q(x) = x + 5x Halla el grado del producto. 4x 5 + 5x 4 x 8x + 7x + El grado del producto es + = 5 55 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x + x + 4x + 8 Q(x) = x Halla el grado del producto. x 4 6 El grado del producto es + = 4 TEMA 7. POLINOMIOS 9

10 Ejercicios y problemas 4. Igualdades notables 56 Calcula mentalmente: a) (x + ) 0 b) (x ) 0 c) (x + ) d) (x ) a) b) c) x + d) x 57 Calcula mentalmente: a) (x + ) b) (x ) c) (x + )(x ) a) x + 4x + 4 b) x 4x + 4 c) x 4 58 Calcula mentalmente: a) (x + ) b) (x ) c) (x + )(x ) a) x + 6x + 9 b) x 6x + 9 c) x a) 9x + 0x + 5 b) 9x 0x + 5 c) 9x Calcula: a) ( ) x + b) ( ) x c) ( )( ) x + x a) 4x + x + /4 b) 4x x + /4 c) 4x /4 Sustituye los puntos suspensivos por uno de los signos = o?: a) (x ) x 6x + 9 b) (x + ) x + 4 c) (x ) x 9 d) (x + ) x + 4x + 4 a) (x ) = x 6x + 9 b) (x + )? x + 4 c) (x )? x 9 d) (x + ) = x + 4x Calcula mentalmente: a) (x + 6) b) (x 6) c) (x + 6)(x 6) a) x + x + 6 b) x x + 6 c) x 6 60 Calcula: a) (x + 5) b) (x 5) c) (x + 5)(x 5) 6 Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes polinomios: a) x + 5x b) x 5x c) x 5 d) x + x + e) x 0x + 5 a) x(x + 5) b) x(x 5) c) (x + 5)(x 5) d) (x + ) e) (x 5) 94 SOLUCIONARIO

11 64 Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes polinomios: a) 6x + 9x b) 8x 4 x c) x d) x 8x + 6 e) x x + x a) x (x + ) b) 4x (x ) c) (x + )(x ) d) (x 4) e) x(x ) 65 Halla los cinco primeros números triangulares, sabiendo que vienen dados por la fórmula: n n t(n) = +,, 6, 0, 5 66 Identifica cada una de las siguientes igualdades como fórmula, identidad o ecuación: a) x = 5 + x b) A(R) = πr c) (x + )(x ) = x 4 a) Ecuación. b) Fórmula del área del círculo. c) Identidad. Para ampliar 67 Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones coloquiales: a) El año pasado me daban x de paga y este año me dan un euro más. Cuánto recibo de paga este año? b) Ayer anduve x y hoy he andado el doble. Cuánto he recorrido hoy? c) Un perro come x y un gato come la mitad. Cuánto come el gato? d) La altura de un rectángulo mide x y la base mide el triple de la altura. Cuánto mide la base? a) x + b) x c) x/ d) x 68 Escribe la expresión algebraica de: a) El siguiente de un número. b) El anterior de un número. a) x + b) x 69 Escribe la expresión algebraica de: a) Un número par. b) Un número impar. c) Tres números pares consecutivos. a) x b) x + c) x, x +, x Escribe la expresión algebraica de: a) Un cuadrado perfecto. b) Un cubo perfecto. a) x b) x 7 Halla mentalmente el valor numérico de los siguientes polinomios para x = 0: a) x x 5 b) 7x + 4x 6x + c) x 4 7x + x 7 d) x 5 + 9x x + Observando los resultados obtenidos, cómo enunciarías una ley para hallar el valor numérico de un polinomio para x = 0? TEMA 7. POLINOMIOS 95

12 Ejercicios y problemas a) 5 b) c) 7 d) El valor numérico de un polinomio para x = 0 es igual al término independiente. 7 Halla mentalmente el valor numérico de los siguientes polinomios para x = : a) x + 5x b) x x + 5x + c) x 4 + 9x 7x 5 d) x 5 x + x + 8 Observando los resultados obtenidos, cómo enunciarías una ley para hallar el valor numérico de un polinomio para x =? a) 4 b) 5 c) 0 d) 0 El valor numérico de un polinomio para x = es igual a la suma de sus coeficientes. 7 Halla mentalmente los valores que anulan los siguientes binomios: a) x 5 b) x + c) x 6 d) x + 5 a) x = 5 b) x = c) x = d) x = Dados el triángulo rectángulo y el cuadrado siguientes, halla sus áreas en función de x x + x Triángulo A(x) = x(x + ) : ò A(x) = x + x Cuadrado A(x) = (x + 5) = x + 0x Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) (5x ) b) 7x x + x c) x : ( x ) d) x ( x) x a) 5x 6 b) 8x c) 4x d) x 6 Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios por monomios: a) (x x + 6x + ) x b) (x 5 + 5x + 7x ) x c) (x 4 x 6x + 7) ( 5x ) d) ( x 4 9x + 7x 6) ( 8x 4 ) a) x 4 9x + 8x + 6x b) x 7 + 0x 5 + 4x x c) 5x 7 + 5x 6 + 0x 4 5x d) 4x 8 + 7x 7 56x x 4 x Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores que se indican: a) x + 6x para x = b) x 5x + x + 4 para x = c) x 4 + x 5x 7 para x = d) x 5 5x + x + para x = a) 5 b) 46 c) 77 d) 5 78 Extrae todos los factores que puedas como factor común: a) 8x x b) 8x 4 + 6x c) x 4 + 4x 6x d) 6x y + 4xy 8xy a) 4x(x ) b) x (4x + ) c) x (x + x ) d) xy(x + y 4) 96 SOLUCIONARIO

13 79 Dados los siguientes polinomios: P(x) = 7x 5x + Q(x) = 4x 4 9x + 4x 7 R(x) = 5x 4 7x + 5x + 6 calcula: a) P(x) + Q(x) + R(x) b) P(x) + Q(x) R(x) c) P(x) Q(x) R(x) a) x 4 9x + 4 x b) 9x 4 + 4x 9x 6x c) x 4 + 4x + 9x 4x + 80 Dados los siguientes polinomios: P(x) = x 7x + 5 Q(x) = x + 6x calcula: P(x) Q(x) 6x 5 + x 4 x 7x + 7x 5 8 Dados los siguientes polinomios: P(x) = x 4 8x + 6 Q(x) = 5x + 7x 9 calcula: P(x) Q(x) 5x 7 x 5 9x 4 6x + 7x + 4x 54 8 Sustituye los puntos suspensivos por uno de los signos = o?: a) (x + 5) x + 5 b) (x + 5) x + 0x + 5 c) (x 4) x 8x + 6 d) (x 4) x 6 a) (x + 5)? x + 5 b) (x + 5) = x + 0x + 5 c) (x 4) = x 8x + 6 d) (x 4)? x 6 8 Calcula: a) (x + /) b) (x /) c) (x + )(x ) a) x + x/ + /9 b) x x + /4 c) x 84 Calcula: a) (x + /) b) (x /) c) (x + 5)(x 5) a) x + x + 9/4 b) x 4/x + 4/9 c) x Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes polinomios: a) x 4 + 8x b) 8x 5 4x 4 c) x 7 d) x x + /4 e) x + x + x a) 6x (x + ) b) 6x 4 (x 4) c) (x + 7 )(x 7 ) d) (x /) e) x(x + ) Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes polinomios: a) 5x 6 + 0x b) 0x 6 0x 4 c) x /4 d) x + 6x + 9x e) x 5 0x 4 + 5x a) 5x (x + 4) b) 0x 4 (x ) c) (x + /) (x /) d) x(x + ) e) x (x 5) TEMA 7. POLINOMIOS 97

14 Ejercicios y problemas 87 Identifica cada una de las siguientes igualdades como fórmula, identidad o ecuación: a) 5 + x 4 = 5x + x b) (x + /)(x /) = x /4 c) V(x, y, z) = x y z a) Identidad. b) Identidad. c) Fórmula. 88 Las siguientes fórmulas corresponden a Geometría. Identifica cada una de ellas: a) P(a) = 4a b) A(a) = a c) L(R) = πr d) A(R) = πr a) Perímetro de un cuadrado. b) Área de un cuadrado. c) Longitud de la circunferencia. d) Área del círculo. Calculadora 89 Dada la fórmula de Herón para el cálculo del área de un triángulo: A(a, b, c) = p(p a)(p b)(p c) p = semiperímetro halla el área de un triángulo cuyos lados miden a = 9 m, b = 8 m y c = 5 m. Redondea el resultado a dos decimales. A = 9,90 m 90 Dada la fórmula del área del rombo: D d A(D, d) = halla el área de uno cuyas diagonales miden D = 7,5 m y d =,8 m. Redondea el resultado a dos decimales. A = 4,5 m 9 Dada la fórmula de la longitud del arco: πr L Arco = n 60 halla la longitud de uno que tiene,5 m de radio y un ángulo de 5.Toma como valor de π el que da la calculadora y redondea el resultado a dos decimales. L = 8,5 m 9 Dada la fórmula del volumen de la esfera: 4 V(R) = πr halla el volumen de una que tiene 6,5 m de radio. Toma como valor de π el que da la calculadora y redondea el resultado a dos decimales. V = 50,5 m Problemas 9 Dados el rombo y el romboide siguientes, halla sus áreas en función de x 94 Dado el ortoedro o paralelepípedo de la siguiente figura, halla el volumen en función de x x + 6 x x 6 Rombo:A(x) = x 8 Romboide:A(x) = x 5x x 5 x V(x) = x 9x x + x 98 SOLUCIONARIO

15 95 El espacio que recorre un coche cuando arranca viene dado por la fórmula: e = (7t t ), donde e se mide en metros, y t, 4 en segundos. Calcula el espacio que recorre en los primeros segundos. e = (7 ) = ( 9) = = m Dada la fórmula del área del triángulo: b a A(b, a) = halla el área de uno de 8 m de base y 9 m de altura. A = 6 m A = 80,84 m 0 Dibuja y halla los cinco primeros números triangulares. 0 t = t = t = 6 t 4 = 0 t 5 = 5 Dibuja y halla los cinco primeros números cuadrangulares Dada la fórmula del área del círculo:a(r) = πr halla el área de uno que tiene 5 m de radio.toma como valor de π =,4, y redondea el resultado a dos decimales. A = 78,50 m 98 Dada la fórmula del área del paralelepípedo u ortoedro:a(a, b, c) = (ab + ac + bc) halla el área de uno en el que a = m, b = 7 m y c = m V = 8 m Dada la fórmula del volumen del cubo:v(a) = a calcula el volumen de uno que tiene 5 m de arista. V = 5 m 00 Dada la fórmula del área de la esfera: A(R) = 4πR halla el área de una que tiene 8 m de radio.toma como valor de π =,4 y redondea el resultado a dos decimales. 0 c = c = 4 c = 9 c 4 = 6 c 5 = 5 Prueba que la suma de dos números impares consecutivos es siempre múltiplo de 4 Dos números impares consecutivos son: n +, n + n + + n + = 4n + 4 = 4(n + ) Se observa que es múltiplo de 4 04 El perímetro de un rectángulo mide 4 m a) Cuánto mide la base más la altura? b) Si la base mide x, cuánto mide la altura? c) Calcula el polinomio que halla el área del rectángulo en función de x d) Calcula el área del rectángulo cuando la base mide 5 m a) m b) Base: x, altura: x c) A(x) = x( x) ò P(x) = x x d) A(5) = 5 5 = 60 5 = 5 TEMA 7. POLINOMIOS 99

16 Ejercicios y problemas 05 El primer polinomio de los números primos de Euler es: P(x) = x + x + 4 Para x = 0,,,, 9, P(x) es un número primo. Halla los 5 primeros números primos que se obtienen aplicando dicho polinomio. 4, 4, 47, 5 y 6 09 Dado un número x: a) halla el siguiente. b) eleva este siguiente al cuadrado y desarrolla el cuadrado. c) observa el resultado y escribe una ley que permita calcular, a partir del cuadrado de un número, el cuadrado del siguiente. d) pon un ejemplo. Para profundizar Dados el trapecio y el círculo siguientes, halla sus áreas en función de x Dibuja y halla los cinco primeros números pentagonales. x 5 x + 5 Trapecio: A(x) = x x 5 x = x Círculo: A(x) = π(x ) = π(x 6x + 9) x x a) x + b) (x + ) = x + x + c) Dado un número al cuadrado, para hallar el cuadrado del siguiente, se le suma el doble del número más uno. d) Ejemplo: = = = 0 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: x x a) + x b) + x + x + 6x + 9 x x + x x(x + ) x a) = = x + 6x + 9 (x + ) x + x + x + (x + ) x + b) = = x (x + )(x ) x Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: x x a) x b) 5 x 4 x + 0x Dibuja y halla los cinco primeros números hexagonales x x x(x ) x a) = = x 4 (x + )(x ) x + x 5 (x + 5)(x 5) x 5 b) = = x + 0x + 5 (x + 5) x + 5 El segundo polinomio de los números primos de Euler es: P(x) = x 79x + 60 Para x = 0,,,, 79, P(x) es un número primo. Halla los últimos números primos que se obtienen aplicando dicho polinomio. 5 y SOLUCIONARIO

17 Aplica tus competencias Longitudes, áreas y volúmenes En el cálculo de longitudes aparecen siempre variables lineales; en el de áreas, variables cuadradas; y en el de volúmenes, variables cúbicas, porque se miden en unidades lineales, cuadradas y cúbicas, respectivamente. Halla la fórmula del perímetro de un cuadrado de lado x. Aplica la fórmula al caso en que x = 5 m P(x) = 4x P(5) = 4 5 = 0 m 4 Halla la fórmula de la longitud de una circunferencia de radio x. Aplica la fórmula al caso en que x = 5 m. Utiliza como valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales. L(x) = πx L(5) = π 5 =,4 m 5 Halla la fórmula del área de un cuadrado de lado x. Aplica la fórmula al caso en que x = 6 m A(x) = x A(6) = 6 = 6 m 6 Halla la fórmula del área de un círculo de radio x. Aplica la fórmula al caso en que x = 7 m. Utiliza como valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales. A(x) = πx A(7) = π 7 = 5,94 m Halla la fórmula del área de un cubo de arista x. Aplica la fórmula al caso en que x = 8 m A(x) = 6x A(8) = 6 8 = 84 m Halla la fórmula del área de una esfera de radio x. Aplica la fórmula al caso en que x = 9 m. Utiliza como valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales. A(x) = 4πx A(9) = 4π 9 = 07,88 m Halla la fórmula del volumen de un cubo de arista x. Aplica la fórmula al caso en que x = 0 m V(x) = x V(0) = 0 = 000 m Halla la fórmula del volumen de una esfera de radio x. Aplica la fórmula al caso en que x = m. Utiliza como valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales. V(x) = πx 4 V() = π 4 = 5 575,8 m TEMA 7. POLINOMIOS 0

18 Comprueba lo que sabes Define qué es el valor numérico de un polinomio. Pon un ejemplo. El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al sustituir la variable por un número y efectuar las operaciones. Ejemplo Halla el valor numérico de P(x) = x + 5x 7x 4 para x = P() = = = = 8 8 = 0 Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones coloquiales: a) El triple de un número x disminuido en 7 unidades. b) Dos números impares consecutivos. a) x 7 b) x +, x + Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 4x 5 ( 8x ) b) ( 5x ) c) x 7x + 5x x d) x 5 : 8x a) x 7 b) 5x 6 c) 4x d) x 4 Dados los polinomios: P(x) = x 5 8x 4 + 7x Q(x) = 6x 4 5x + 9x 4 calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) a) x 5 x 4 + x + 9x 7 b) x 5 4x 4 + x 9x Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x 7x 6 Q(x) = 5x 9x + Halla el grado del producto. 5x 5 7x 4 x + x + 47x 6 El grado del producto es: + = 5 Calcula: a) (x + /) b) (x + )(x ) c) (x 5) a) 4x + x + /4 b) 4x 9 c) x 0x + 5 El espacio que recorre un coche cuando arranca viene dado por la fórmula: e = (7t t ), donde e se mide en metros, y t, 4 en segundos. Calcula el espacio que recorre en los primeros segundos. e = (7 ) = ( 9) = = m Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios: a) 6x + 9x b) x 49 c) x + 0x + 5 d) x 8x + 6 a) x (x + ) b) (x + 7)(x 7) c) (x + 5) d) (x 4) 0 SOLUCIONARIO

19 Linux/Windows Windows Derive Paso a paso Calcula el valor numérico del polinomio: P(x) = x + 5x 7x 4 para x = Resuelto en el libro del alumnado. Dados los siguientes polinomios: P(x) = x 4 6x + 7x 8 Q(x) = x x + 5x calcula: P(x) Q(x) Resuelto en el libro del alumnado. Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x x + 5 Q(x) = x 4x + 6 Resuelto en el libro del alumnado. 4 5 Desarrolla: (x + 5) Resuelto en el libro del alumnado. Factoriza: x + x + x Resuelto en el libro del alumnado. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Wiris o DERIVE: 6 Halla el décimo número triangular, sabiendo que la fórmula de los números triangulares es: t(n) = n + n Resuelto en el libro del alumnado. 7 Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 8 Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores que se indican: a) P(x) = x 7x 9 para x = b) P(x) = x + 6x 5 para x = a) 9 b) 66 0 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = 5x 7x 9 Q(x) = 6x 4 + 4x x + 8 0x 7 + 4x 6 + 0x 5 + x 4 + 6x 9x + 7x 7 9 Dados los siguientes polinomios: P(x) = 9x 4 6x + Q(x) = 7x 4 + 8x + x 9 calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) a) x 4 + x + x 6 b) 6x 4 4x x + Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x + x + 4x + 8 Q(x) = x x 4 6 TEMA 7. POLINOMIOS 0

20 Linux/Windows Calcula: a) (5x + 7/) b) (5x 7/) c) (5x + 7/)(5x 7/) a) 5x + 5x + 49/4 b) 5x 5 x + 49/4 c) 5x 49/4 Halla la descomposición factorial de: a) x 5x b) 4x 49 c) x 6x d) x x + x a) x(x 5) b) (x + 7)(x 7) c) x(x + 6) (x 6) d) x(x ) Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o DERIVE: Dada la fórmula del volumen de la esfera: V = 4 πr halla el volumen de una con R = 7,5 m 596, m El primer polinomio de los números primos de Euler es: P(x) = x + x + 4 Para x = 0,,,, 9, P(x) es un número primo. Halla los últimos números primos que se obtienen aplicando dicho polinomio. 447, 5, 60 Dada la fórmula del área del triángulo: A = b a halla el área de uno que tiene 8,75 m de base y 5,4 m de altura. A = 67,465 m 04 SOLUCIONARIO