Los Números Enteros (Z)

Transcripción

1 Los Números Enteros (Z) Los números enteros: representación gráfica, orden, modulo o valor absoluto. Operaciones en Z, procedimientos y propiedades de estas. Prioridades de operaciones y paréntesis. Problemas que involucran operatoria con enteros.

2 Los Números enteros: Son los elementos del conjunto Z ; donde: Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} ; definiéndose: Z + = {1,2,3,4,5,...} Z - = {-1,-2,-3,-4,-5,...} enteros positivos enteros negativos Donde el cero es solo entero, no siendo positivo como tampoco negativo; luego Z = Z - {0} Z +.

3 Representación Gráfica: A todo número entero le corresponde un punto sobre la recta numérica; así: Notar que no todo punto de la recta representa a un número entero; por ejemplo 1/2 es un punto de la recta; 1/2 ˇZ En base a la definición de IN, IN o, Z se cumple que IN IN o Z.

4 Orden en Z: Las definiciones de >, <,, son las mismas ya definidas en IN; así al comparar: > a) 7 3 d) 0-8 < b) 5 9 e) c) -3 0 f) < g) -7-3 j) < h) k) > < i) l) De acuerdo a los ejemplos anteriores y con la ayuda de una recta numérica se puede concluir que todo número de esta es menor que los que se encuentran a su derecha y mayor que los que se encuentran a su izquierda. > < >

5 Ejercicios: a) Ordene en forma creciente: (de menor a mayor) -12, 0, 7, -3, -16, 9, 18, -7, -10, 11, -1, , -12, -10, -7, -3, -1, 0, 7, 9, 11, 12, 18 b) Ordene en forma decreciente: (de mayor a menor) -9, 17, 2,-3, 8, -12,-7, 0, 6, 15,-18,-23, , 15, 10, 8, 6, 2, 0, -3, -7, -9, -12, -18, -23

6 Modulo o Valor Absoluto en Z: A todo a Z se le asocia un entero no negativo llamado Modúlo o Valor Absoluto, el que se denota por a ; definiéndose: i) Si a > 0 a = a ii) Si a = 0 a = 0 iii) Si a < 0 a = -a (opuesto de a) Ejemplos: a) 3 = 3 c) -7 = 7 e) 34 = 34 b) 0 = 0 d) -25 = 25 f) -45 = 45

7 g) = = 15 = 15 h) = = 0 = 0

8 Operaciones en Z: (1) Adición: Se distinguen dos casos: i) De enteros de igual signo: Se suman sus valores absolutos y se conserva el signo común. Ejemplos: (a) = 21 (c) = -29 (b) = -23 (d) = -23

9 ii) De enteros de distinto signo: Se restan sus valores absolutos (mayor menos menor) y se conserva el signo del número de mayor valor absoluto. Ejemplos: (a) = -6 (c) = (b) = 21 (d) = 9-13 Propiedades: La adición en Z ; cumple con la clausura es conmutativa, asociativa, posee elemento neutro (es el 0 ya que " a Z ; se tiene que a + 0 = a = 0 + a) y cada entero "a" posee como inverso aditivo u opuesto al entero -a ; teniéndose que : a + -a = 0 = -a + a

10 Notar que al operar un elemento con su inverso, se tiene que obtener como resultado el neutro de la operación; en este caso cero. Ejemplo: El inverso aditivo u opuesto de 7 es -7 y viceversa ya que: Ejercicio: = 0 = Resolver las siguientes adiciones entre enteros de igual o distinto signo:

11 Número + Número = Suma Número + Número = Suma = = = = = = = = = = = = -30 Número + Número = Suma = = = = = = -20

12 (2) Sustracción: Se define a - b = a + -b ; es decir la sustracción se transforma en adición, sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplos: a) 9-5 = c) 12 7 = = 4 = -19 b) = d) = = 22 = 6 Propiedad: La sustracción en Z; cumple sólo con la propiedad de clausura o ley de composición interna, es decir la resta de dos enteros es siempre un nuevo entero.

13 Ejercicio: 1) Resolver las sustracciones pedidas en el cuadro: Número - Número = Resta 10-6 = = = = = -9 Número - Número = Resta 5-8 = = = = = -6 Número - Número = Resta = = = = = -10

14 2) Reducir las expresiones: a) = = -13 b) = = = 49 c) = = = -38 d) = = = -28

15 3) Multiplicación: Para multiplicar dos enteros es necesario tener presente que el producto de dos enteros de igual signo es siempre positivo y que el producto de dos enteros de distinto signo es siempre negativo. Ejemplos: a) 12 7 = 84 c) 15-6 = b) = -180 d) = Propiedades: La multiplicación en Z cumple con la propiedad de clausura, es conmutativa, asociativa, posee elemento neutro (el 1) y es distributiva sobre la adición.

16 Ejercicio: Resolver las siguientes multiplicaciones: a b Producto a b Producto

17 (4) División: La división en Z no siempre tiene solución; sin embargo, para dividir dos enteros es necesario tener presente que el cuociente de dos enteros de igual signo es siempre positivo y que el cuociente de dos enteros de distinto signo es siempre negativo. Ejemplo: a) 18 : 9 = 2 c) 54 : -27 = -2 b) 75 : 15 = -5 d) 108 : -12 = 9 e) 35 : -8 = No tiene solución en Z Propiedades: La división en Z no cumple con la propiedad de clausura ni con ninguna de las propiedades de la adición y multiplicación de enteros.

18 Ejercicios: 1) Resolver las siguientes divisiones: a : b Cuociente a : b Cuociente : : : : : : : : : :

19 2) Resolver las siguientes operaciones combinadas sin paréntesis, recordando que todo cálculo aritmético se resuelve de izquierda a derecha respetando las siguientes prioridades: a) : = = = -6 b) -72 : : -2 = = = 5

20 c) 16 : = = = 34 d) 100 : : -2 = : -2 = = = 48

21 3) Resolver las siguientes operaciones combinadas con paréntesis, teniendo presente que se eliminan primero los paréntesis más interiores; es decir de a dentro hacia fuera respetando en su interior la prioridad de las operaciones: a) 15 [ 6 (2 1) 7 (3 2) ] b) 4 [( ) ( ) ] 15 - [ ] 15 - [ ] = 32 4 [( )- ( )] 4 [ 11-0 ] 4 11 = 44

22 c) [ ( ) ]: [ ( ] = ) -[-( ) ] : [ -( ) ] -[ - ( )] : [ - ( -3 ) ] -[ - ( 9 ) ] : 3 9 : 3 = 3

23 d) { } { } 9 5 (4 3) : 3 1 (2+ 6) = [9 { 5 - (4 + 3)}] : [ 3 { 1-4} ] [9 { 5-7 } ] : [ 3 {1 + -4} ] [9 { } ] : [3-3 ] [9-2 ] : [ -9 ] -18 : -9 = 2

24 4) Las temperaturas mínimas de 5 ciudades son 36º ; -23º ; 11º ; -19º y 7º. Cuál es la temperatura mínima promedio de tales ciudades? Suma datos: = -60 Temperatura Promedio = = -12º

25 Ejercicios Complementarios: 1) Si a = 3 ; b = -5 ; c = -9 ; luego el valor de la expresión ab ac + bc =? A) 87 B) 57 C) 3 D) 3 E) 33 ab ac + bc = a b a c + b c

26 2) Si x = [ 8 {-2(-9+3)}]:[1 - -3] ; luego se tiene que x =? A) 10 B) 5 C) 1 x = [ 8 {-2(-9+3)}] : [1 - -3] x = [ 8 {-2-6 }] : [1 + 3] x = [ 8 12 ] : [ 4 ] x = [ 20 ] : [ 4 ] D) 5 E) 10 x = -5 -x = 5 / -1

27 3) Al reducir la expresión: -8-6 : : -6-3 = A) 25 B) 17 C) : D) 7 E) 5

28 4) A = {x/x=3n 1 con n IN 5 < n 8} B = {z/z=5m 3 con m IN 4 m < 7} La diferencia entre el mayor valor de x y el menor valor de z es: A) 1 B) 2 C) 5 D) 6 E) 10 A = {x/x=3n 1 con n IN 5 < n 8} El mayor valor de x se obtiene para el mayor valor de n Si n = 8 x = = 24-1 x = 23 B = {z/z=5m 3 con m IN 4 m < 7} El menor valor de z se obtiene para el menor valor de m Si m = 4 z = = 20-3 z = 17 mayor valor x menos menor valor z es: = 6

29 5) Si: a = (15 7) (3 5) b = (-3 + 1) (2-7) c = (-3 1) (13 8) La relación correcta entre a, b y c es: A) a > b > c B) a > c > b C) b > a > c D) b > c > a E) c > a > b a = (15 7) (3 5) b = (-3 + 1) (2-7) a = 8-2 b = -2 9 a = -16 b = -18 c = (-3 1) (13 8) c = -4 5 c = -20 Luego: -16 > -18 > -20 a > b > c

30 6) Si al producto de dos números impares positivos consecutivos se le suma 1; el resultado es siempre: l) Un número par. ll) Un múltiplo de 4. lll) Un cuadrado perfecto. A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll D) Sólo l y lll Ejemplos: = = 36 = = = 144 = = = 784 = 28 2 E) l, ll y lll

31 7) A las 8 horas había una temperatura de -28º. Si cada media hora la temperatura subió 3 grados. A qué hora llego a los 14º? A) A las 7 horas B) A las 14 horas C) A las 15 horas D) A las 19 horas E) A las 22 horas Si cada media hora la temperatura sube 3º ; en una hora sube 6º. De -28º a 14º la temperatura debe de subir 42º ; luego: 42º : 6 = 7 horas = 15 horas.

32 8) Un comerciante compró 30 lápices a $20 c/u; luego vendió 20 lápices a $18 c/u. A cómo tiene que vender c/u de los restantes para no perder? A) $22 B) $24 C) $36 D) $42 Invierte: = $600 Recibe : = $360 - Falta recuperar: $240 Nº lápices que queda: = 10 E) $44 Nuevo valor 1 lápiz : 240 : 10 = $24

33 9) Si a = -5 y b = 4 ; entonces el valor de la expresión 4 a--b-a b +a =? 4 a--b-a b +a = A) 9 B) -5 C) 4 D) 9 E)

34 10) Se tiene que a b = 3; donde b varía entre -1 y 1 ; entonces a varía entre: b varía entre -1 y 1 A) 3 y 2 B) 2 y 4 C) 4 y 2 D) 2 y 4 E) 2 y -4 a b = 3 Si b =-1 a -1 = 3 a + 1 = 3 a = 3-1 a = 2 Si b = 1 a 1 = 3 a = a = 4 a varía entre 2 y 4

35 11) Si a b = b a y a b = a b. Cuál(es) de las siguientes expresiones dan el mismo resultado de (5 3)+(-6 + 3)? A) Sólo l B) Sólo l y ll C) Sólo ll y lll D) Todas E) Ninguna. l) (5 3) (6 3) ll) (3 6) (3 5) lll) (6 3) (5 3) Ejemplo: Si a Si a b = a b 5 3 = 5-3 = 2 b = b a 3 6 = 6-3 = 3

36 12) Sean a,b,c,d números enteros tales que a + b = 18 y a + c = 12. Se puede determinar el valor de b + d si: a + b = 18 con a = 8 b = 10 (1) a = 8 y d = 6c a + c = 12 con a = 8 c = 4 d = 6c d = 6 4 d = 24 b + d = = 34 a + c = 12 con c = 4 a = 8 (2) c = 4 y d = 3a a + b = 18 con a = 8 b = 10 d = 3a d = 3 8 d = 24 A) (1) por sí sola b + d = = 34 B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

37 Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-03 1) B 6) A 11) E 16) E 2) E 7) E 12) C 17) C 3) C 8) B 13) A 18) D 4) A 9) B 14) A 19) A 5) B 10) A 15) E 20) A