HOJAS DE TRABAJO SECTOR. Matemáticas. Material de apoyo para el docente UNIDAD 1. Preparado por: Héctor Muñoz

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1 HOJAS DE TRABAJO SECTOR Material de apoyo para el docente UNIDAD 1 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 1. BREVE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS En esta Unidad se introducen lo. Aunque los estudiantes ya conocen las fracciones y los decimales positivos, el marco curricular deja para Educación Media el trabajo con los números racionales que incluyen las fracciones positivas y negativas- y los números reales -que incluyen a los números decimales positivos y negativos. De esta forma, en este nivel los únicos números negativos que se trabajan son los enteros negativos. El tratamiento del tema se inicia con la presentación de situaciones en las que es razonable hablar de cantidades menores que cero y con la introducción de los números negativos como un tipo de números que permiten cuantificar situaciones de esta naturaleza. Se forma luego el conjunto de los números enteros que incluye a los números naturales (o enteros positivos), el 0 y los enteros negativos. Los estudiantes aprenden a interpretar, leer y escribir, a establecer relaciones de orden entre ellos y a representarlos en la recta numérica. Asimismo se establecen procedimientos de cálculo tanto para la adición como para la sustracción de enteros. Los procedimientos de cálculo de multiplicación y de división de será tema de 8º básico. 2. APRENDIZAJES ESPERADOS En esta Unidad se propone organizar los contenidos a tratar en dos secciones: a. Interpretación, lectura, escritura y orden de b. Adición y sustracción de 2.1 Interpretación, lectura, escritura y orden de En esta sección se espera que los estudiantes puedan reconocer situaciones del ámbito cotidiano en las que tiene sentido hablar de cantidades menores que cero (aprendizaje esperado 1). Esto prepara el camino para la introducción de los números negativos que se presentan como una forma de cuantificar valores que son menores que cero. Con los números naturales, el 0 y los enteros negativos se forma el conjunto de los números enteros (aprendizaje esperado 2). El empleo del signo para especificar los números negativos crea una duplicidad que puede inducir a confusión en los alumnos y alumnas que están iniciando el estudio de los números negativos. De hecho, este signo se ha utilizado hasta aquí como indicador de la operación de sustracción. Ahora se utiliza el mismo signo como parte integrante del símbolo que representa a los números negativos. Se hace necesario, por lo tanto, establecer la diferencia entre estas dos funciones del signo -. También el signo + tiene una doble función: como indicador de la operación de adición y como parte integrante del símbolo que representa a los números positivos (aprendizaje esperado 3). En este último caso, sin embargo, si no hay riesgo de confusión, se prefiere no escribir el signo. APRENDIZAJES ESPERADOS Interpretación, lectura, escritura y orden de Reconocen situaciones en las que una magnitud puede tener valores menores que cero. Identifican el conjunto de los. Distinguen dos funciones de los signos + y (como indicadores de una operación y como signo de un número entero). Distinguen e interpretan el valor absoluto de un número entero. Representan en la recta numérica. Establecen relaciones de orden entre. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 Un concepto útil en relación con los es el concepto de valor absoluto. Se espera que los estudiantes lo manejen con soltura (aprendizaje esperado 4). La recta numérica aparece como una herramienta de gran utilidad para representar números negativos, sobe la base de prolongarla hacia la izquierda más allá del cero. De esa manera, la recta numérica se extiende indefinidamente en ambas direcciones: hacia la derecha del 0 con los enteros positivos y hacia la izquierda del 0 con los enteros negativos (aprendizaje esperado 5). Finalmente se espera que los estudiantes manejen procedimientos para comparar (aprendizaje esperado 6). 2.2 Adición y sustracción de En la segunda sección la atención se centra en las operaciones de adición y sustracción de. Se espera que los estudiantes reconozcan algunas situaciones en que intervienen y en las que resulta razonable hablar de adición o sustracción (aprendizaje esperado 1). Surge así la necesidad de conocer y manejar procedimientos de cálculo tanto para la adición como para la sustracción de números enteros (aprendizaje esperado 2). En años anteriores, la sustracción de números naturales ha tenido una seria limitación: no estaba definida la sustracción para el caso en que el sustraendo fuera mayor que el minuendo. La introducción de los permite superar esta limitación y dar una interpretación y un resultado a este tipo de sustracciones (aprendizaje esperado 3). La interpretación de números negativos y el establecimiento de procedimientos de cálculo de adición y sustracción abre nuevas posibilidades para la resolución de problemas (aprendizaje esperado 4). APRENDIZAJES ESPERADOS Adición y sustracción de Reconocen situaciones en que es pertinente efectuar adiciones o sustracciones de números enteros. Emplean procedimientos de cálculo de adiciones y sustracciones de números enteros. Reconocen que los números enteros permiten dar solución a sustracciones en que el sustraendo es menor que el minuendo. Resuelven problemas que involucran en contextos significativos. 3. OBSERVACIONES Y COMENTARIOS ACERCA DEL ENFOQUE METODOLÓGICO 3.1 Acerca de la introducción de los números negativos Los números negativos traen consigo situaciones que a los alumnos y alumnas pueden parecer contradictorias con sus conocimientos actuales. Nos les parece lógico, por ejemplo, que -8 sea menor que -3 o que si sumo algo a un número obtenga un resultado que es menor que ese número. Por tal motivo, es importante el empleo de algún tipo de representación de los números negativos que le dé cierto grado de concreción a los números negativos y a las operaciones con ellos y que proporcione una especie de justificación para lo que parece poco lógico. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

4 La experiencia ha mostrado que la recta numérica con su representación de los resulta especialmente útil en este sentido. Para que la recta numérica juegue el papel que se espera de ella, es necesario subrayar algunos puntos importantes en relación a cómo representar y cómo interpretar números negativos u operaciones con números negativos en la recta numérica. En especial, conviene subrayar los siguientes puntos: En la recta numérica, los números negativos se representan a la izquierda del 0. Si nos movemos desde el 0 hacia la izquierda, iremos encontrando los números -1, -2, -3, -4, etc. En la recta numérica se mantiene el principio que un número es mayor que cualquier número que esté a su izquierda. Por lo tanto, todo número negativo es menor que 0 y es menor que cualquier número positivo. El valor absoluto de un número es una cantidad positiva que expresa la distancia que hay desde ese número hasta el 0. Números con igual valor absoluto pero distinto signo están situados simétricamente con respecto al 0. Sumar un número positivo es equivalente a un desplazamiento hacia la derecha. Sumar un número negativo es equivalente a un desplazamiento hacia la izquierda. Si sumamos números que tienen igual valor absoluto pero distinto signo, el resultado será 0. Por esa razón, se dice que cada uno de ellos es el inverso aditivo del otro. Restar un número es equivalente a sumar su inverso aditivo. 3.2 Cuantificación de una variación Es frecuente encontrar valores negativos en las distintas formas de cuantificar variaciones. En general, definimos la variación que experimenta una magnitud como la sustracción: variación = valor final valor inicial De acuerdo con esta definición, la variación será positiva si la magnitud aumenta, será 0 si el valor final es igual al inicial y será negativa si la magnitud disminuye. Otra forma de ver esta relación es pensar el valor final como el resultado del valor inicial y la variación producida. Es decir: valor final = valor inicial + variación Si la variación es positiva, el valor final será mayor que el inicial. Si la variación es negativa, el valor final será menor que el inicial. Y si la variación es 0, el valor final será igual al inicial. El llamado índice de precios al consumidor (IPC) es una forma de cuantificar las variaciones que experimenta el precio de las productos que normalmente consume la población. Un IPC positivo indica que los precios están aumentando. Un IPC negativo indica que los precios están disminuyendo. En el caso del IPC, las variaciones están expresadas en porcentajes. 3.3 Acerca de los procedimientos de cálculo de adición y sustracción de La experiencia muestra que una vez que los estudiantes se han familiarizado con los números negativos, no tienen grandes problemas para aceptar los procedimientos de cálculo de adición de. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

5 Utilizar una deuda como metáfora para un número negativo suele ser bastante convincente en el caso de la adición. Si a un saldo de $100 le agregamos una deuda de $150, el resultado será un saldo negativo: (-150) = -50 Si ya se tenía una deuda de $200, una nueva deuda de $150 agrava la situación: (-150) = -350 También resulta útil la representación de adiciones en la recta numérica en forma de desplazamientos hacia la derecha o izquierda según se trate de sumar un número positivo o un número negativo. En todo caso, es importante subrayar que estas metáforas o representaciones no constituyen una demostración del procedimiento sino solo un apoyo metodológico para hacerlo aceptable por los estudiantes. Matemáticamente, lo que se hace es buscar la definición más conveniente. En especial, la definición debe cumplir dos condiciones ineludibles: (i) cuando los dos sumandos sean positivos, el procedimiento debe coincidir totalmente con los procedimientos conocidos de adición de números naturales, y (ii) deben seguir siendo válidas las propiedades básicas que tiene la adición de números naturales (conmutatividad, asociatividad, existencia del elemento neutro). Sin embargo, una presentación de esta naturaleza puede parecer demasiado abstracta a los estudiantes. Por ello, es recomendable utilizar representaciones o símiles que puedan apoyar el aprendizaje. Una vez que se tiene un procedimiento para sumar, la sustracción se desprende lógicamente a partir del carácter inverso de la sustracción con respecto a la adición. En esta Unidad se propone utilizar un procedimiento que se basa en convertir la sustracción en una adición reemplazando el sustraendo por su inverso aditivo: a b = a + (-b). Un procedimiento similar había sido utilizado en la división de fracciones. En esa ocasión se convertía la división en una multiplicación reemplazando el divisor por su inverso multiplicativo. Asimismo, en el caso de la sustracción de vectores resulta bastante conveniente utilizar la misma idea básica. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4