Matemáticas. sencial UNIDAD 1 HOJAS DE TRABAJO SECTOR. Material de trabajo para los estudiantes. Preparado por: Héctor Muñoz

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1 HOJAS DE TRABAJO SECTOR Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 Unidad Unidad INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS. ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS En las páginas que siguen se presentan 2 Hojas de Trabajo con sugerencias de actividades destinadas a lograr los aprendizajes que se esperan en esta Unidad. Demás está insistir en la importancia de la actividad del estudiante para que se produzca el aprendizaje, de modo que se recomienda que el profesor o la profesora tome las medidas del caso para que todos los estudiantes desarrollen estas actividades así como otras que el docente pueda proponer basándose en su propia experiencia o utilizando el texto entregado por el Ministerio. Para facilitar la reproducción de las Hojas de Trabajo propuestas algunas de ellas se han diseñado para ser trabajadas en grupo. Otras, en cambio, es preferible que se trabajen en forma individual. En cada Hoja de Trabajo se indica si se trata de actividades grupales o de trabajo individual. Las Hojas de Trabajo destinadas a ser desarrolladas en grupo pueden reproducirse en menor número, de modo que haya un ejemplar por cada 4 a 6 estudiantes. Las destinadas al trabajo individual deberían ser reproducidas de modo que cada alumno o alumna dispusiera de una copia. También es posible utilizar un retroproyector o un proyector conectado a un computador para proyectar las Hojas de Trabajo de modo que todo el curso pueda verlas y trabajar con ellas. A continuación se hace una breve descripción de cada una de las Hojas de Trabajo propuestas para esta Unidad. 2. PRESENTACIÓN DE LAS HOJAS DE TRABAJO PROPUESTAS HOJA DE TRABAJO Nº (TRABAJO INDIVIDUAL) CANTIDADES MENORES QUE CERO Las actividades de esta Hoja de Trabajo apuntan a mostrar que existen situaciones en las que tiene sentido hablar de cantidades menores que cero. De hecho, es posible que los alumnos y alumnas estén familiarizados con la existencia de temperaturas negativas y tal vez hayan escuchado hablar de valores negativos del IPC. Una vez establecido que existe este tipo de situaciones, podemos presentar los números negativos como una forma de cuantificarlas. HOJA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL) LOS NÚMEROS ENTEROS En esta Hoja de Trabajo la atención se centra en la noción de número entero y su representación en la recta numérica. Conviene subrayar que la extensión de la recta numérica hacia la izquierda se basa en la necesidad de conservar una de sus propiedades importantes, a saber, que los números están ordenados de menor a mayor hacia la derecha. Es decir, de dos números representados en una recta numérica es siempre mayor el que está ubicado a la derecha. Por esta razón, para representar números que son menores que 0, éstos debe estar situados a la izquierda del 0 en la recta numérica. En las Observaciones Metodológicas ya hemos hecho alusión al hecho que el signo menos tiene dos significados: uno conocido por los estudiantes (como indicación de la operación de sustracción) y otro nuevo (como signo de los números negativos). Es necesario llamar la atención a este hecho, pues suele ser fuente de confusiones entre los estudiantes que están iniciando su conocimiento de los números negativos. Más adelante, en álgebra, el estudiante encontrará una tercera interpretación del signo menos. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

3 Unidad El símbolo a designa allí al inverso aditivo de a, que puede ser positivo o negativo. Los estudiantes de estos niveles suelen pensar que la expresión número entero designa a los números naturales, diferenciándolos de las fracciones y de los números decimales. Esto hace necesario insistir en que la expresión número entero tiene un significado técnico que se refiere específicamente al conjunto formado por los números naturales, el 0 y los enteros negativos (es decir, el inverso aditivo de los números naturales). HOJA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO GRUPAL) RELACIONES DE ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS En esta Hoja de Trabajo se ejercita la comparación de números enteros en situaciones contextualizadas y en ejercicios descontextualizados. Es sabido que las relaciones de orden en los números enteros (y en general, en los conjuntos numéricos que incluyen números negativos) a veces causan problemas a algunos estudiantes. El origen de esos problemas suele estar en que fijan la atención exclusivamente en el valor absoluto del número. Por esa razón, conviene iniciar el tratamiento de las relaciones de orden con la introducción de las nociones de valor absoluto y signo, e insistir en que al comparar números enteros debemos fijarnos no solo en el valor absoluto sino también en su signo. Esta observación será también útil al tratar los procedimientos de cálculo de adiciones y sustracciones. HOJA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO INDIVIDUAL) SUMANDO UN ENTERO POSITIVO Los procedimientos de adición y sustracción de números enteros se basan en los procedimientos de adición y sustracción de números naturales, pero con una importante diferencia: es necesario tomar en cuenta los signos. Con el fin de lograr un aprendizaje más sólido, se sugiere ir avanzando poco a poco. El primer paso es la adición de un número positivo. Esta operación se identifica con un desplazamiento en la recta numérica hacia la derecha. Esto coincide con la adición de números naturales donde la adición también corresponde a un desplazamiento hacia la derecha en la recta numérica. La única diferencia estriba en que en algunos casos cuando el primer sumando es negativo- el desplazamiento se inicia a la izquierda del 0. Al igual que en el caso de la adición de números naturales, al sumar un entero positivo el resultado es siempre mayor que el primer sumando. HOJA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO INDIVIDUAL) SUMANDO UN ENTERO NEGATIVO En esta Hoja de Trabajo damos un nuevo paso en la presentación de la adición de números enteros. Ahora sumamos un número negativo, lo que se identifica con un desplazamiento hacia la izquierda. Es decir, es lo opuesto a la adición de un número positivo. Esta vez, y contrariamente a lo que sucede con los números naturales, el resultado es siempre menor que el primer sumando. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

4 Unidad HOJA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO INDIVIDUAL) UN PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO PARA LA ADICIÓN DE ENTEROS Corresponde ahora sistematizar los procedimientos de cálculo de adiciones de números enteros, independizándonos de la recta numérica. Es lo que se ejercita en esta Hoja de Trabajo. Se propone un procedimiento general que se reproduce en la actividad y que está disponible para el estudiante. El procedimiento contempla 3 pasos: (i) distinguir si ambos sumandos tienen el mismo o distinto signo, (ii) determinar el valor absoluto del resultado, y (iii) determinar el signo del resultado. Es recomendable que los estudiantes puedan disponer de un diagrama similar al que aparece en la actividad por lo menos hasta que logren un adecuado nivel de dominio del procedimiento. HOJA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL) EL INVERSO ADITIVO DE UN NÚMERO En preparación del procedimiento de cálculo de la sustracción de números enteros, la Hoja de Trabajo Nº 7 introduce y ejercita la noción de inverso aditivo de un número. Se subrayan tres propiedades del inverso aditivo: (i) si a un número se le suma su inverso aditivo, el resultado es 0 (lo que de hecho constituye la definición matemática de inverso aditivo), (ii) el inverso aditivo de un número tiene su mismo valor absoluto pero distinto signo, y (iii) en la recta numérica, un número y su inverso aditivo están situado en ubicaciones que son simétricas con respecto al 0. HOJA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO GRUPAL) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Anteriormente los estudiantes habían conocido el inverso multiplicativo de un número, el que había permitido encontrar un procedimiento de división de fracciones que, en esencia, convierte una división en una multiplicación. En efecto, para dividir por una fracción, basta multiplicar por su inverso multiplicativo. En el caso de la sustracción de números enteros, la situación es similar. En lugar de introducir un nuevo procedimiento para restar números enteros, convertimos la sustracción en una adición, de modo que podemos utilizar el procedimiento de adición que acabamos de aprender. La idea básica es que obtenemos el mismo resultado si en lugar de restar un número entero, sumamos su inverso aditivo. Es decir, el resultado no cambia si sometemos la sustracción a DOS cambios: cambiamos la sustracción por una adición y cambiamos el sustraendo por su inverso aditivo. La Hoja de Trabajo contiene diversas actividades destinadas a ejercitar los procedimientos de cálculo y a explorar o a sistematizar algunas propiedades de la adición y la sustracción de números enteros. HOJA DE TRABAJO Nº 9 (TRABAJO GRUPAL) VARIACIONES El tema de adición y sustracción de números enteros se cierra con algunas actividades en que se aplican los conocimientos adquiridos al análisis de situaciones en las que una determinada magnitud experimenta variaciones y se utilizan los números enteros precisamente para cuantificar dichas variaciones. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

5 Unidad HOJA DE TRABAJO Nº 0 (TRABAJO GRUPAL) MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS DE DISTINTO SIGNO En esta Hoja de Trabajo se inicia el tratamiento del procedimiento de cálculo de multiplicaciones de números enteros. Se analiza, en primer lugar, el caso de la multiplicación de dos enteros de distinto signo. Se parte de que en este caso sigue siendo válida la interpretación de la multiplicación como una adición de sumandos iguales y sigue siendo válida también la propiedad conmutativa. Sobre esta base, podemos mostrar que el valor absoluto del producto de dos enteros de distinto signo es igual al producto de sus valores absolutos y que el signo del producto es negativo. HOJA DE TRABAJO Nº (TRABAJO GRUPAL) MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS DE IGUAL SIGNO En esta Hoja de Trabajo se introduce y se ejercita un procedimiento de cálculo para la multiplicación de dos enteros negativos. Se muestra un razonamiento que lleva a la conclusión que la alternativa más aceptable es considerar que el producto es positivo. Sistematizando lo visto acerca de la multiplicación de enteros, vemos que en todos los casos para calcular el valor absoluto del producto basta multiplicar entre sí los valores absolutos de los factores. Y en cuanto al signo del producto, éste será positivo si los dos factores tienen el mismo signo y será negativo si los dos factores tienen distinto signo. Se llama la atención asimismo al efecto que tiene multiplicar un número entero por -. HOJA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO GRUPAL) DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La última Hoja de Trabajo de la Unidad se refiere a la división de números enteros. Basándose en el carácter inverso de la división con respecto a la multiplicación, se infiere un procedimiento de cálculo que no se diferencia del cálculo de división de números naturales excepto por la necesidad de adjudicar un signo al resultado. Y el signo del cuociente será positivo si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo y será negativo si el dividendo y el divisor tienen distinto signo. Una regla de signos que es muy similar a la regla de signos de la multiplicación de enteros, lo que facilita su aprendizaje. La última actividad de la Hoja de Trabajo apunta a una sistematización de los procedimientos de cálculo para la adición, la sustracción, la multiplicación y la división de números enteros. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4

6 Hoja de Trabajo N Hoja de Trabajo N TRABAJO GRUPAL CANTIDADES MENORES QUE CERO Puede haber menos de litro de bebida en una botella? Puede haber 0 litros de bebida en una botella? Puede haber menos de 0 litros de bebida en una botella? Puede haber ciudades en que la temperatura mínima sea de 0 ºC? Puede haber ciudades en que la temperatura mínima sede menos de 0 ºC? Francisca dice que en la frutera hay 0 manzanas. Qué quiso decir? Podría haber menos de 0 manzanas en una frutera? (d) La altura de un lugar o de una montaña se mide en relación con el nivel del mar. Julito hace un hoyo en la playa. El fondo podría estar por debajo del nivel 0? 2 Sergio: Cuánto dinero tienes en el banco? Tomás: Menos que cero. Qué quiso decir Tomás? 3 El INE informa que en 2006 hubo un mes en que el Índice de Precios al Consumidor tuvo una variación de 0%, 9 meses en que la variación fue de más de 0% y 2 meses en que la variación fue de menos de 0%. Qué significa una variación de 0%? Qué significa una variación de más de 0%? Qué significa una variación de menos de 0%? 4 La hermanita de Sonia no cree que pueda haber cantidades menores que 0. Dice que en una sala podría haber 0 personas, pero en ningún caso puede haber menos de 0 personas. Qué opinas de lo que dice la hermanita de Sonia? 5 En una fábrica de conservas, en abril la producción aumentó en un 2% con respecto al mes anterior. En mayo la producción fue la misma que en abril. Es decir, la producción varió en 0%. Pero en junio la producción disminuyó. Qué fue menor que cero en este caso? La producción de junio La variación que experimentó la producción entre mayo y junio. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5

7 Hoja de Trabajo N 2 Hoja de Trabajo N 2 TRABAJO INDIVIDUAL LOS NÚMEROS ENTEROS Dónde están ubicados en la recta numérica todos los números que son mayores que 0? Y los números que son menores que 0? Los números negativos son números que representan cantidades menores que 0. De acuerdo con esto, dónde hay que ubicar en la recta numérica los números negativos? Completa la siguiente recta numérica anotando los valores que faltan. 2 En cuáles de las siguientes expresiones el signo - indica sustracción? En cuáles de ellas el signo - no indica sustracción sino que es parte de un número negativo? Cuáles de los siguientes números son números naturales? ,5 0,09 00 Cuáles de los siguientes números son números enteros? ,77 ¾ 0 4 Cuál es el menor de todos los enteros positivos? Cuál es el único número entero que no es positivo ni negativo? (d) En qué parte de la recta numérica están ubicados los enteros positivos? Y los enteros negativos? Los números naturales están incluidos en el conjunto de los números enteros? Y las fracciones? Y los números decimales? Silvia afirma que es lo mismo 3 que +3. Tiene razón? Es lo mismo -7 que 7? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6

8 Hoja de Trabajo N 3 Hoja de Trabajo N 3 TRABAJO GRUPAL RELACIONES DE ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS Escribe 2 números que tengan el mismo signo pero distinto valor absoluto. Escribe 2 números que tengan el mismo valor absoluto pero distinto signo. 2 Qué se puede decir acerca de la ubicación en la recta numérica de 2 números que tienen el mismo signo pero distinto valor absoluto? Qué se puede decir acerca de la ubicación en la recta numérica de 2 números que tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo? 3 En el siguiente listado, marca con una V las afirmaciones verdaderas y con una F las afirmaciones falsas, basándote en la ubicación de los números en la recta numérica > 2-5 > 2 5 > -2-5 > -2 0 < 4 0 < -4-3 < -6-5 < 5 4 En el siguiente listado, marca con una V las afirmaciones verdaderas y con una F las afirmaciones falsas. Si dos números tienen distinto signo, será siempre mayor el positivo. Si dos números tienen distinto valor absoluto, será siempre mayor el que tiene un mayor valor absoluto. Todo número negativo es menor que 0. En la parte positiva de la recta numérica, los números aumentan de izquierda a derecha, pero en la parte negativa aumentan de derecha a izquierda. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 7

9 Hoja de Trabajo N 3 5 Escribe el signo <, = o >, según corresponda Ordena de mayor a menos los siguientes números enteros La tabla muestra las temperaturas máxima y mínima para algunas ciudades del mundo en un día de marzo de Ciudad Máxima (ºC) Mínima (Cº) Quebec, Canadá -3-4 Santiago, Chile 26 2 Tokio, Japón 4 6 San Petersburgo, Rusia 0-2 Helsinki, Finlandia -2 (d) El hermanito de Sergio opina que hay errores en la tabla porque en algunos casos la temperatura máxima resulta menor que la mínima. Tiene razón? Hay ciudades en la tabla en que la temperatura no fue en ningún momento mayor que 0 ºC? En cuál de estas ciudades se registró la temperatura más baja? En cuáles de estas ciudades la temperatura ese día fue en algún momento de 0 ºC? 8 La situación financiera de don Hernán no es muy buena. La tabla muestra el saldo de su cuenta bancaria en los meses de marzo a julio. Mes Marzo Abril Mayo Junio Julio Saldo (pesos) Cuál fue el peor mes para don Hernán? Entre qué meses su situación mejoró? Entre qué meses su situación empeoró? Crees tú que don Hernán puede mirar el futuro inmediato con cierto optimismo? Por qué? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 8

10 Hoja de Trabajo N 4 Hoja de Trabajo N 4 TRABAJO INDIVIDUAL SUMANDO UN ENTERO POSITIVO La figura muestra una recta numérica. Con su ayuda, encuentra el resultado de las operaciones que se indican a continuación (+2) + (+5) 0 + (+5) (-2) + (+5) (-5) + (+5) (-8) + (+5) (-6) + (+4) (-6) + (+6) (-6) + (+2) 2 Cuánto hay que sumar a -3 para obtener 0? Cuánto hay que sumar a -3 para obtener 3? Cuánto hay que sumar a -3 para obtener 6? Cuánto hay que sumar a -3 para obtener -? Cuánto hay que sumar a -3 para obtener -2? Cuánto hay que sumar a -3 para obtener -3? 3 Fabián afirma que si a 0 se le suma un entero positivo, el resultado es mayor que 0. Tiene razón? También afirma que si a -0 se le suma un entero positivo, el resultado es mayor que -0. Tiene razón? Podremos generalizar y decir que si en una suma el segundo sumando es positivo entonces el resultado será siempre mayor que el primer sumando? 4 Considera la adición (-25) + x en que x es un entero positivo cualquiera. Cuánto debería valer x para que el resultado sea 0? Qué condición debería cumplir x para que el resultado sea negativo? Qué condición debería cumplir x para que el resultado sea positivo? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 9

11 Hoja de Trabajo N 5 Hoja de Trabajo N 5 TRABAJO INDIVIDUAL SUMANDO UN ENTERO NEGATIVO La figura muestra una recta numérica. Con su ayuda, encuentra el resultado de las operaciones que se indican a continuación (+3) + (-4) 0 + (-4) (-3) + (-4) (+4) + (-4) (-4) + (-4) (+6) + (-4) (-6) + (-4) (+6) + (-2) 2 Cuánto hay que sumar a 8 para obtener 7? Cuánto hay que sumar a 8 para obtener 3? Cuánto hay que sumar a 8 para obtener 0? Cuánto hay que sumar a 8 para obtener -4? Cuánto hay que sumar a 8 para obtener -8? 3 Fabián afirma que si a 0 se le suma un entero positivo, el resultado es mayor que 0. Tiene razón? También afirma que si a -0 se le suma un entero positivo, el resultado es mayor que -0. Tiene razón? Podremos generalizar y decir que si en una suma el segundo sumando es negativo entonces el resultado será siempre menor que el primer sumando? 4 Considera la adición (-25) + x en que x es un entero positivo cualquiera. Cuánto debería valer (-x) para que el resultado sea 0? Qué condición debería cumplir (-x) para que el resultado sea positivo? Qué condición debería cumplir (-x) para que el resultado sea negativo? 5 Encuentra el resultado de las operaciones que se indican a continuación. (+5) + (+8) (+5) + (-8) (-5) + (+8) (-5) + (-8) Encuentra tres números enteros cuya suma sea 0. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 0

12 Hoja de Trabajo N 6 Hoja de Trabajo N 6 TRABAJO INDIVIDUAL UN PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO PARA LA ADICIÓN DE ENTEROS El diagrama ilustra un procedimiento simple para sumar números enteros. Si los sumandos tienen igual signo Si los sumandos tienen diferte signo Suma los valores absolutos Resta los valores absolutos Mantén el signo de los sumandos Mantén el signo del sumando de mayor valor absoluto (d) De acuerdo con este procedimiento, qué es lo primero que hay que determinar? Si los sumandos tienen igual signo, cómo determinamos el valor absoluto del resultado? Y cómo determinamos el signo del resultado? Si los sumandos tienen distinto signo, cómo determinamos el valor absoluto del resultado? Y cómo determinamos el signo del resultado? 2 Encuentra el resultado de las siguientes adiciones en que ambos sumandos tienen el mismo signo. (+30) + (+4) (-30) + (-4) (-85) + (-95) Encuentra el resultado de las siguientes adiciones en que ambos sumandos tienen diferente signo. (+30) + (-4) (-30) + (+4) (-75) + (+25) (+75) + (-25) (-00) + (+50) (+288) + (-288) Anota el resultado de las siguientes adiciones (-36) (-64) + 36 (-64) + (-36) (-200) + (-300) (-99) + (+00) (-99) + (-00) FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.

13 Hoja de Trabajo N 7 Hoja de Trabajo N 7 TRABAJO GRUPAL EL INVERSO ADITIVO DE UN NÚMERO Cuánto hay que sumar a -8 para obtener 0? Cuánto hay que sumar a 8 para obtener 0? Cuánto hay que sumar a 39 para obtener 0? Cuánto hay que sumar a -39 para obtener 0? Qué características deben tener dos números enteros para que su suma sea 0? 2 Sabemos que = 0. Es posible encontrar otro par de números naturales cuya suma sea 0? Encuentra pares de números enteros que sumen 0. 3 A qué llamamos el inverso aditivo de un número? Cuál es el inverso aditivo de 56? Cuál es el inverso aditivo de -56? Cuál es el inverso aditivo de -38? Cuál es el inverso aditivo de 38? 4 Qué resultado se obtiene si a un número se le suma su inverso aditivo? Qué se puede decir acerca de la posición en la recta numérica de dos números en que uno es el inverso aditivo del otro? Si dos números tienen distinto signo, qué otra condición deben cumplir para que uno sea el inverso aditivo del otro? 5 Un número a es el inverso multiplicativo de un número b si el producto de ambos es igual a. Cuál es el inverso multiplicativo de 5? Y de /8? Y de 3/4? Qué semejanzas y qué diferencias ves tú entre los conceptos de inverso aditivo e inverso multiplicativo? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

14 Hoja de Trabajo N 8 Hoja de Trabajo N 8 TRABAJO GRUPAL ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Cómo podemos transformar una sustracción en una adición que tenga el mismo resultado? En cada una de las siguientes situaciones, encuentra el valor de x para que la adición que hay a la derecha del signo igual tenga el mismo resultado que la sustracción que hay a la izquierda del signo igual. (+4) (+6) = (+4) + x (-8) (-5) = (-8) + x (-20) (+2) = (-20) + x (+640) (-40) = (+640) + x 2 Encuentra el resultado de las siguientes sustracciones transformando la sustracción en una adición que tenga el mismo resultado. (+50) (-30) (-6) (-6) (-6) (+6) (+6) (-6) (-88) (-48) (-32) (+8) 3 Fabián afirma que si a 0 se le resta un entero positivo, el resultado es menor que 0. Tiene razón? También afirma que si a 0 se le resta un entero negativo, el resultado es mayor que 0. Tiene razón? 4 Considera la sustracción (-25) (-x) en que (-x) es un entero negativo. Cuánto debería valer (-x) para que el resultado sea 0? Qué condición debería cumplir (-x) para que el resultado sea positivo? Qué condición debería cumplir (-x) para que el resultado sea negativo? 5 Encuentra el resultado de las sustracciones que se indican a continuación. (+3) - (+5) (+3) - (-5) (-3) - (+5) (-3) - (-5) (+6) - (+) (+4) - (-8) (-2) - (+9) (-7) - (-7) FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

15 Hoja de Trabajo N 8 6 (d) (e) Si se suman dos números naturales, el resultado es siempre un número natural? Si se restan dos números naturales, el resultado es siempre un número natural? Qué condiciones debe cumplir una sustracción de números naturales para que el resultado sea un número natural? Bajo qué condiciones una sustracción de números naturales no tiene solución en el ámbito de los números naturales? Nicolás que está en 2º básico dice que no se puede restar 5 8. Tiene razón? Explica tu respuesta. 7 Qué semejanzas y diferencias ves tú entre el procedimiento para sumar números naturales y el procedimiento para sumar números enteros? Hemos visto que para restar dos números enteros, basta sumar el minuendo más el inverso aditivo del sustraendo. Podemos aplicar este mismo procedimiento para restar números naturales? Explica tu respuesta. 8 Escribe una adición en que el resultado sea menor que cada uno de los sumandos. Escribe una sustracción en que el resultado sea mayor que el minuendo. 9 Encuentra el resultado de las siguientes sustracciones: Observa las siguientes operaciones. Sin efectuar cálculos, responde las preguntas que se dan a continuación. (+728) - (+409) (+728) - (-409) (-728) - (+409) (-728) - (-409) (+728) + (+409) (+728) + (-409) (-728) + (+409) (-728) + (-409) Une con una línea las operaciones que deben tener el mismo resultado. Cuál o cuáles de estas operaciones deben tener el mayor resultado? Cuál o cuáles de estas operaciones deben tener el menor resultado? Resuelve estas dos operaciones: Qué puedes decir acerca del valor absoluto de los dos resultados? Qué puedes decir acerca de sus signos? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4

16 Hoja de Trabajo N 9 Hoja de Trabajo N 9 TRABAJO GRUPAL VARIACIONES La tabla muestra el saldo en la cuenta bancaria de la empresa de la señora Berta para los meses de Marzo a Agosto. Mes Marzo Abril Mayo Junio Julio Saldo (pesos) Agosto Cuánto fue la variación en el estado financiero de la empresa entre Marzo y Abril? Y entre Abril y Mayo? Y entre Mayo y Junio? Y entre Junio y Julio? Y entre Julio y Agosto? En cuál de estos períodos la variación fue positiva? En cuál de estos períodos la variación fue negativa? Qué interpretación damos al signo de las variaciones en este caso? 2 Don Alfredo debe viajar desde Punta Arenas a Copiapó. Cuando sube al avión en Punta Arenas, la temperatura es de -6 ºC. Cuando llega a Copiapó, la temperatura en esa ciudad es de 25 ºC. Dos días después debe volver a Puntas Arenas. Al partir en Copiapó hay una temperatura de 22 ºC. Al llegar a Punta Arenas, encuentra una temperatura de -0 ºC. Cuánto fue la variación de temperatura que debió experimentar don Alfredo en su viaje de ida? Y en su viaje de vuelta? Qué interpretación damos al signo de las variaciones en este caso? 3 El punto más alto de la Tierra en relación con el nivel del mar es la cima del Monte Everest que tiene una altura de metros sobre el nivel del mar. El punto más bajo es la Fosa de las Marianas, al este de las Filipinas en el Océano Pacífico, a metros respecto al nivel del mar. Qué diferencia de nivel hay entre estos dos puntos extremos? Cuánto sería la diferencia de nivel entre la cima del Monte Everest y un punto del Océano Pacífico situado a una profundidad de metros bajo el nivel del mar? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5

17 Hoja de Trabajo N 0 Hoja de Trabajo N 0 TRABAJO GRUPAL MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS DE DISTINTO SIGNO Podemos encontrar un procedimiento para multiplicar números enteros de distinto signo considerando la multiplicación como una adición de sumandos iguales. Así, por ejemplo, la multiplicación 5 (-8) puede interpretarse como 5 veces (-8), es decir: 5 (-8) = (-8) + (-8) +(-8) +(-8) +(-8) De acuerdo con esto, cuánto es el producto de 5 (-8)? Qué puedes decir acerca del valor absoluto del producto, en relación con el valor absoluto de cada factor? Y qué puedes decir acerca del signo del producto? Podrías formular un procedimiento general para multiplicar entero positivo por un entero negativo? 2 Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones: 2 (-20) 00 (-) 25 (-4) 3 (-2) 9 (-9) 3 Analicemos ahora el caso de la multiplicación de un entero negativo por uno positivo. En el caso de la multiplicación (-3) 4, una interpretación del tipo (-3) veces 4 carece de sentido. Pero podemos considerar que debe cumplirse la propiedad conmutativa, de modo que: (-3) 4 = 4 (-3) Y ahora podemos aplicar el procedimiento visto en la actividad anterior. Cuánto es (-3) 4? Podrías formular un procedimiento general para multiplicar dos enteros de distinto signo? 4 Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones: (-9) (-7) (-) (-) (-4) (-6) (-6) 6 8 (-7) FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6

18 Hoja de Trabajo N Hoja de Trabajo N TRABAJO GRUPAL MULTIPLICACIÓN DE DOS ENTEROS NEGATIVOS Corresponde ahora analizar el caso de la multiplicación de dos enteros negativos. Para encontrar un procedimiento podemos considerar la secuencia que muestra el recuadro. Cómo va variando el segundo factor en esta secuencia? Cómo va variando el producto? (-6) (+3) = -8 (-6) (+2) = -2 (-6) (+) = -6 (-6) 0 = 0 (-6) (-) =? (d) Cómo debería seguir la secuencia de modo que tanto el segundo factor como el producto siguieran variando de la misma manera que lo estaban haciendo? De acuerdo con esto, cuánto debería ser el producto en cada una de las siguientes multiplicaciones? (-6) (-) (-6) (-2) (-6) (-3) (-6) (-5) (-6) (-8) (e) Podrías formular un procedimiento general para multiplicar dos enteros de igual signo? 2 Qué semejanzas y qué diferencias encuentras entre la multiplicación de dos enteros positivos y la multiplicación de dos enteros negativos? Qué semejanzas y qué diferencias encuentras entre la multiplicación de dos enteros positivos y la multiplicación de dos enteros de distinto signo? 3 Encuentra el producto de cada una de las siguientes multiplicaciones. (-4) (+8) (-5) (-7) 2 (-25) (+5) (+3) (-00) (-4) Encuentra el producto en estas multiplicaciones de 3 factores. (-2) (-5) 7 (-2) 5 (-7) 2 (-5) 7 (-2) (-5) (-7) En una multiplicación de varios números enteros, es posible saber el signo que tendrá el resultado sin efectuar ningún cálculo? 3 Qué efecto tiene multiplicar un entero positivo por -? Qué efecto tiene multiplicar un entero negativo por -? Catalina afirma que si se multiplica un número entero cualquiera por - el número se convierte en su inverso aditivo. Tiene razón? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 7

19 Hoja de Trabajo N 0 Hoja de Trabajo N 2 TRABAJO GRUPAL DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Conviene recordar que la división es la operación inversa de la multiplicación. Esto significa que en una división, si se multiplica el cuociente por el divisor debe obtenerse el dividendo, tal como muestra el ejemplo del recuadro A. De acuerdo con esto, una forma de determinar el cuociente de una división consiste en buscar un número que multiplicado por el divisor sea igual al dividendo, como muestra el recuadro B Qué número multiplicado por 3 es igual a -5? Por lo tanto, cuánto es -5 : 3? A B 48 : 6 = = 48-5 : 3 =?? 3 = -5 Utilizando un razonamiento similar, encuentra el cuociente de las siguientes divisiones. 24 : (-6) 24 : (-6) 24 : 6-24 : 6 (d) (e) Qué signo debería tener el cuociente si el dividendo y el divisor son enteros positivos? Qué signo debería tener el cuociente si el dividendo y el divisor son enteros negativos? Qué signo debería tener el cuociente si el dividendo es un entero positivo y el divisor es un entero negativo? Qué signo debería tener el cuociente si el dividendo es un enteronegativo y el divisor es un entero positivo? Podrías formular un procedimiento general para dividir un número entero por otro? 2 Encuentra el cuociente de cada una de las siguientes divisiones. (-36) : (+4) (-25) : (-5) 56 : (-7) (+48) : (+6) (-00) : (-2) 72 : (-9) (-30) : 5 (-55) : (-) 3200 : (-00) 00 : (-2) Catalina afirma que si se divide un números entero cualquiera por - el número se convierte en su inverso aditivo. Tiene razón? 3 Explica con ejemplos el procedimiento de cálculo de adición de números enteros. Explica con ejemplos el procedimiento de cálculo de sustracción de números enteros. Explica con ejemplos el procedimiento de cálculo de multiplicación de números enteros. (d) Explica con ejemplos el procedimiento de cálculo de división de números enteros. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 8