Matemáticas: Operaciones con números enteros

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1 Matemáticas: Operaciones con números enteros Profesor: Jorge Granados Romero Descripción y objetivos del curso Este curso está dirigido a quienes deseen refrescar sus conocimientos de matemáticas, y para los estudiantes actuales que deseen reafirmarlos. Contenido del curso Clase 1: Los números enteros y sus operaciones Clase 2: Adición de números enteros Clase 3: Adición de números enteros Clase 4: Sustracción de números enteros Clase 5: Sustracción de números enteros Clase 6: La sustracción en la recta numérica Clase 7: Multiplicación de números enteros Clase 8: La multiplicación de números enteros en la recta numérica Clase 9: División de números enteros Clase 10: Reglas prácticas y ejercicios LOS NÚMEROS ENTEROS Y SUS OPERACIONES Son números enteros: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, Una forma práctica de representar este conjunto de números es la línea recta(recta numérica). Siendo la línea recta por definición, un conjunto de puntos que siguen la misma dirección y que ésta puede prolongarse indefinidamente en ambos sentidos, basta con seleccionar uno de sus puntos para ubicar el cero y una distancia uniforme entre cada uno de ellos a la que llamaremos módulo y que deberá conservarse al representar los números en dicha recta. Como se ve en la ilustración, los números positivos quedan a la derecha del cero y los negativos a su a su izquierda. También es posible representar a los números enteros como desplazamientos hacia la derecha y hacia la izquierda, lo cuál será de utilidad para representar gráficamente las operaciones con estos números. Es importante aclarar que no necesariamente un desplazamiento deberá tomarse a partir del cero, sino que éste puede iniciarse desde cualquier punto. 1

2 Es importante aclarar que no necesariamente un desplazamiento deberá tomarse a partir del cero, sino que éste puede iniciarse desde cualquier punto. ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. Consideraremos adiciones de dos sumandos para la aplicación de las leyes de los signos; para efectuar adiciones con más de dos sumandos, se empleará la regla de la adición de sumandos iguales.hasta reducirlos a dos sumandos. A fin de no confundir el signo de + o el de - de cada número, con los signos de operar, se escribirán los números negativos entre paréntesis; sin embargo, se omitirá su uso, cuando no se preste a confusión. Los números que no tengan signo escrito, se considerarán positivos, SUMANDOS SUMA = 8 (-3) + (-5) = (-5) = -2 (-3) + 5 = 2 La recta numérica servirá también para representar gráficamente los sumandos y la suma. Se ha convenido representarlos por medio de desplazamientos uno a continuación de otro. Ejemplo: = 8 Estos desplazamientos se harán hacia la derecha si son positivos y a hacia la izquierda si son negativos, uno a continuación del otro. (-3) + (-5) ADICION DE NÚMERO ENTEROS (Continuación) : Ejemplo (-5) = -2 2

3 Ejemplo = 2 Resumen: Para sumar positivo + positivo: se suman los valores absolutos y la suma tendrá signo positivo = 8 Para sumar negativo + negativo: se suman los valores absolutos y la suma tendrá signo negativo. : (-5 ) + (- 3 ) = - 8 Para sumar positivo + negativo: se restan los valores absolutos y la suma tendrá el signo del que tenga mayor valor absoluto. (- 5 ) + 3 = - 2 Nota: Valor Absoluto es el que tiene el número sin importar la dirección que siga en la recta numérica: Ejemplos: El valor absoluto de +5 = 5 El valor absoluto de 5 = 5 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. La operación recibe a menudo el nombre de resta, en realidad debe llamarse SUSTRACCIÓN y se considera como la operación inversa de la adición. Cuánto hay que sumar a 12 para que de cómo resultado 25? El objetivo de la SUSTRACCIÓN será entonces, conocer la DIFERENCIA.. En primer lugar, notaremos que el sustraendo irá siempre entre paréntesis, para diferenciar, el signo negativo de los números y el signo operativo de menos. EL INVERSO ADITIVO DE UN NÚMERO. 3

4 Este concepto, ayudará a realizar la operación de sustracción sin muchas complicaciones. Se considera que todo número entero puede asociarse con otro que reúna la siguiente condición: EL NÚMERO ENTERO SELECCIONADO, MAS OTRO NÚMERO ENTERO, DA COMO SUMA CERO Cuánto debemos sumar a 8 para que dé como suma 0?.. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS (Continuación) El inverso aditivo de un número entero es otro que tiene el mismo valor absoluto pero de signo contrario. El inverso aditivo de 5 es (-5 ) El inverso aditivo de (-3) es 3 Para evitar escribir el inverso aditivo de...es, se anota el número propuesto entre paréntesis precedido de un signo de menos. - (-15) = 15 esto significa: el inverso aditivo de (-15) es 15 Algunos ejemplos más: -(-10) = 10 El inverso aditivo de 10 es 10 -(23) = -23 El inverso aditivo de 23 es -23 -(-15) = 15 El inverso aditivo de 15 es 15. Cuánto es 23 ( 12)? Solución: = 11 Cuánto es (-18 ) (-8)? Solución: = -10 Habrá notado, que se cambió (-8 ) por su inverso aditivo. De este modo estamos en condiciones de efectuar la sustracción de número enteros. REGLA: Para restar números enteros, se anota el minuendo, se anota el inverso aditivo del sustraendo y se reduce la expresión de acuerdo con la adición de números enteros. 4

5 LA SUSTRACCIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA. El sumando que se desconoce en :3 + ( ) = 5, puede conocerse por medio de la sustracción: EJEMPLO 1 5 (3 ) = (-2) = 9 de Números Enteros. Ejercicios de Adición y Sustracción MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Se considera a la multiplicación de números enteros, como una suma de sumandos iguales que puede abreviarse = 20 4 x 5 = 20 En atención, de que los números enteros pueden ser positivos o negativos, se hace necesario conocer las reglas con las que habrá que operar estos números. Consideraremos en primer lugar que elementos tiene la multiplicación de enteros: 4 x 6 = 24 FACTORES PRODUCTO Usaremos el signo para hacer notar que el número es positivo o negativo, recordando que en la práctica, se omitirá el signo de mas y los paréntesis cuando no haya lugar a confusión. Se ha procurado evitar la simbología literal, misma que será motivo de lecciones posteriores, sin embargo, será necesario abordar las diferentes formas en que es posible representar la multiplicación. Una misma expresión, puede representarse de distinta manera. 1. x 8 = 56 ( 7 ) ( 8 ) = 56 7(8 ) = 56 7 * 8 = 56 5

6 1er caso. PRODUCTO DE DOS FACTORES POSITIVOS (+4 )(+ 2) Esto significa + 4 veces el sumando = +8 2º. Caso PRODUCTO DE DOS FACTORES NEGATIVOS. (-4 )( - 2) Esto Significa -4 veces el 2 -(-2)-(-2)-(-2 )-(-2 ) = = +8 3er.Caso PRODUCTO DE UN FACTOR NEGATIVO POR UNO POSITIVO (-4 )(+2 ) Esto significa 4 veces el +2 -(+2 )-(+2 )-(+2 )-(+2) = = -8 4º. Caso PRODUCTO DE UN FACTOR POSITIVO POR UN NEGATIVO (+4)(-2) Esto significa 4 veces el = -8 De los casos propuestos se desprenden las siguientes reglas: POSITIVO X POSITIVO = POSITIVO o también (+)(+)= (+) o también: mas por mas da mas. NEGATIVO POR NEGATIVO = POSITIVO o también (- )( - ) = ( + ) o también menos por menos da mas. LA MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA. Para representar la multiplicación en la recta numérica se requieren dos ejes: uno horizontal y otro vertical, en éste, se considera del punto de intersección hacia arriba, positivo y hacia abajo negativo. El cero en la intersección (origen). De este modo, queda un plano dividido en cuatro cuadrantes. Los factores se localizan en los ejes y el producto queda determinado por el número de cuadros, y es positivo en el primero y en el tercer cuadrantes y negativo en el segundo y cuarto cuadrantes. 6

7 PRODUCTO DE MAS DE DOS FACTORES. Para efectuar el producto de más de dos factores, se opera con los signos de dos en dos y se efectúa la multiplicación con los números. Ejemplo: (-4 )( +2 )(-3) = menos x mas = menos x menos = x 2 x 3 = 24...RESULTADO (+ 5 )(-2 )(+ 3 ) = mas por menos = menos x mas = x 2 x 3 = 30 RESULTADO DIVISIÓN DE NÚMERO ENTEROS La división de números enteros es considerada como la operación inversa de la multiplicación, en donde se conoce un factor y su producto y se desconoce el otro factor. 7

8 LA DIVISIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA LOS NÚMEROS ENTEROS Y SUS OPERACIONES. Reglas practicas y ejercicios: ADICION DE NUMEROS ENTEROS: 8

9 Para sumar números enteros: 1. positivo + positivo: se suman sus valores absolutos y la suma será positiva = negativo + negativo : se suman sus valores absolutos y la suma será negativa (-56 ) + ( -78 ) = Positivo + negativo ó negativo + positivo: se restan sus valores absolutos(el mayor del meno) y la suma tendrá el signo que tenga el de mayor valor absoluto (- 56 ) = = Si hay más de dos sumandos con diferente signo, se suman primero los de un Signo y luego los del otro, y la suma se obtiene de acuerdo al punto anterior (-78) + 15 = 71 + ( ) = - 32 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: Para restar número enteros: 1. Se anota el minuendo tal y como está. 2. Se anota el inverso aditivo del sustraendo. 3. Se suman de acuerdo con las reglas para la Adición ( -32 ) = = 7 MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS ENTEROS: 1. positivo x positivo : se multiplican sus valores absolutos y el producto será positivo x 54 = negativo por negativo: se multiplican sus valores absolutos y el resultado positivo. -18 x (- 54 ) = positivo por negativo, ó negativo por positivo: se multiplican sus valores absolutos y el producto será negativo x ( +54 ) = x ( -18 ) =

10 (Clase 10-2) LOS NÚMEROS ENTEROS Y SUS OPERACIONES. Reglas prácticas y ejercicios Si hay más de dos factores con diferente sigo, se multiplican sus valores Absolutos, y el producto será positivo si el número de factores negativos es par, y negativo si es impar. ( -15 ) x 23 x ( -18 ) = x (- 23 ) x (- 18 ) = DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. de La división de números enteros sigue las mismas reglas que la multiplicación números enteros. 35 entre 7 = 5-35 entre 7 = 5-35 entre ( - 7 ) = 5 10