LOS NUMEROS IRRACIONALES:

Transcripción

1 LOS NUMEROS IRRACIONALES: Operaciones con decimales finitos. Adición, sustracción, multiplicación, división y aplicación a la resolución de problemas. Los números Irracionales (II). Representación de irracionales en la recta numérica. Aproximaciones por redondeo o truncado. Comparando irracionales. Operaciones entre irracionales y propiedades de estas.

2 Operaciones con decimales finitos: Los decimales finitos, por ejemplo: 0,75; 3,207; 5,1025 ; etc. se pueden operar directamente, aplicando los siguientes procedimientos: 1) Adición: Se colocan los sumandos uno bajo de los otros, dejando coma bajo coma para luego sumar y colocar en el resultado la coma bajo las otras. Ejemplo: La suma de 0,03 con 14,075 con 0,56437 con 8,0345 es: 0, , , , ,

3 2) Sustracción: Se coloca el sustraendo bajo el minuendo, quedando coma bajo coma, añadiendo ceros si fuese necesario para que el minuendo y el sustraendo tengan igual número de cifras decimales, para luego restar y colocar en el resultado la coma bajo las otras. Ejemplo: Al restar 16,8758 de 125,63 resulta: , , ,

4 3) Multiplicación: Para multiplicar decimales o un entero por un decimal, se multiplican como si fuesen enteros, corriendo en el producto la coma de derecha a izquierda tantos lugares como cifras decimales haya en los factores. Ejemplo: El producto entre 25,315 y 7,36 es: 2 5, , , , 5 lugares

5 4) División: Para dividir dos decimales, deben tener igual número de cifras decimales, añadiendo ceros a la que tenga menos cifras decimales, luego se suprimen las comas y se dividen como enteros. Ejemplo: El cuociente de 89,3148 : 3,156 = 8 9, : 3, = 8 9, : 3, = : = ' 8 ' : = , 3

6 Ejercicios: 1) Efectuar la operatoria indicada entre decimales finitos: a) 2,15 + 0,03 2,5 0,369 : 0,9 0,185 = 2,15 + 0,075-0,41-0,185 2,225-0,41-0,185 1,815-0,185 1,63 0,03 2, , 0,369 : 0,9 0,369 : 0, : = 0,

7 b) (0,05 (6,12 0,1314)) : 0,09 = ( 0,05 5,9886 ) : 0,09 0, : 0,09 3,327 5, , 0 5 0, , : 0, 0 9 = 0, : 0,09000 = : = 3,

8 2) Resolver los siguientes problemas: a) La altura de una persona es de 1,85 metro y la de una torre es 26 veces la altura de esta persona, menos 1,009 metros. Cuál es la altura de la torre? + 1, , - 4 8, , , La altura de la torre es de: 47,091 metros.

9 b) Un tonel lleno de vino pesa 614 kilos. Si el litro de vino pesa 0,98 kilogramos y el peso del tonel es de 75 kilogramos. Cuántos litros contiene el tonel? Peso del vino: Kg. Para obtener la cantidad de litros, se divide el peso total del vino por el peso de 1 litro de este; es decir: : 0, 9 8 = 5 3 9, 0 0 : 0, 9 8 = ' 0 ' 0 ' : 9 8 = La capacidad del tonel es de: 550 litros. 0

10 Los Números Irracionales: Sabemos que los elementos del conjunto Q de los números racionales son los números de la forma a con b b 0, números que poseen una expresión decimal finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. Existen números que poseen expresión decimal infinita no periódica, los que reciben el nombre de Números Irracionales (II) ; luego: II = {x/x posee expresión decimal infinita no periódica} Ejemplos: a) = 3, b) 2 = 1,

11 Son números irracionales al igual que todas las raíces inexactas, por tener expresión decimal infinita no periódica. Ejercicios: Determine si o al conjunto II los siguientes números: a) 3 II d) 3 5 II g) 4 12 II b) 7 II e) 3 3 II h) II c) 9 II f) 3 8 II i) II Gráficamente a todo número irracional le corresponde un punto sobre la recta numérica.

12 Ejemplo: Ubiquemos en la recta 2 ; 3 ; 2 ; 3 ; para ello en el 1 se copia perpendicularmente la misma unidad, luego unir con un trazo el punto 0 con el extremo del trazo copiado, formándose un triángulo rectángulo de hipotenusa de medida 2, medida que se lleva a la recta en ambos sentidos, ubicándose en esta 2 y 2. Donde cae 2 se levanta perpendicularmente la unidad, unir el punto 0 con el extremo del trazo copiado, formándose un segundo triángulo rectángulo de hipotenusa de medida 3, la que se lleva a la recta en ambos sentidos, ubicándose en esta 3 y 3. Continuando con este método, se ubican todas las raíces cuadradas exactamente en la recta.

13 Al ubicar 2 ; 3 ; 2 ; Notar que no todo punto de la recta es un número irracional.

14 Aproximaciones: Como los números irracionales poseen expresión decimal infinita no periódica, para efectos de comparaciones y operatoria se hace necesario aproximar estos aplicando los procedimientos de redondeo o de truncado: Cuando redondeamos un número a una determinada cifra decimal, se debe considerar la cifra decimal que esta a su derecha: i) Si tal cifra es mayor o igual a 5, se aumenta en 1 la cifra decimal anterior. ii) Si tal cifra es menor que 5, se conserva la cifra decimal anterior.

15 Cuando truncamos un número en una determinada cifra decimal, se escribe este hasta tal cifra, sin considerar las cifras posteriores. Ejemplo: Aproximar a tres cifras decimales las siguientes cantidades, aplicando procedimiento de redondeo y truncado: Número Redondeo Truncado (a) 5, ,764 5,763 (b) 3, (c) 9, (d) 8, (e) 2, ,157 3,157 9,483 9,482 8,026 8,026 3,000 2,999

16 Aproximación por exceso y por defecto: Cuando la aproximación es menor al valor real se dice que es por defecto a diferencia de ser la aproximación mayor que el valor real donde es por exceso. Ejemplo: 2 1, ,41 es una aproximación por... defecto (es menor) 1,42 es una aproximación por... exceso (es mayor) Al truncar siempre resulta una aproximación por defecto mientras que al redondear la aproximación puede ser por exceso o diferencia.

17 Valor real Aproximación Tipo aprox. 7 2, Al truncar a la milésima: 7 2,645 por defecto 15 3, Al redondear a la milésima: 15 3,873 por exceso 33 5, Al redondear a la milésima: 33 5,745 por exceso 41 6, Al redondear a la milésima: 41 6,403 por defecto

18 Comparando Irracionales: Se debe apoyarse en su expresión decimal infinita no periódica o bien en una aproximación de esta; preferentemente con igual número de cifras decimales para facilitar las comparaciones. Ejemplo: Comparemos ahora los siguientes irracionales aproximando a 3 cifras decimales (a la milésima) por redondeo: (a) 5 = 3, ,142 3,142 2,236 5 = 2, ,236

19 (b) , ,449 7,938 12,245 7 = 2, = 2, ,646 2,449 (c) , = 3, , = 4, ,606 4,796 1,202 2,398 Operaciones en II: Como los números irracionales poseen expresión decimal infinita no periódica, para operarlos se utilizan aproximaciones.

20 Ejemplos: Al calcular aproximando a tres cifras decimales (a la milésima) por redondeo se tiene que: Calculo Valor 3, , , , Aproximación 3, ,449 2,646-2,236 Resultado 5,591 0,410 Nota: Es común dejar sólo indicada estas operaciones, ya que el resultado que se obtiene es sólo una aproximación.

21 Propiedades: Las operaciones en II cumplen con las mismas propiedades que en Q; a excepción de no cumplir con la clausura estas y de no existir elementos neutros ya que el 0 y 1 no son números irracionales. Complemento: Para aprender a calcular raíces cuadradas, aplicaremos el siguiente procedimiento:

22 "Separar la cantidad subradical en grupos de dos cifras de derecha a izquierda; el valor de la raíz es inicialmente aquella cantidad cuyo cuadrado es menor o igual al grupo de la izquierda en la cantidad subradical, cuadrado que se resta de ésta, obteniéndose el primer resto el que se acompaña por el siguiente grupo de dos cifras que se baja para dividir esta cantidad por el doble del valor de la raíz anterior, cuociente que acompaña al valor de la raíz y al doble de ésta, el que se multiplicará por tal cuociente, obteniéndose un producto el que se resta del resto anterior (si tal producto es mayor que el resto se debe rebajar tal cuociente) obteniéndose el nuevo resto, el que se acompaña por el siguiente grupo de dos cifras que se bajan y así sucesivamente".

23 Ejemplos: ' ' : : ' ' ' : : :

24 Para calcular cifras decimales, se agrega a cada resto dos ceros por cada cifra decimal que se calcule. 7 2, : : : , : : :

25 Ejercicios Complementarios: 1) Si a = 3 3 ; b = 2 5 y c = 7 ; la alternativa correcta es: A) a < b < c a ,732-5,196 B) a < c < b b ,236-4,472 C) b < a < c c 7-2,648 D) b < c < a E) c < b < a -5,196 < -4,472 < -2,648 a < b < c

26 2) Si 3 2 < x < 2 3 ; luego x =? A) ,41-2, x ,41 < x < -2 1,73 B) ,73-5,19-4,23 < x < -3,46 C) D) ,73 3,46-0, ,41 7,05-3, E) Ninguna de las anteriores.

27 3) Si x, y son números primos positivos con x y. Cuál(es) de las siguientes expresiones representan siempre a un número irracional? Ej: x+y x y l) No ll) Si lll) A) Sólo l y ll B) Sólo l y lll C) Sólo ll y lll D) Todas 5 11 E) Ninguna II II x y 5 7 Si II

28 4) Si a es número impar positivo; de las siguientes expresiones es (son) siempre un número irracional? l) a No ; si a = II ll) 3 a No ; si a = II lll) 4 a No ; si a = II A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll D) Sólo l y ll E) Ninguna.

29 5) Se tiene que a es irracional sólo si : (1) a es número primo. Si; 2; 3; 11;.. II (2) a es racional irreductible. No; 9 16 es racional irreductible y 9 3 II 16 4 A) (1) por si sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

30 6) Se tiene que a 2 es irracional si: (1) Si a es número racional. No Si a = 0 a II (2) Si a es número irracional. Si a = No 2 a = 2 II No A) (1) por si sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

31 Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-07 1) a) 1,2077 b) 17,7237 c) 240,018 d) 1,27 e) 40,7572 f) 3,32 2) a) $3,39 por kilo. b) 29 minutos. 3)Número Q II (a) 3/4 (b) (c) 16 (d) 3 5 (e) 3,14 (f) 3 6 (g) 0,13 (h) 3 8 (i) 5 2 4) Número Redondeo Truncado (a) 15, ,355 15,354 (b) 12, ,478 12,478 (c) 0, ,877 0,876 (d) 5, ,679 5,678 (e) 75, ,555 75,555 (f) 0, ,778 0,777 (g) 19, ,378 19,378 5) E 6) C 7) E 8) A 9) B 10) D 11) C 12) D