Capítulo 1: Números y funciones

Transcripción

1 (Fundamentos Matemáticos de la Biotecnología) Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia Curso 2016/2017

2 Contenidos Primeras clases de números reales Operaciones con números reales Ecuaciones e inecuaciones Sistemas de ecuaciones Funciones Definiciones básicas Operaciones con funciones Gráfica de una función Funciones más relevantes Funciones lineales Funciones potenciales Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Funciones periódicas Funciones trigonométricas

3 Primeras clases de números Primeras clases de números N = naturales (de natural): Los utilizamos para contar. N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Z = enteros (de Zahlen): Sirven para contar en direcciones opuestas a partir de un nuevo número: el cero 0. Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. (p.ej., las plantas de una vivienda que tiene sótano/s, etc.) Q = racionales (de quotient): Son los que resultan de dividir un número entero m por otro n, es decir, m/n. Q = {..., 132, 103, 74, 0, 12, 23, 56 },....

4 reales irracionales La expresión decimal de un número racional tiene: un número finito de cifras decimales (0, 6231), o un número infinito de decimales y es periódico (2, ). Pero... y los números con infinitas cifras decimales no periódicos? I = irracionales (de irrational): Tienen infinitas cifras decimales y éstas no siguen ningún patrón. Por ejemplo: 2 = 1, R = reales (de real): Son el conjunto formado por los números racionales y los irracionales, y completan todos los huecos de la recta real: R = Q I

5 reales irracionales Otros ejemplos famosos de números reales (que no son racionales) son: π = 3, número pi e = 2, número e ϕ = 1, número áureo

6 reales El orden de los números reales Existe una relación de orden < (que se lee menor que ) tal que dados dos números reales x e y (distintos), se cumple x < y ó y < x. Signo de un número x: positivo si 0 < x; negativo si x < 0. El orden en N: El orden en Z: 1 < 2 < 3 < 4 < < 200 < < 10 6 < < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < El orden en R: Dos números reales se ordenan comparando su expresión decimal.

7 reales Otras relaciones de orden > ( mayor que ) x > y si se cumple que y < x. ( menor o igual que ) x y si se cumple que x = y ó x < y ( mayor o igual que ) x y si se cumple que x = y ó x > y

8 reales La recta real Los números reales se representan en una recta, en la cual se fija un punto 0, llamado origen, una unidad de longitud y un sentido positivo: Los números positivos (x > 0) se colocan a la derecha del origen, y los negativos (x < 0) a la izquierda: Resultado muy importante: A cada número real le corresponde un único punto en la recta real y viceversa (se dice que existe una biyección). La recta se denomina recta real y es una representación geométrica de R.

9 reales Subconjuntos especiales: los intervalos finitos abiertos: (a, b) = {x R : a < x < b} cerrados: [a, b] = {x R : a x b} semiabiertos (o semicerrados): [a, b) = {x R : a x < b} (a, b] = {x R : a < x b}

10 reales Subconjuntos especiales: los intervalos infinitos (a, + ) = {x R : x > a} [a, + ) = {x R : x a} (, b) = {x R : x < b} (, b] = {x R : x b}

11 reales Propiedades de los números reales La suma y la multiplicación de números reales poseen las siguientes propiedades: Propiedad Suma Multiplicación Conmutativa x + y = y + x xy = yx Asociativa (x + y) + z = x + (y + z) (xy)z = x(yz) Elemento neutro x + 0 = x x1 = x Elemento inverso x + ( x) = 0 xx 1 = 1 Propiedad distributiva x(y + z) = xy + xz

12 Operaciones con números reales Operaciones especiales con números reales (I) La potencia Si n es un número natural, se define la potencia n-ésima de x R como x n = x. (n).. x. (x n ) m = x n m, x n x m = x n+m. Para la potencia con números enteros: x 0 = 1 y x n = 1 x n. La raíz Si n es un número natural, se define la raíz n-ésima de x como n x = y siempre que y n = x. Si n es par, entonces debe ser x 0. Potencias racionales: x m n = n x m.

13 Operaciones con números reales Operaciones especiales con números reales (II) Se define el valor absoluto de un número x como { x si x 0 x = x si x < 0 Propiedades básicas del valor absoluto 1 x = 0 x = 0. 2 x 2 = x. 3 x = x. 4 xy = x y. 5 x n = x n. 6 = x Se define la distancia entre dos números x e y como d(x, y) = x y x y y. 7 x + y x + y. 8 x y x y.

14 Ecuaciones e inecuaciones Ecuaciones: definición y ejemplos Las ecuaciones son igualdades algebraicas construidas con números (naturales, enteros, racionales, reales) y una variable desconocida, denominada incógnita y representada por una letra (generalmente x, aunque también valdría y, z,... ). Los valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad se denominan soluciones de la ecuación. Ecuación Solución en... x 1 = 0 x + 1 = 0 2x + 1 = 0 x 2 2 = 0 x = 0 C = complejos (de complex): N Z Q R C C = {a + bi : a, b R}

15 Ecuaciones e inecuaciones Inecuaciones: definición y ejemplos Las inecuaciones son desigualdades algebraicas construidas con números (naturales, enteros, racionales, reales) y una variable desconocida, denominada incógnita. Si existen valores de la incógnita que hacen cierta la desigualdad, éstos se denominan conjunto solución de la inecuación. Algunos ejemplos 3x 8 0 2x 1 3x + 2 5x + 1 2x 1 < 3x + 5 x 1 < 2 2x x 1 < 2x + 3 2x + 1 3x 2 0 4x 3 5x 9 < 0 x 2 + 2x + 2 > 0 2x 2 + x 6 0 5x 2 4x + 5 4x 2 2x + 9

16 Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es una serie de igualdades en las que aparecen dos o más variables desconocidas, denominadas incógnitas. Si existen valores de las incógnitas que hacen ciertas todas las ecuaciones a la vez, éstos se denominan soluciones del sistema. Por ejemplo: { x + y = 1 2x y = 2 Ecuaciones y sistemas pueden relacionar funciones de cualquier tipo: { 3x + 2y = 64 log x log y = 1 sen 3x sen x = cos 2x.