LOS NÚMEROS REALES. Definición de número real y relación con conjuntos numéricos ya definidos. Comparando reales, operaciones y propiedades.

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1 LOS NÚMEROS REALES. Definición de número real y relación con conjuntos numéricos ya definidos. Comparando reales, operaciones y propiedades. Valor recíproco. Estimaciones. Problemas de regularidades numéricas.

2 Los números Reales: Son los elementos del conjunto IR; conjunto resultante de la unión del conjunto de los números racionales con los números irracionales; es decir: Q II = IR Donde Q IR ; II IR ; luego todo número real posee expresión decimal, la cuál puede ser finita, infinita periódica o infinita semiperiódica en el caso de las racionales o infinita no periódica en el caso de los irracionales.

3 Ejercicio: Completar el siguiente cuadro colocando o para: Número IN IN o Z Q II IR 0-5 2/3 3 0,25 3π 3 27 =3 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

4 Número IN IN o Z Q II IR 3 8 0,12 9 =-2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Notar que las raíces de índice par con cantidad subradical negativa son las únicas que no poseen solución en el conjunto de los números reales.

5 En resumen: Se tiene que IN IN o Z Q IR; además II IR; relaciones que se representan en el siguiente diagrama de Venn: Notar que Q e II forman una partición de IR, ya que Q IR, II IR ; Q II = y Q II = IR. Q II IR Z IN o IN

6 Ejercicio: Determine verdadero o falso para: (a) Todo número natural es real. (...) V (b) Todo número entero es racional. (...) V (c) Hay elementos de Q en II. (...) F (d) Existen elementos de Q en Z. (...) V (e) Los números primos son reales. (...) V (f) Hay números reales que son racionales. (...) V (g) Hay números reales que son irracionales. (...) V Q II IR Z IN o IN

7 También se da una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta numérica; es decir a todo número real le corresponde un punto sobre la recta numérica y a la vez todo punto de la recta numérica representa a un número real. Ejercicio: Representar en la recta numérica los reales ; ; -1 ; ; 1 ; ; 7 2 ; 2 ;

8 3 5-2 ; ; -1 ; ; 1 ; ; ; 2 ; = 1 ; =

9 Se define : IR + = { a IR / a > 0 } reales positivos IR = { a IR / a < 0 } reales negativos. Donde IR = + IR { 0} IR Además, se tiene que IR es un conjunto denso; es decir entre dos reales distintos existe siempre un nuevo real

10 Ejercicio: Responder la operatoria indicada, en base a los conjuntos numéricos dados: (a) Q II = IR (f) IR - IR + = IR - {0} (b) IR Q = Q (g) IR - IR - = IR + {0} (c) IR II = II (h) IR - {0} = IR + IR - (d) IR - Q = II (i) IR - (IR + IR - )= {0} (e) IR - II = Q (j) IR - (Q II) = IR - IR

11 Comparando Reales: Aquí nuevamente tendremos que trabajar con expresiones decimales, preferentemente aproximadas con igual número de cifras decimales, para facilitar las comparaciones. Ejemplos: (a) π 3, < (b) > 7 (c) , , , , ,25 3,142 3,143 2,67 2,65-2,45-2,25 <

12 Operaciones en IR: Al operar dos reales, se debe tener presente que: i) En el caso de los decimales finitos, infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos se operan estos con el racional correspondiente o con una aproximación. ii) En el caso de los decimales infinitos no periódicos se operan estos obligadamente aplicando aproximaciones.

13 Ejemplo: Al calcular 0,6 + 2 =? 0,6 + 2 = 6 0,6 = = 9? , , ,23 3 6,23 3 0,6 + 2 = 2 = 1, ,41 2 = 1, , 41? 0,6 = 0, , ,67 + 1,41 2,08 0,67

14 Notar que el primer resultado, por emplear sólo una aproximación es más exacto que el segundo donde se emplean dos aproximaciones; además muchas veces las operaciones en IR entre racionales e irracionales se acostumbra a dejar sólo indicadas, así es normal que alternativas muestren por ejemplo como resultados: π π Propiedades de las operaciones en IR: Las operaciones en IR cumplen exactamente con las mismas propiedades que cumplieron las operaciones en Q. 6

15 Limitaciones de las calculadoras: Las calculadoras permiten conocer el valor y efectuar operaciones entre números reales; en forma aproximada en el caso de muchos números racionales e irracionales, dependiendo del número de dígitos del visor de la calculadora o del número de cifras decimales deseado y si esta está programada para redondeo o truncado.

16 Ejemplos: a) Para 2 ; en una calculadora con visor de 10 dígitos: = 2 3 = 0, (Truncado) 0, (Redondeo) b) Para 5 ; en una calculadora con visor de 10 dígitos: 5 = 2, (Truncado) 5 = 2, (Redondeo)

17 Valor recíproco: Si a IR y a 0; se tiene que el valor recíproco de este real a es el número 1. a Ejemplos: El valor recíproco de: (a) 3 es: 1 (b)-7 es: 1 (c) 3 es: Del ejemplo (c), se deduce que el valor recíproco de b a = 4 3 a b es:

18 Ejercicio: Determine verdadero (V) o falso (F): i) El valor recíproco de todo número entero es otro entero. (...) F ii) El valor recíproco del valor recíproco de todo real a 0 es el mismo real a. (...) V

19 Estimaciones: Una estimación consiste en hacer un calculo con cantidades aproximadas a las reales pero más fácil de operar, así; aunque el resultado a obtener no sea exacto se obtiene una referencia de este. Ejemplo: Supongamos que deseamos calcular: =? Se pueden estimar las cantidades: = luego es un valor parecido a ahora el resultado exacto es: = La estimación es un procedimiento rápido donde debemos tener como criterio para facilitar las cantidades lo ya aprendido en aproximaciones.

20 Ejercicios: 1) Estimar el resultado de las siguientes operaciones: (a) 32,4 57,8 = (b) 704 2,86 = 30 60» » (c) : 285 = : 300 =» 20

21 2) Determine por estimación si los siguientes resultados son correctos (V) o (F) : (a) 7,25 29,2 = (b) 792,3 : 21,25 = 3, » 210 (F) 800 : 20» 40 (F) (c) 92,5 2 : 28, 12 2 = 108, : 30 2 (F) : 900» 9

22 Problemas sobre regularidades numéricas: En este tipo de problemas se debe identificar un modelo o rutina numérica que partir de casos particulares permita deducir una formula general que facilite la obtención nuevos resultados. Ejemplos: a) Se construye con fósforos la siguiente secuencia de triángulos:

23 Complete la siguiente tabla con T número de triángulos y F número de fósforos: T F Al generalizar; el número de fósforos F en función del número de triángulos T es: F = 2 T + 1

24 F = 2 T + 1 Luego, determine el número de fósforos para construir los siguientes números de triángulos: 12 triángulos; es decir si T = 12 F = F = F = triángulos; es decir si T = 25 F = F = F = 51 Se descubre una rutina, la que permite proyectar cálculos de mayor envergadura.

25 (b) Calcular la cifra de las unidades (última cifra) de las potencias: (i) 23 (ii) = = = = = = 64 Las potencias de 2 terminan en: = = = = = = Las potencias de 7 terminan en: 2, 4, 8, 6 7, 9, 3, 1 exponente ,16,20 Luego 2 23 termina en: 8 exponente Luego ,16,20,24, termina en: 9

26 (c) Cuál es la cifra número 25 de la expresión decimal 5 de la fracción? 13 5 = : 13 = 0, Las cifras decimales son seis: , 8, 4, 6, 1, ,24 25 La cifra decimal número 25 es: 3

27 (d) Cuál es la cifra número 100 de la expresión decimal de la fracción 2? = 20 : 7 = 0, Las cifras decimales son seis: , 8, 5, 7, 1, ,..,90,96 La cifra número 100 es: 7

28 Ejercicios Complementarios: 1) Complete las siguientes frases: a) El conjunto Q y el conjunto II son un subconjunto del conjunto IR. b) La intersección de los conjuntos Q con II es. c) La unión de los conjuntos Q con II es el. conjunto IR d) Luego los conjuntos Q e II forman una partición del conjunto IR.

29 e) Entre números reales y puntos de la recta existe una. correspondencia biunívoca f) Las raíces de índice par con cantidad subradical negativa son las únicas que no son elementos del conjunto de los números. reales

30 2) Cuál(es) de los siguientes números es (son) siempre reales? l) n a con n par y a IR + ll) n a con n par y a IR - lll) n a con n impar y a IR A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll Para ll) Ejemplo: 4; 9; 25 IR D) Sólo l y lll E) Todas.

31 3) Dados los números reales: 17 8 a = 3 2 ; b = ; c = 2 3 la comparación correcta entre ellos es: A) a > b > c B) b > a > c C) c > a > b D) a > c > b E) b > c > a a b = = = = 3 1, : 8 = = 2,125-2,125 > -3,46 > -4,23 4,23... c = 2 3 = 2 1,73... = 3,46... b > c > a

32 4) Cuál(es) de los siguientes números es (son) real (es) si x = -5? A) Sólo ll B) Sólo l y ll C) Sólo l y lll D) Sólo ll y lll E) Todos l) x ll) x lll) 3 x 5 ( 5) Raíces de indice par con cantidad subradical negativa, son las únicas que no son números reales.

33 5) Cuál es la ultima cifra del desarrollo de 7 32? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) = = = = = = Las potencias de 7 terminan en: exponente ,..., Luego 32 7, 9, 3, 1 7 termina en: 1

34 6) Cuál es la cifra número 50 de la expresión 3 decimal de? = 30 : 7 = 0, A) B) C) 4 Las cifras decimales son seis: D) 5 4, 2, 8, 5, 7, 1 E) ,24,30,36,42,48

35 a 7) La expresión es siempre un número real si: b (1) a,b IR + y b 0 - (2) a,b IR y b 0 A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) a 0 b > a 0 b > E) Se requiere información adicional a b IR a b IR

36 1) Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-09 Número Z Q II IR (a) 3 5 (b) 4 (c) 5 π (d) (e) 25 (f) 0,18 Número Z Q II IR (g) 0,54 (h) 1,13 (i) 12 (j) 0 (k) 3,14 (l) 16 2) a) V c) V e) V g) V i) V b) F d) V f) V h) V j) V 3) a) b) ˇ c) d) 4) B 5) B 6) D 7) D 8) A 9) A 10) A 11) D