NUMEROS ENTEROS ( Z)

Transcripción

1 NUMEROS ENTEROS ( Z) En N la resta sólo está definida si el minuendo es mayor o igual al sustraendo. Para que dicha operación no sea tan restringida se creó el conjunto de enteros negativos ( notado por N) CARACTERISTICAS: Z = N U -N U {0} Números enteros negativos Números enteros positivos Expresan cantidades que son Expresan cantidades que son menores que cero mayores que cero 1. Los números enteros no tienen parte decimal. 2. Los números enteros están formados por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero. El 0 no se considera ni positivo ni negativo. 3. Un número es menor cuanto más a la izquierda se sitúe en la recta numérica El valor absoluto de un número entero se obtiene al prescindir de su signo. El valor absoluto se representa mediante dos barras que encierran al número: +200 = 200 : Se lee: "El valor absoluto de +200 es 200". 200 = 200 : Se lee: "El valor absoluto de 200 es 200". El Opuesto de un número entero es el número con el mismo valor absoluto pero con distinto signo Los números +300 y 300 tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Se dice que +300 es el opuesto de 300 y al revés: 300 es el opuesto de Se escribe así: Op(+25) = -25 Se lee: "El opuesto de +25 es 25". Op(-25) = +25 Se lee: "El opuesto de -25 es +25".

2 COMPARACION DE NUMEROS ENTEROS Para averiguarlo, basta con representar los números 2 y 9 en la recta numérica: Vemos que 9 está a la izquierda de 2; por tanto, 9 es menor que 2. Una comparación se escribe con los símbolos : > mayor que 9 < 2 : Se lee: " 9 es menor que 2" < menor que = igual que Para comparar números enteros, debemos tener en cuenta: Cualquier positivo es mayor que cualquier negativo. Cualquier negativo es menor que cero. Entre dos negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; es decir, el esté más próximo a 0 en la recta numérica. que SUMA Y RESTA DE NUMEROS ENTEROS Suma de dos o más enteros del mismo signo Para sumar enteros del mismo signo Se suman sus valores absolutos. El resultado tiene el mismo signo que el de los números que se suman. Por ejemplo: (+100) = ( 30) = 70 Para sumar enteros de diferente signo: Se restan sus valores absolutos. Al resultado se le coloca el signo del que tenga mayor valor absoluto. Por ejemplo: +8 + ( 3) = (+9) = +4 Para restar dos números enteros Se debe sumar al primero el opuesto del segundo.

3 Ejemplos: (+8) (+6) = (+8) + ( 6) = +2 ( 20) ( 4) = ( 20) + (+4) = 16 ( 15) ( 13) = ( 15) + (+13) = 2 Propiedades de la suma de enteros Propiedad conmutativa El orden de los sumandos no altera el de la suma resultado: a + b = b + a (+3) + ( 4) = ( 4) + (+3) Propiedad asociativa La suma de tres enteros no varía cuando se de la suma asocian los sumandos de modos distintos. (a + b) + c = a + (b + c) [( 2) + ( 7)] + (+4) = ( 2) + [( 7) + (+4)] LA REGLA DE LOS SIGNOS 1. El producto o el cociente de dos enteros del mismo signo es siempre positivo. 2. El producto o cociente de dos enteros de distinto signo es siempre negativo. MULTIPLICACION Y DIVISION DE NUMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros: Se multiplican sus valores absolutos. El signo del resultado es el que resulta de aplicar la regla de los signos. Por ejemplo: (+8) ( 7) = 56 ( 9) ( 12) = +108 Para dividir dos números enteros Se dividen sus valores absolutos. El signo del resultado es el que resulta de aplicar la regla de los signos.

4 Por ejemplo: ( 30) : (+5) = 6 ( 90) : ( 10) = +9 Propiedades de la multiplicación Propiedad conmutativa El orden de los factores no altera el resultado: de la multiplicación a b = b a ( 8) (+7) = (+7) ( 8) = 56 Propiedad asociativa El producto de tres enteros no varía cuando se asocian de la multiplicación los factores de modos distintos (a b) c = a (b c) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma a (b + c) = a b + a c El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos del número entero por cada uno de los sumandos: ( 3) ( 5 + 7) = 3 ( 5) + ( 3) 7 = 6 OPERACIONES COMBINADAS Para resolver operaciones combinadas es indispensable seguir estas reglas Primero se resuelven las operaciones que haya entre paréntesis. A continuación se resuelven las multiplicaciones y las divisiones. Por último, se resuelven las sumas y restas.

5 EJERCICIOS 1. Ubica en una recta numérica los siguientes enteros: Escribe el signo o : -5 Z -8 Z+ -6 Z- -5 N 0 Z 0 Z+ 0 Z- 0 N 9 Z 7 Z+ 4 Z- 3 N 3. Escribe el signo o : Z Z+ Z+ Z N Z Z+ N Z- N Z- Z N Z- Z+ Z- 4. Anota el opuesto simétrico de : -3 = 8 = -4 = 15 = 0 = a = -b = 5. Escribe el entero que representa las siguientes situaciones: a) 3 grados bajo cero = b) Debo $ = c) 25 metros de profundidad = d) 80 metros de altura = e) 6 metros a la derecha = f) años antes de Cristo = 6. Escribe el signo > < o = según corresponda: /-3/ /+3/ 0 /-8/ /-6/ /+2/ 7. Ordena de menor a mayor estos conjuntos: A = { -5, 4, 0, -7, 3 } B = { -15, -6, -2, -100, -1 } 8. Ordena de mayor a menor estos conjuntos: C = { 18, -14, 26, -32 } D = { -48, -35, -94, -76 } 9. Resuelve las siguientes adiciones: = = = = = = = = = = = = = = =

6 = = = (4 + 5) (4 5) = 4 ( ) 5 (9 12) = 2 [9 6 (4 + 9) 6] 12 = 12 3 (3 8) 3 [ (8 4) 4] = 2 {4 (4 + 5) + 3 [3 (3 + 4) + 3]} = 3 [(8 2) + (2 + 6) (2 7)] 4 = 4 [2 3 (2 + 4) + 3] 4(3 4) = 4 [3 4 (3 + 1) 2 (8 5) + 8] 10 = 10. Anota el número de la columna A que corresponda en la B : A B 1) = 5 Conmutativa 2) = Asociativa 3) = 0 Neutro aditivo 4) (-4 + 6) + -2 = -4 + (6 + -2) Inverso aditivo 11. Escribe el nombre de las siguientes propiedades de la adición: a + 0 = a a + (b + c) = (a + b) + c a + b = b + a a + -a = Resuelve las siguientes adiciones usando la propiedad asociativa : a) b) c) d) l Resuelve las siguientes sustracciones: 9-5 = -6 ( -4) = -2-7 = 5 (-1) = = -24 ( -19) = = 67 (-33) = 234 (-500) = = -800 ( -208) = = -10 (-8) (-15) = -7-3 (-10) - 15 = 12 (-8) (-3) - 5 (-4) = -6 - (-2 + 1) [ 15 (3 7) 10 ] 7 { -3 [ -5 (1 9) + 4] 6} Resuelve estos problemas, anotando la operación y la respuesta: a) Si pierdes 15 láminas en un juego y 18 láminas en otro. Cuántas láminas has perdido en total?

7 c) Un submarino descendió 46 metros y luego subió 18 metros. A qué profundidad se encuentra? d) Santiago tuvo ayer una temperatura de 3º bajo 0 en la mañana y en la tarde subió 18º. Cuál fue la temperatura alcanzada. e) Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio César ( año 44 A.de C.) hasta la caída del Imperio Romano de Occidente ( año 395 D. de C.) f) En cada una de las siguientes actividades imagina que partes del número cero: Retrocedes 5 pasos y avanzas 3 pasos. En qué punto te encuentras? Avanzas 10 pasos y retrocedes 8 pasos. En qué punto te encuentras? Avanzas 2 pasos y retrocedes 2. En qué punto te encuentras? Si avanzas 13 pasos. Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto 5? g) Un auto está ubicado a 7 m. a la derecha de un punto A, luego avanza 23 m., retrocede 36m.vuelve avanzar 19 m. y retrocede 36 m. A qué distancia del punto A se encuentra? 15. En la siguiente recta numérica: x, y, w y z son números enteros. Evalúa cuál de las afirmaciones es verdadera y fundamenta: / / / / / / / / / / x -3 y w 3 z 5 x y = z + z x - y < w -1 Z + w = 2 w