Matemáticas UNIDAD 2 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS. Material de apoyo para el docente. Preparado por: Héctor Muñoz

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1 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 2 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD Potencias de 10 con exponente entero. Interpretación y cálculo de potencias de base natural, entera, decimal o fraccionaria y exponente entero. Representación de números decimales positivos menores que 0 como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente negativo. Multiplicación y división de potencias de base natural, entera, decimal o fraccionaria y exponente natural. 2. DURACIÓN APROXIMADA 4 semanas 3. CONTENIDOS POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Multiplicación y división de potencias Interpretación de potencias de 10 de exponente entero Interpretación de potencias de base natural, entera, decimal o fraccionaria y exponente entero 4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Multiplicación y división de potencias Los estudiantes ya tienen una noción básica de potencias para el caso de base y exponente natural. Aquí se profundiza el concepto y se generaliza a las potencias de base decimal y fraccionaria (primer aprendizaje esperado). Se introducen los procedimientos de multiplicación y división de potencias de 10 (segundo aprendizaje esperado), los cuales se generalizan luego a las respectivas operaciones con potencias de igual base y exponente natural (tercer aprendizaje esperado). Por último, se establece un procedimiento para multiplicar y dividir potencias de igual exponente (cuarto aprendizaje esperado). APRENDIZAJES ESPERADOS Multiplicación y división de potencias Interpretan y determinan el valor numérico con eventual ayuda de una calculadora, de potencias de base natural, decimal o fraccionaria y exponente natural. de cálculo de multiplicación y de división de potencias de 10. de cálculo de multiplicación y de división de potencias de igual base. de cálculo de multiplicación y de división de potencias de igual exponente. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 4.2 Interpretación de potencias de 10 de exponente entero En la Unidad 1 los estudiantes han conocido los números enteros. Ello da pie para analizar la posibilidad de dar una interpretación a potencias de exponente cero o negativo. Esto se estudia primero para las potencias de 10 (primer aprendizaje esperado). En relación con el segundo aprendizaje esperado se determina el producto de un número por una potencia de 10 de exponente entero. Y esto permite introducir una forma especialmente conveniente de escribir números muy grandes o muy pequeños como el producto de un número natural o decimal por una potencia de 10 de exponente entero (tercer aprendizaje esperado). Finalmente, se presenta la posibilidad de utilizar potencias de 10 de exponente entero para expresar la descomposición canónica de números naturales o números decimales (cuarto aprendizaje esperado). APRENDIZAJES ESPERADOS Interpretación de potencias de 10 de exponente entero Interpretan potencias de 10 de exponente 0 y negativo. Determinan el valor decimal del producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente entero. Representan números decimales positivos menores que 0 como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente negativo. Expresan la descomposición canónica de un número decimal como una suma de productos de un dígito por una potencia de 10 de exponente entero. 4.3 Interpretación de potencias de base natural, entera, decimal o fraccionaria y exponente entero La noción de potencia de 10 de exponente entero se generaliza luego a potencias con base natural distinto de 10, y de base decimal o fraccionaria (primer aprendizaje esperado). Sobre la base de las definiciones correspondientes, se determina el valor numérico de potencias de base natural, decimal o fraccionaria y exponente entero, mediante cálculo mental o con ayuda de calculadora (segundo aprendizaje esperado). Por último, se generalizan los procedimientos de cálculo de multiplicaciones y divisiones que se habían establecido anteriormente para potencias de exponente natural, a potencias de exponente entero (tercer aprendizaje esperado). APRENDIZAJES ESPERADOS Interpretación de potencias de base natural, entera, decimal o fraccionaria y exponente entero Interpretan potencias de base natural, entera, fraccionaria o decimal y exponente entero. Determinan, con eventual ayuda de una calculadora, el valor numérico de una potencia de base natural, decimal o fraccionaria de exponente entero. de cálculo de multiplicación y división de potencias de exponente entero. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

4 5. OBSERVACIONES Y COMENTARIOS ACERCA DEL ENFOQUE METODOLÓGICO 5.1 Acerca de la definición de potencia En 3º básico se define multiplicación como una adición de sumando iguales. Así, la adición es igual al producto 5 3 (5 veces 3). Esta definición es fácil de captar por el estudiante y proporciona un procedimiento simple para determinar el valor de las combinaciones multiplicativas básicas. Sin embargo, se tropieza con problemas cuando uno o los dos factores son fracciones, números decimales o números negativos. Para ampliar el campo de aplicación de la multiplicación a estos nuevos conjuntos numéricos se hace necesario reformular la definición, cuidando de conservar sus propiedades más fundamentales. En el caso de la introducción de las potencias enfrentamos una situación similar. Se parte definiendo una potencia como una multiplicación de factores iguales. Esta definición recuerda la definición inicial de la multiplicación como adición de sumando iguales y resulta simple y fácil de captar por los estudiantes. Pero tiene el inconveniente que solo es aplicable a potencias de exponente natural mayor que 1. Para poder ampliar su campo de aplicación será necesario introducir algunas definiciones adicionales sobre la base de conservar las propiedades más fundamentales. En especial, en relación con el tipo de exponente, será necesario definir lo que se entenderá por potencias de exponente 1, potencias de exponente 0 y potencias de exponente entero negativo. Para establecer estas definiciones complementarias, nos basamos en una generalización de los procedimientos para multiplicar y dividir potencias de exponente natural. En el caso de la multiplicación de potencias de igual base y de exponente natural mayor que 1 es relativamente fácil establecer que el producto tendrá la misma base y que su exponente será la suma de los exponentes de los factores: a n a m = a n + m Dado que la división es la operación inversa de la multiplicación, se desprende que: a n : a m = a n - m De acuerdo con la definición inicial de potencias, esta relación es válida solo si n m es mayor que 2. Para que esta relación sea válida para n = m + 1, debemos suponer que a 1 = a. De igual forma, para que la relación sea válida para n = m, debemos suponer que a 0 = 1. Y para que la relación sea válida para n < m, debemos suponer que a -p = 1/a p. De modo que la definición de potencias incluye los siguientes casos: (i) (ii) Si n es un número natural mayor que 1, entonces, a n = a a a (n factores a). Además: a 1 = a a 0 = 1 a -p = 1/a p Con estas definiciones, las relaciones a n a m = a n + m a n : a m = a n - m son válidas para cualquier par de números enteros n y m. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

5 En enseñanza media se introducirán nuevas definiciones para exponentes fraccionarios y decimales. 3.2 El trabajo con las potencias de 10 Las potencias de 10 constituyen un conjunto muy especial en el sistema de numeración. La razón de ello radica en que nuestro sistema de numeración es un sistema de base 10. Debido a eso, las potencias de 10 aparecen en el principio de valor de posición y las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división por una potencia de 10 resultan muy simples y pueden efectuarse mentalmente. Los estudiantes han tenido oportunidad de conocer las potencias de 10 como aquellos números formados por un 1 seguido de ceros: 10, 100, 1.000, , etc. Ahora podrán conocer nuevas facetas de estos números: Resultan ser potencias, en el sentido que son un producto de factores iguales. En este caso, los factores son todos iguales a 10. El exponente de una potencia de 10 está directamente relacionado con la cantidad de ceros, de modo que es muy simple establecer mentalmente el valor numérico de cualquier potencia de 10 y, viceversa, es muy simple expresar como potencia de 10 cualquier número formado por un 1 seguido de ceros. ceros. La multiplicación y división de potencias de 10 es asimismo muy simple: basta agregar o eliminar En esta Unidad, al conocimiento que los estudiantes traen de años anteriores se agregan ahora en 7º año las siguientes relaciones: 10 1 = = p = 1/10 p 3.3 La notación científica El trabajo con potencias de 10 incluye asimismo la sistematización de los procedimientos de cálculo de multiplicaciones y divisiones de un número natural por una potencia de 10. Esto conduce a la posibilidad de expresar cualquier número muy grande como el producto de un número natural más pequeño por una potencia de 10 y a la posibilidad de expresar cualquier número decimal muy pequeño como el producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente negativo. Nos acercamos así a la notación científica que ha mostrado ser de gran utilidad en los campos científicos y tecnológicos. En la notación científica, un número cualquiera se expresa como el producto de un número mayor que 1 pero menor que 10 multiplicado por una potencia de 10. La notación científica permite escribir en una forma abreviada un número que tiene gran cantidad de ceros por ser demasiado grande o demasiado pequeño. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4

6 Así, por ejemplo: distancia entre la Tierra y el Sol notación habitual: m notación científica: 1, m velocidad de la luz notación habitual: m/s notación científica: m masa de un electrón notación habitual: 0, kg notación científica: 9, kg radio del virus causante del SIDA notación habitual: 0, m notación científica: 1, m La notación no solo facilita la escritura de números muy grandes o muy pequeños sino que además permite formarse fácilmente una idea de cuán grande o cuán pequeño es la cantidad representada. Para ello basta fijarse en el exponente de la potencia de DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) LA NOTACIÓN DE POTENCIAS En este guía se revisa la interpretación de la notación de potencias: (a) escribiendo como potencia una multiplicación de factores iguales, (b) escribiendo como multiplicación de factores iguales una potencia dada, (c) determinando el valor numérico de una potencia en casos simples, y (d) identificando e interpretando la base y el exponente en potencias. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO GRUPAL) MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE En esta guía se introduce y ejercita la multiplicación de potencias de igual base apoyándose en la propia definición de potencias. Se subraya que la regla no es aplicable si los factores tienen distinta base. A partir de la regla de multiplicación de potencias de igual base se establece asimismo una interpretación para las potencias de exponente 1. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL) DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE En esta guía se introduce y ejercita la división de potencias de igual base para los casos en que el exponente del dividendo es mayor que el exponente del divisor. Se llama la atención al hecho que la regla de división de potencias de igual base responde al carácter inverso que tiene la división con respecto a la multiplicación. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5

7 GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO INDIVIDUAL) MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE En esta guía se analizan y ejercitan los casos de multiplicación y división de potencias de igual exponente. GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO INDIVIDUAL) POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO En esta guía se amplía la definición de potencias para incluir las potencias de exponente 1, de exponente 0 y de exponente entero negativo. Asimismo se ejercita la expresión de números como el producto de un número natural por una potencia de 10 y el empleo de potencias de 10 para expresar la descomposición canónica de números naturales y decimales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6