SUCESIONES Y SERIES MATEMÁTICAS

Transcripción

1 SUCESIONES Y SERIES MATEMÁTICAS SUCESION.- Es un conjunto de número ordenados de modo que uno es el primer término, otro es el segundo término, otro el tercero y así sucesivamente. Por ejemplo: a) 1,2,3, b),4,7,10, c) 1/3, 1/5, 1/7, d) 2,4,6,8,10, Las sucesiones son finitas cuando tienen un número fijo de términos (5,10,15,20,25) e infinitas cuando no tiene un número de términos definido (1,3,5,7, ) los puntos suspensivos se llaman elipsis e indican que los números posteriores de la sucesión siguen la misma pauta, o sea, el mismo patrón que el establecido por los términos ya dados. En la representación de una sucesión con sus términos se utilizan subíndices para señalar un orden consecutivo: a1,a2,a3,,an. La expresión an se llama término general o n-ésimo término. Estudiaremos dos tipos de sucesiones: Sucesiones o progresiones aritméticas Sucesiones o progresiones geométricas PROGRESION ARITMÉTICA Si cada término en una sucesión aumenta o disminuye en igual número para formar el próximo término, entonces la sucesión es aritmética. El número que se aumenta o se resta se llama diferencia común y se representa con la literal d. Así, en la sucesión 3, 7, 11,, la diferencia común es 4, en tanto que en la sucesión 8,5,2,, es -3. El n-ésimo término (an) de una progresión aritmética se determina por medio de la expresión: an = a1 + (n-1)d 1

2 Veamos algunos ejemplos: 1. Determinar el vigésimo término de la sucesión 4,9,14, Solución: en este caso tenemos que: d = 9 4 = 14 9 = 5 a1= 4 d = 5, y n = 20 Al sustituir valores en la fórmula an = a1 + (n-1)d queda: a20 = 4+(20-1)(5) a20 = (5) a20 = 99 Así, el vigésimo término de la sucesión es Hallar el décimo término de la progresión aritmética -6,-9, -12, Solución: aquí tenemos que: d = -9 (-6) = = -3 a1= -6, d = -3 y n = 10 Al sustituir valores en la fórmula an = a1 + (n-1)d se obtiene: el resultado es negativo. a20 = -6+(10-1)(-3) a20 = -33 Así, el décimo término de la sucesión es -33. a20 = (-3)= se suman los números negativos y SERIE.- Es la suma de los términos de una sucesión a1 + a2 + a3+ +an. En una progresión aritmética la serie o suma de los n términos, denotada por Sn, se determina mediante la expresión: s n = n 2 (a 1 + a n ) Veamos un ejemplo: Calcular la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 6,14,22, Solución: Tenemos que s n = n 2 (a 1 + a n ) 2

3 Donde: n = 10 a1 =6 d = 8 an = a1 + (n-1)d an = 6 + (10-1)8 = 6+9(8)= 6+72 =78 Al sustituir los valores en la fórmula queda: s n = 10 (6 + 78) 2 s n = 5(84) = 420 Por tanto, la serie o suma de esta sucesión es 420. AHORA VAMOS A RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE SUCESIONES Y SERIES I.- Con base en las progresiones aritméticas indicadas, hallo lo que se indica en cada caso. 1. El dozavo término. 2. La suma de los primeros 12 términos. 3. En la sucesión aritmética 9,7,5,, determina a18 y la serie S Dada la progresión aritmética 3,8,13, calcula: El término 24 y la suma de los primeros 24 términos. 5. Dada la progresión aritmética -20, -16, -20,, determina: El término 15 y la suma de los primeros 15 términos. 3

4 SUCESION GEOMÉTRICA Una sucesión en la que cada término después del primero se obtiene multiplicando el término precedente por un factor fijo se llama sucesión o progresión geométrica. El factor fijo recibe el nombre de razón común y se denota con la letra r. Por ejemplo: a) 3,9,27, En esta sucesión, r = 3 b) 20,10,5,2.5, En esta sucesión, r = 0.5 o 1/2 c) 1, -2, 4, -8, En esta sucesión, r = -2 Si a1 es el primer término, r la razón común y n el número de términos, entonces: a1, a1r, a1r 2, a1r 3,, a1r n-1 donde a1r n-1 es la expresión del n-ésimo término y se denota con an, es decir: an = a1 rn -1 Ejemplo: Determinar el octavo término de la progresión geométrica 3,15,75, Solución: en este caso tenemos que a = a1 r = a1/a2 y n= octavo término a = 3 r = 15/3 = 5 y n= 8 Por tanto: an = a1 rn -1 a8 = 3(5) 8-1 = 3(5) 7 a8 = SUMA DE LOS n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA La suma (Sn) de los n términos de una progresión geométrica se obtiene con la expresión: s n = a 1(1 r n ) 1 r 4

5 Por ejemplo: Encuentra la suma, o sea, la serie de los primeros seis términos de la progresión geométrica 4,8, 16, a1 = 4 r= 2 n = 6 (seis términos) s n = a 1(1 r n ) 1 r s 6 = 4(1 26 ) 1 2 s 6 = 48( 63) 1 s 6 = 252 = 4(63) RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS PARA INTEGRARLO AL PORTAFOLIO Con base en las progresiones geométricas indicadas, halla lo que se indica en cada caso. 1. Dada la progresión geométrica 16, 8, 4,, determina: a) El décimo término b) La suma de los diez primeros términos 2. Dada la progresión geométrica 4, -8, 16, -32,, calcula: a) El noveno término b) La suma de los primeros nueve términos 3. Dada la progresión geométrica 64, 96, 144,, determina: a) El sexto término b) La suma de los primeros seis términos 4. Dada la progresión geométrica 6, 12, 24,, halla: a) El séptimo término b) La suma de los primeros siete términos 5