Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2, 3, }.

Transcripción

1 SUCESIONES SUCESIONES ARITMÉTICAS Una sucesión es un conjunto de elementos ordenados, de tal manera, que no exista duda de cuál es el primero de ellos, cuál es el segundo, o cualquier otro. Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {,, 3, }. Sucesión aritmética. Es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es an + b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior. Si sumamos n términos de la sucesión con término general an + b obtendremos el valor: (a + b) + (a + b) + (3a + b) + + (na + b) = a n(n + ) + bn 4

2 Ejemplo : Se tiene la sucesión: 8,, 4, 7, 0, 3, 6,. La diferencia entre cualquier término y el anterior es 3, de modo que el término general sería 3n + b.. Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n =. 3() + b = b = 8 b = 8 3 b = 5, por lo tanto b = El término general de la sucesión es: 3n Encontrar el término 5 de la sucesión, sustituimos 5 en la anterior fórmula: 3n + 5 3(5) De modo que el término 5 de la sucesión tiene el valor de Encontrar la suma de los primeros términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula a n(n + ) + bn, con a = 3, b = 5 y n = : a n(n + ) + bn 3 ( + ) + (5)() 3 (3) Ejemplo : = 94 Se tiene la sucesión: 3, 9, 5, 3, 43, 49, 55,. La diferencia entre cada término y el anterior es -6, de modo que el término general sería 6n + b.. Encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n =. 6n + b 6() + b = b = 3 b = b = 7, tanto b = El término general de la sucesión es: 6n Encontrar el término 6 de la sucesión, sustituimos 6 en el término general: 5 por lo 5. 6n 7 6(6) = 03. De modo que el término 6 de la sucesión tiene el valor de Encontrar la suma de los primeros 30 términos de esta sucesión, utilizamos la a fórmula a n(n + ) + bn, con a = 6, b = 7 y n = 30: n(n + ) + bn 6 30(30 + ) + ( 7)(30) = (3) 0 (930) 0

3 Ejemplo 3: Sea la sucesión aritmética: 7,, 5,, 7, 3, 9,. La diferencia entre cada término y el anterior es 6, de modo que el término general sería 6n + b.. Encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n =. 6n + b 6() + b = b = 7 b = 7 6 b = 3 3. El término general de la sucesión es: 6n 3 4. Encontrar el término 4. 6n 3 6(4) Encontrar la suma de los primeros 3 términos, donde a = 6; b = -3 y n = 3 a n(n + ) + bn 6 3(3 + ) + ( 3)(3) 6 3(33) 46 6 (056) 46 Ejemplo 4: = 75 Sea la sucesión aritmética: 3.5, 7.5,.5, 5.5, 9.5, 3.5, 7.5,. La diferencia entre cada término y el anterior es 6, de modo que el término general sería n + b.. Encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n =. n + b () + b = b = 3.5 b = b = El término general de la sucesión es: n Encontrar el término 33. n (33) Encontrar la suma de los primeros 3 términos. Donde a = -4; b = 0.5 y n = 3. a n(n + ) + bn 3(3 + ) + (0.5)(3) + 6 = 096 3(33) + 6 (056) + 6 6

4 SUCESIONES GEOMÉTRICAS Una sucesión geométrica es aquélla en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión geométrica es a r n, en donde a y r son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante r es el cociente entre un término y el anterior. Si sumamos n términos de la sucesión geométrica con término general a r n obtendremos el valor: a + ar + ar + ar + + ar = a(rn ) r Ejemplo : Notemos la sucesión: 3, 6,, 4, 48, 96, 9,. Cociente entre dos términos consecutivos, = es,. Término general: a n 3. Encontrar el valor de a se puede utilizar el primer término, en donde n =. a n a = 3 a = 3 a = 3 Despejando a = 3 a = 3 4. Término general de la sucesión es: 3 n 5. Encontrar el término 3 de la sucesión: 3 n = Encontrar la suma de los primeros 9 términos de la sucesión, con a = 3, r = y n = 3, OBSERVACIÓN: S 3 = a(rn ) r S = 3( ) S = 4573 S = S = (89 ) r = Cociente entre dos numeros consecutivos de la sucesión S = 3(89) a = Resultado de operar el termino general con un numero de la sucesión n = Posición del termino buscado en la sucesión. 7

5 Ejemplo : Notemos la sucesión: 0.5,.5, 4.5, 3.5, 40.5,.5, 364.5,. Cociente entre dos términos consecutivos. = 3 es -3. Término general sería: a 3 n 3. Encontrar el valor de a, utilizar el primer término, en donde n =. a 3 n a 3 = 0.5 a 3 = 0.5 a = 0.5 a = 0.5 a = Término general de la sucesión es: 0. 5 ( 3) n OBSERVACIÓN: Si el valor de r es negativo, los términos alternan entre positivo, negativo, positivo, etc. 5. Encontrar el término 9 de la sucesión, sustituimos 9 en la anterior fórmula:. T 9 = 0. 5 ( 3) n T = 0.5 ( 3) T = 0.5 ( 3) T = T = Encontrar la suma de los primeros 6 términos de esta sucesión, con a = 0.5, r = 3 y n = 6, obtenemos 9. S 6 = a(rn ) S r = 0.5( 3 ) S 3 = S 6 = 9 0.5(79 ) S = 0.5(78) S = 364 Ejemplo 3: Sea la sucesión geométrica: 0.4,., 3.6, 0.8, 3.4, 97., 9.6,. Cociente entre dos términos consecutivos.. = 3 es 3. Término general sería: a 3 n 3. Encontrar el valor de a, utilizar el primer término, en donde n =. a 3 n a 3 = 0.4 a 3 = 0.4 a 3 = 0.4 a = 0.4 a = 0.4 a = Término general de la sucesión es: n 5. Encontrar el término. T = n T = T = T = T = Encontrar la suma de los primeros 8 términos. Con a = 0.4; r = 3 y n = 8 S 8 = a(rn ) S r = 0.4(3 ) S 3 = S 8 = 3 0.4(656 ) S = 0.4(6560) S = 64 8

6 Ejemplo 4: Sea la sucesión geométrica: 0.6,.,.4, 4.8, 9.6, 9., 38.4,. Cociente entre dos términos consecutivos.. = es -. Término general sería: a ( ) n 3. Encontrar el valor de a, utilizar el primer término, en donde n =. a ( ) n a ( ) = 0.6 a ( ) = 0.6 a = 0.6 a = 0.6 a = Término general de la sucesión es: 0. 6 ( ) n 5. Encontrar el término 9. T 9 = 0. 6 ( ) n T = 0.6 ( ) T = 0.6 ( ) T = T 9 = Encontrar la suma de los primeros 3 términos. Con a = -0.6; r = - y n = 3 S 3 = a(rn ) r S = 0.6( ) = 0.6( 893) 3 INTERPOLAR MEDIOS ARITMÉTICOS S = S = ( 89 ) 3 S 3 = S La palabra interpolar que equivale a intercalar, insertar, quiere decir, tratándose de números, a situarlos, intercalarlos, entre otros dos. Ejemplo : Supongamos que nos dicen que entre 6 y 0 tenemos que interpolar o intercalar 3 términos y que además, tanto el 6 como el 0 y los tres números que han de estar entre ellos, se encuentren en progresión aritmética. Así que, decimos que son medios porque están entre otros dos y aritméticos por tratarse de progresiones aritméticas. Si se dice que entre el valor 6 y el valor 0 debes interpolar 3 números o medios aritméticos, la nueva progresión tendrá 5 términos: 6, medio, medio, medio, 0. Al hablar de interpolar medios, se debe calcular la nueva diferencia o razón d. Quedara una progresión aritmética de primer término 6, último 0 y tres interpolados, en total 5 términos. 9

7 Primero y último más los interpolados, en total n + términos siendo n el número de los interpolados. Siempre que se interpolan términos, la nueva progresión tiene n + términos, los interpolados más los dos entre los cuales se intercalan. En la fórmula: a n = a + (n )d Se tiene que despejar d de la siguiente forma: a = a + (n )d a a = (n )d d = a n a n Esta fórmula es correcta cuando no tenemos que interpolar, pero para el caso de interpolación no es aplicable, porque en lugar de n términos, tenemos n +. En la fórmula para el cálculo del valor de d, tendremos que sustituir n por n + : d = a a n + d = a n a n + Con la fórmula d = a n a n pidan. se puede halla la diferencia de las progresiones que se Volviendo al ejemplo: d = 0 6 d = 4 d = 3 4 Donde: a = Último valor dado a = Primer valor dado n = Cantidad de números a interpolar La diferencia o razón es d =. Nueva progresión: Ejemplo : Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 6 y 80 Encontrando diferencia o razón: d = a n a n + d = d = 54 6 d = 9 Nueva progresión: 6, 35, 44, 53, 6, 7,80. 0

8 Ejemplo 3: Entre 65 y 65 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y la suma de todos los términos. Encontrando diferencia o razón: d = a n a n + d = d = 00 0 d = 0 Nueva progresión: 65, 75, 85, 95, 05, 5, 5, 35, 45, 55, 65. Suma de todos sus términos: St = St = 65 Fórmula para sumar n términos de una progresión: S n = a + a n OBSERVACIÓN: Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética sino para sumar cuales quiera n términos consecutivos. S = a + a n S = n S = 30 S = 5 S n = 65 Ejemplo 4: Entre 5 y 35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la progresión. Encontrando diferencia o razón: d = a n a n + 35 ( 5) d = d = d = 30 d = Nueva progresión: -5, -0, -5, -0, -5, -30, -35. Ejemplo 5: Las edades de personas están en progresión aritmética y la suma de todas ellas es de 56, si la mayor tiene 86 años, cuántos tiene la más joven? S n = a + a n n 56 = a + 86 Despejando (56)() = (a + 86)() Operando = a a = 946 a = 76 a = 76 a = 6 años

9 INTERPOLACIÓN DE MEDIOS GEOMÉTRICOS Se trata de calcular la razón para que los términos a interpolar entre dos números dados formen una progresión geométrica. Cuanto se dijo en la interpolación de medios aritméticos es válido, únicamente debes tener en cuenta que de la fórmula del último término de una progresión geométrica, despejamos la razón y el número de términos será igual a los dos que nos dan: primero y último más el número de los medios geométricos, total n + términos: a = a r Despejando r = a a Despejando exponete r = n a n a Ejemplo : Calcula la razón para interpolar entre y 563, ocho medios geométricos, y después, escribe la progresión. Donde: n = 8 + n = 0; a = 563; a = Respuesta: r = ; r = n a n a r = 563 r = 5 r = Progresión es:,, 44, 88, 76, 35, 704, 408, 86, 563 Ejemplo : En la progresión geométrica: 3: 6: : el producto de dos términos consecutivos es 5. Cuáles son estos términos? Solución:. Sea x el primero de los términos que nos piden.. El segundo será: x = x 3. Razón: r = r = 4. Si el tercer término vale y la razón, el cuarto será: T = T 4 = 4 5. El 5º término valdrá T = 4 T 5 = 48. Respuesta: 4º y 5º términos: 4 48 = 5

10 Ejemplo 3: La suma de dos términos consecutivos de la progresión 6: 8: 54:. es Cuáles son estos términos?. Sea x el primero de los términos que nos piden.. El segundo termino será: x = x 3. Razón: r = r = 3 4. Si el tercer término vale 54 y la razón 3, el cuarto será: T = 54 3 T 4 = 6 5. El 5º término valdrá T = 6 3 T 5 = El T 6 = 458; T 7 = 4374; T 8 = 3; T 9 = y T 0 = 8098 Respuesta: 9º y 0º términos: =