Tema 2: Matemática Financiera

Transcripción

1 . Logaritmos Tema : Matemática Financiera de cálculo de logaritmos a partir de la definición. Calcula los siguientes logaritmos: a) log 5 5 b) log no se puede calcular pues N 0, y ha de ser siempre positivo. Pero es que aparte, suponiendo que log x x No hay ninguna potencia de que me de negativa. c) log no se puede calcular pues la base a 0, y ha de ser siempre positivo. Pero es que aparte, suponiendo que log x x No hay ninguna potencia de que me de. d) log e) log log 5 4 log log5 log 5 4 ln ln 5 de aplicación de las propiedades de los logaritmos a) log 9 0 pues 9 0 b) log 4 4 pues 4 4 c) log 4 5 log 4 log Por otro lado, log 4 5 log 45 log 9 9 Todo se basa en la propiedad de las potencias a n a m a nm d) log 7 5 Esto se puede calcular de dos formas: log 7 5 log 7 5 log 7 log5 log7 log log log 7 5 log 7 5 log log7 e) log 7 8 Para calcular esta expresión podemos hacerlo de dos forma distintas: log 7 8 log 7 8 log log 7 log 8 7 log 8 log7 log log8 log Por lo tanto: log 7 log 8 7 log f) log 777 log log Hacemos la descomposición en factores primos de log 777 log 5 5 log 5 5 g) ln e e e h) ln ln e 4 4 e 4 e 4 e 4 i) ln 5 log loge Otra forma: ln Aplica las propiedades de los logaritmos a las siguientes expresiones, para luego calcularlas:

2 a) log 5 7 log 5 7 log 5 log 5 7 log 5 log 5 7 log 5 log log 5 log log5 log 5 7 log log5 Otra forma de hacerlo: log 5 7 log 5 7 log 5 4 log log5 b) log 7 4 log4 7 log 4 7 log 4 log7 log4 log log4 Aplica las propiedades de los logaritmos para convertir las siguientes expresiones en un logaritmo único: a) 5 log 9 log 4 log log x log 9 5 log 4 log log x log log x log x Tareas 09-0-: todos los ejercicios de la página. Porcentajes. Aumentos y disminuciones. Tareas 09-0-: todos los ejercicios de la página.. Progresiones geométricas Determina cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas: a),,,, 5, 8,, No es una progresión geométrica pues no hay ningún número fijo (llamado razón) que al multiplicarlo por un término de la sucesión me de el siguiente. La regla es: a a a n a n a n Es la sucesión de Fibonacci b), 4,, 8, 0,, No es una progresión geométrica, la regla es que sumamos dos al anterior: son los múltiplos de. Sería una progresión aritmética. c), 4, 8,,, 4, Si es una progresión geométrica dado que vamos multiplicando en cada paso por. Se trataría de la progresión geométrica de primer término a y razón r. Vamos a hacer algunos cálculos a partir de esta progresión geométrica. Su término general sería: a n a r n n n n El término que ocupa el lugar quince sería: a Vamos a calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión geométrica: S 5 a r 5 r 5 5 d) De una progresión geométrica conocemos sus términos d. Calcula la expresión de su término general. Necesitamos la razón y el primer término. Tenemos a, a 4?, a 5?, a?, a a Por lo tanto, a 7 rrrra 9 r 4 r 4 9 a Se pide:

3 r 4 8 Hemos de distinguir dos casos: r Siempre se cumple que a n a r n En particular será a a r a a 9 La expresión del término general será a n 9 n r Siempre se cumple que a n a r n En particular será a a r a a 9 La expresión del término general será a n 9 n d. Calcula la suma de los 00 primeros términos r S 00 r S Tareas 0-0-: todos los ejercicios de la página Dados los siguientes términos de una progresión geométrica: a 7 a 8 Se pide: La razón y el primer término de la progresión geométrica Para empezar el término general de cualquier progresión geométrica es: a n a r n Por ahora, nosotros sabemos que: a 7 a r 7 a r 8 a r 7 a r 5 8 a 8 Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: Se despeja a en la primera ecuación: a 7 r Sustituimos este valor en la otra ecuación: 7 r 5 8 r r5 8 7 r 9 7 r 7 Sustituimos este valor de r para hallar el primer término: a Interés simple Cuál sera el capital final de una cantidad depositada de 500 euros en un banco durante 0 años a un.5% anual en interés simple? En un año obtendremos:

4 . 5% de euros en un año. 00 En 0 años serán euros El capital final será C F euros Método express C F euros 00 Tareas 0-0-: todos los ejercicios de la página 4.5 Interés compuesto Cuál sera el capital final de una cantidad depositada de 500 euros en un banco durante 0 años a un.5% anual en interés compuesto? La fórmula es: C F C i r euros Cuál sera el capital final de una cantidad depositada de 500 euros en un banco durante meses a un.5% anual en interés compuesto? Una forma de hacerlo es transformar los meses en años años es lo mismo que meses C F C i r t euros tras meses. Otra forma de hacerlo: Vamos a trabajar por meses.. 5 C F C i r euros La diferencia entre un método y otro es que capitalizas en años o en meses. Por eso, el último sale mejor. Tareas 4-0-: todos los ejercicios de la página 5. Anualidades de capitalización Durante cuánto tiempo habremos de ingresar 500 euros a un interés del 4.75% para que se consigua reunir una cantidad de euros? C a rt r r t Queremos hallar la t: t t t log log t log log t log t log log t años log Tareas 4-0-: todos los ejercicios de la página.7 Anualidades de amortización 4

5 Se pide un prestamo de euros a una entidad bancaria que nos responde que nos lo concede con un interés del.5%. Nosotros queremos amortizar dicho préstamos en 0 años. Cuánto debe de ser la anualidad de amortización? C r rt a r t euros al año Tareas 4-0-: todos los ejercicios de la página 8.8 Parámetros económicos sociales. Tareas 5-0-: todos los ejercicios de la página 9 Ejercicios finales de la unidad 8 Aplicando directamente la definición, calcula el valor de los siguientes logaritmos. e log0. 00 log 0 0 log0 j lne e ln e ln e ln e 4 Tareas 5-0-: todos los ejercicios que faltan del 8 9 Calcula el valor de x en cada una de las siguientes expresiones: d log a a x log a a x log a a x Sabemos a a a log a a x x x Otra forma de hacerlo es: log a a x x a a a x a a x a x x Tareas 5-0-: todos los ejercicios que faltan del 9 0 Indica en cada caso la razón por la que las siguientes expresiones no tienen sentido. d log x 0 x 0 FALSOOOOOOOOOOO!!!!!!!!! Tareas 5-0-: todos los ejercicios que faltan del 0 Toma logaritmos decimales en las siguientes igualdades: x c R y 5 logr log z log x y 5 z x y 5 log x y 5 z z logx y 5 logz log logx logy 5 log logz log logx 5 logy log logz log logx 5 logy log logz log logx 5 logy log logz Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del Escribe el valor de E en cada uno de los siguientes casos. En las expresiones obtenidas no deben aparecer logaritmos. 5

6 c loge logx 0 log logx 0 log x 0 x 0 log log logx 0 logx 0 log log log logx 0 log logx 0 log log log logx 0 log logx 0 log log log log log logx 0 log log logx 0 log x 0 Es decir: loge log x 0 E x 0 Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del Sabiendo que el logaritmo decimal de es 0.0 y que el logaritmo decimal de es 0.477, sin utilizar las teclas de funciones logarítmicas de la calculadora, calcula los siguientes logaritmos. f log log log log log log log 0 log log log log Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del, 4 5 Con la ayuda de la calculadora obtén aproximaciones hasta las milésimas de los siguientes logaritimos: d log ln ln Otra forma de hacerlo log ln ln ln ln ln ln ln ln Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del 5 Con la ayuda de los logaritmos, calcula el valor de t en los casos siguientes: t d t t t. 0 Tomamos logaritmos decimales en la expresión anterior: log t log. 0 log log5 t log. 0 5 log log5 log log5 tlog. 0 log t log. 0 log Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del 7 Calcula el valor de los siguientes porcentajes. f % de Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del 7 8 El % de una cantidad es 75. Cuàl es esa cantidad? La cantidad buscada es x: % de x x x es la cantidad pedida.

7 9 Qué porcentaje representan unidades de un total de 48? Y 90 unidades de un total de 48? Es decir, un 54.7% Es decir, 87.5% 40 Aumenta las siguientes cantidades en los porcentajes que se indican: f 000 en un 5% 5% de Otra forma de hacerlo a. La cantidad final será 000 su 5% 00% 5% será la cantidad final. Por lo tanto, la cantida final es el 5% de Explicación Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del 40 4 Disminuye las siguientes cantidades en los porcentajes que se indican: f 5 en un 5% 5% de Otra forma de hacerlo a. Si la disminuimos en un 5%, quiere decir que la cantida final será % de la inicial. 85% de Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del 4 Tareas -0-: 4, 4 (consulta el ejercicio 8) 44 Indica cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y, en caso afirmativo, di el valor de la razón: f, 5,, 7,, como son todos distintos no se trata de una progresión geométrica. Si en 7 7 todas las divisiones me hubiese salido el mismo, se trataría de una progresión geométrica y la razón sería el número repetido que aparece. Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del 44 Tareas -0-: 45 4 Escribe cinco números entre 7 y 50 de modo que los siete formen una progresión geométrica. La situación sera: 7, a, b, c, d, e, 50 Entonces: a 7 a 7 50 Sabiendo que se trata de una progresión geométrica: el término general es a n a r n Podemos aplicar esta fórmula para el séptimo término: a 7 a r r r 50 r 7 79 r 79 Ahora calculamos: 7

8 a 7 a 7 a a a De propina, vamos a calcular la suma de los quince primeros términos. Como se trata de una progresión geométrica, la suma de n de sus primeros términos es S n a n ra a r n r r En nuestro caso S 5 a 5 7 Nos quedamos con S Tareas -0-: Para cada una de las siguientes progresiones geométricas calcula su término general, su décimo término y la suma de los diez primeros términos. a. 5, 5, 45, 5, 405, Como siempre me sale el mismo cociente se trata de una progresión geométrica de razón. El término general es a n a r n 5 n Su décimo término es a La suma de los diez primeros términos es S n a n ra r S Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del Calcula el capital obtenido al depositar las siguientes cantidades a interés simple anual y durante el tiempo indicado en cada apartado. c euro al % durante 5 años. Vamos a calcular los intereses que me dan anualmente: % de 0. 0 es lo que nos dan en un año. 00 Por lo tanto, al ser interés simple, en 5 años nos darán: euros Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del 49. Tareas -0-: 50 5 Se coloca un capital de euros a un interés compuesto anual del % durante 0 años. Calcula el capital final que se obtendrá en el caso de que el período de capitalización sea de: b Un semestre Eso significa que cada seis meses me meten los interes para generar capital. En condiciones anuales la fórmula sería: C F C I r t Como el año tiene dos semestres está fórmula se vuelve en: C F C I r t Aplicamos esta última expresión: C F euros es el capital final Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del 5. 5 Cuánto tiempo debe de estar depositado un capital a un interés compuesto del 8% para 8

9 triplicarse si la capitalización es mensual? En condiciones anuales la fórmula sería: C F C I r t Como el año tiene doce meses está fórmula se vuelve en: C F C I r t Según nuestro datos la fórmula se queda: C I C I t Nosotros queremos calcular el tiempo t. C I C I t t Hemos de tomar logaritmos pues hemos de bajar la t del exponente: log log t log t log log t años log Lo propio sería: años y 9 meses meses Tareas -0-:5,54,5,57 55 Calcula el capital final del que se dispondrá dentro de 5 años si se depositan 00 euros al comienzo de cada año a un interes compuesto anual el %. La fórmula sería: C a rt r r En nuestro caso nos queda: C euros es el capital final Un préstamo de 0000 euros al 5% se devuelve en 0 años en pagos mensuales. Halla la mensualidad de amortización. Aplicamos la fórmula siguiente: C r rt a r t Esto es por años!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Cómo será por meses? Sabemos que un año son doce meses, por lo que la fórmula anterior ha de ser: a C r r t r t euros mensuales. Tareas -0-: 59,0 Calcula a cuántos años se debe solicitar un préstamo de 4500 euros al % anual para que la anualidad que resulte sea de 95 euros. Aplicamos la fórmula siguiente: C r rt a r t Donde sustituimos los datos conocidos: t t t t t t t t t t log. 0 t log t log. 0 log95 log45 9

10 log95 log45 t años log Calcula la TAE correspondiente al % anual con período de capitalización: c mensual Aplicamos la fórmula TAE k r k 00 Donde sustituimos los datos conocidos TAE % Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan del. Calcula los números índice de las siguientes series de datos tomando como base el primero de ellos. b Tenemos la siguiente tabla: x t0 5 x t 4 x t 0 x t4 t NI 0 t NI t 0 t NI t 0 t NI t 0 t Tareas -0-: todos los ejercicios que faltan, 4, 5. 5 Calcula el IDH de cada uno de los siguientes países y ordénalos según grado de desarrollo. País L E R C Aplicamos la fórmula IDH LRE Tareas -0-: todos los ejercicios que del 5. Eva ha pagado 8.75 euros por una falda,.5 por un pantalón, 9.50 por una camisa y, por último, 9.5 por una chaqueta. El dueño del comercio consiente en rebajarle el precio de forma que le perdona los céntimos que marca cada una de las prendas. Qué porcentaje de rebaja ha supuesto? se ha gastado supuestamente. La rebaja ha sido Calculamos % Tareas -0-: 7,9,70,7 8 El precio de la gasolina ha variado en las últimas tres quincenas. En la primera subió un %, en la segunda bajó un % y en la tercera volvió a subir un 4%. Después de las tres quincenas, el precio del litro es 5 céntimos. a. Cuál era el precio antes de las tres variaciones? Por los datos podemos confeccionar la siguiente tabla: precio ª quincena ª quincena ª quincena % % 4% aumento/disminución 00 0% 00 98% % x. 0 x x x Entonces ha de ser: x 5 x euros. b Cuál es el porcentaje de variación global del precio en las tres quincenas? % Otra forma de hacerlo 0

11 % Es decir, la gasolina ha subido un 5%.. AQUI 7 Se colocan 000 euros al 4% anual de interés compuesto durante cinco años. La entidad carga céntimo de euro cada vez que tiene que calcular los intereses generados y acumulados al capital. a. Calcula el capital final si el período de capitalización es de un año, un trimestre, un mes y un día. Vamos a hacerlo a diario La fórmula será: C f C i k r kt donde k 5días año. Sustituimos los valores conocidos para obtener: 55 C f euros 5 Ahora los gastos del banco son: céntimos 8. 5 euros Nos quedarán euros Vamos a hacerlo anual La fórmula será: C f C i r t Sustituimos los valores conocidos para obtener: C f euros Ahora los gastos del banco son: 5 5 céntimos euros Nos quedarán euros Vamos a hacerlo trimestral La fórmula será: C f C i k r kt donde k 4trimestres año. Sustituimos los valores conocidos para obtener: 45 C f euros 4 Ahora los gastos del banco son: céntimos 0. 0 euros Nos quedarán euros Vamos a hacerlo mensual La fórmula será: C f C i k r kt donde k meses año. Sustituimos los valores conocidos para obtener: 5 C f euros Ahora los gastos del banco son: 5 0 céntimos 0. euros Nos quedarán euros b Cuál de los períodos de capitalización indicados favorece más al cliente? El mensual. Tareas 4-0-0: 7,74,75,7,77,79,80,8 78 Calcula la anualidad que se debe pagar para saldar una deuda de 000 euros al 5.% anual si: a. El plazo es de 5 años. C r rt La fórmula será: a r t correspondiente a anualidades de amortización. Sustituimos los valores conocidos para obtener: a euros b El plazo es de 0 años. C r rt La fórmula será: a r t correspondiente a anualidades de amortización. Sustituimos los valores conocidos para obtener:

12 a euros c Por qué no se paga justo la mitad cuando el plazo para devolver la deuda es el doble? Por los intereses de la demora, que son mayores a mayor tiempo de pago. Por el primer plazo pagas en total euros Por el primer plazo pagas en total euros