b. En aumento (disminución) porcentual del r%, el índice de variación es

Transcripción

1 1. Aumentos y disminuciones porcentuales. a. Índice de variación: es el número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final. b. En aumento (disminución) porcentual del r%, el índice de variación es 1 ± r 100 c. Valor final en un aumento o en una disminución porcentual, se halla el índice de variación (que conviene expresarlo en forma decimal) y se multiplica por la cantidad inicial. C!"#$% = C!"!#!$% i d. Aumentos y disminuciones porcentuales encadenados. Se calculan los índices de variación correspondientes a los distintos pasos y se multiplican. Se obtiene así, el índice de variación global. Una raqueta de tenis valía, al comienzo de temporada, 28 euros. A lo largo del año sufrió las siguientes variaciones: subió un 20%, bajó un 25%, subió un 5%, y bajó un 12%. Cuánto vale al final de temporada? Cuál ha sido su índice de variación total? Qué porcentaje ha de subir para volver a costar 28? 2. Cálculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final. C!"#$% = C!"!#!$% (1 ± r 100 ) Después de subir un 20% un artículo vale 45,60. Qué precio tenía al principio? [1ºCC.SS.] (Tema 2, libro Anaya). Aritmética mercantil. Jesús C. Sastre 1

2 3. Intereses bancarios. Intereses: dinero que se gana por depositar una cantidad de dinero en un banco. a. Pago anual de intereses. i. Rédito: tanto por ciento anual que paga un bando por depositar en él un dinero, r%. En n años, la cantidad que se obtiene al r% es la siguiente: r r 100!) (1 + r 100 ) r! 100 b. Pago mensual de intereses. Un r% anual, implica un!% mensual.!" En m meses, la cantidad que se obtiene al r% anual es la siguiente: r! 1200 c. Pago diario de intereses. Un r% anual, implica un!%!"# diario. En n días, la cantidad que se obtiene al r% anual es la siguiente: r Averigua en cuánto se transforma un capital de al 6% anual durante 4 años, si los periodos de capitalización son: a. Años. b. Meses. c. Días. d. Trimestres.! NOTA a tener en cuenta. Es parecido, pero el resultado de calcular la cantidad de una o de otra manera, no es el mismo. Por tanto, aunque los tiempos sean equivalentes (12 meses = 1 año), influye que el periodo de capitalización sea en años, meses o días. [1ºCC.SS.] (Tema 2, libro Anaya). Aritmética mercantil. Jesús C. Sastre 2

3 4. Tasa Anual Equivalente (T.A.E.) En las cuentas de ahorro, cuando los periodos de capitalización son inferiores a un año, los intereses anuales producidos por un cierto capital son superiores al rédito que declara el banco. Se llama tasa anual equivalente (T.A.E.) al tanto por ciento de crecimiento total del capital durante un año. En los préstamos bancarios, la T.A.E. es, también, superior al rédito declarado. Al calcularla se incluyen los pagos fijos (comisiones y gastos) que cobra el banco para conceder el préstamo. Un banco nos concede un préstamo de al 12% anual. En el momento de la formalización nos cobra unos gastos de 500. Realizamos un solo pago al cabo de un año, tomando periodos de capitalización mensuales. Cuál es la T.A.E.? (Ten en cuenta que nos dieron 9500 y que hemos de devolver ,12). Y si lo tuviéramos que devolver, íntegro, a los dos años? [1ºCC.SS.] (Tema 2, libro Anaya). Aritmética mercantil. Jesús C. Sastre 3

4 5. Amortización de préstamos. Para la amortización de un préstamo mediante varios pagos aplazados, se tiene en cuenta que: Cada pago salda los intereses que produce la deuda pendiente desde el pago anterior, y el resto, amortiza parte de esta deuda. El último pago salda los intereses pendientes desde el pago anterior, y amortiza la totalidad de la deuda pendiente. Lo habitual es que todos los pagos sean idénticos. El cálculo de esa cantidad fija (mensualidad, anualidad) que permite amortizar el total de la deuda en un número prefijado de plazos, se realiza mediante las técnicas explicadas más adelante en este mismo tema. Comprueba que podemos amortizar al 10% anual mediante cuatro pagos trimestrales de 2658,18 cada uno. Explicación: Antes de hacer el primer pago, se debe la cantidad inicial a devolver (10000 ), más los intereses que han generado ( ,025 = 250 ). Así, tras hacer el primer pago, se deben: ,18 = 7591,82. Durante el segundo trimestre, estos 7591,82 habrán generado unos intereses (7591,82 0,025 = 189,8 ). Así, se deben en total al final del segundo trimestre 7591, ,8 = 7781,62, justo antes de hacer el segundo pago. De esta manera, tras hacer el segundo pago, se comienza el tercer trimestre con una deuda de 7781, ,18 = 5123,44. Al final del tercer trimestre habrá que devolver esta última cantidad, más los intereses generados por esta cantidad (5123,44 0,025 = 128,086 ), es decir: 5123, ,086 = 5251,526. Tras hacer el tercer pago, se deberían: 5251, ,18 = 2593,346. Esta cantidad, durante el cuarto trimestre genera 2593,346 0,025 = 64,834. En total habrá que pagar al final de este último cuarto trimestre: 2593, ,834 = 2658,18. Después de hacer el último pago, se debe: 2658, ,18 = 0, es decir, se han amortizado los al 10% mediante cuatro pagos trimestrales de 2658,18 cada uno. [1ºCC.SS.] (Tema 2, libro Anaya). Aritmética mercantil. Jesús C. Sastre 4

5 6. Progresiones geométricas. a. Término general de una progresión geométrica. Una progresión geométrica es una sucesión de números 𝑎!, 𝑎!, 𝑎!,, 𝑎!, llamados términos de la progresión, en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número constante, 𝑟, llamado razón de la progresión. El término 𝑛-ésimo de 𝑎!, se puede obtener de las siguientes maneras: 𝑎! = 𝑎!!! 𝑟 𝑎! = 𝑎! 𝑟!!! b. Suma de los términos de una progresión geométrica. La suma de los 𝑛 primeros términos de una progresión geométrica es: 𝑆! = 𝑎!!! 𝑎! 𝑟 1 Demostración: 𝑆! = 𝑎! + 𝑎! + 𝑎! + + 𝑎! 𝑆! 𝑟 = 𝑎! 𝑟 + 𝑎! 𝑟 + 𝑎! 𝑟 + + 𝑎! 𝑟 𝑆! 𝑟 = 𝑎! + 𝑎! + + 𝑎!!! Restando las dos expresiones, se tiene: 𝑆! 𝑟 = 𝑎! + 𝑎! + + 𝑎! + 𝑎!!! 𝑆! = 𝑎! + 𝑎! + 𝑎! + + 𝑎! 𝑆! 𝑟 𝑆! = 𝑎!!! 𝑎! O lo que es lo mismo: 𝑆! 𝑟 1 = 𝑎!!! 𝑎! 𝑆! = 𝑎!!! 𝑎! 𝑟 1 [1ºCC.SS.] (Tema 2, libro Anaya). Aritmética mercantil. Jesús C. Sastre 5

6 7. Cálculo de anualidades o mensualidades para amortizar deudas. a. Amortización de una deuda mediante pagos anuales iguales (anualidades). Se ha de amortizar un préstamo C, a un interés del r% anual, mediante n pagos anuales. Llamaremos i =!!"". La anualidad correspondiente se obtiene mediante la siguiente fórmula: (1 + i)! i a = C (1 + i)! 1 b. Amortización de una deuda mediante pagos mensuales iguales (mensualidades). Se ha de amortizar un préstamo C, a un interés del r% anual, mediante n pagos mensuales. Llamaremos i =!!"##. La mensualidad correspondiente se obtiene mediante la siguiente fórmula: (1 + i)! i a = C (1 + i)! 1 Averigua la mensualidad que hay que pagar para amortizar en 3 años (36 pagos) una deuda de al 9% anual. Cuánto hay que pagar cada trimestre para amortizar en 3 años (12 pagos) una deuda de al 9% anual? [1ºCC.SS.] (Tema 2, libro Anaya). Aritmética mercantil. Jesús C. Sastre 6