MATEMÁTICAS FINACIERAS

Transcripción

1 MATEMÁTICAS FINACIERAS para cálculos en Evaluación de Proyectos Adolfo Centeno Rojas

2 PRINCIPIOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS PARA PROYECTOS Inversión y valor del dinero en el tiempo El interés y equivalencia Amortización de préstamos

3 INVERSIÓN Y VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO INVERSIÓN: Cualquier sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. Implicancias: Consumir hoy o invertir para obtener beneficios futuros - Cuál es el incentivo? Consideración de recursos monetarios y otros deseables y escasos Valor del dinero en el tiempo Riesgo de no recuperar parte o toda la inversión y los beneficios esperados Generación de excedentes o beneficios luego de recuperar la inversión

4 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Valor del Dinero con el Tiempo Cómo comparamos sumas de dinero ubicadas en diferentes momentos del tiempo? Tasas de Interés Cuánto ganamos porcentualmente en una operación? Qué son tasas de interés simples, nominales, equivalentes o efectivas? Cómo convertirlas? De qué forma se puede devolver el capital que ha sido prestado y pagar los intereses correspondientes? Amortización de Préstamos

5 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO El dinero tiene un valor dependiendo del momento en que se considera, por lo cual toda cantidad de dinero se debe identificar por una magnitud y una ubicación en el tiempo......se debe distinguir Cuándo? y Cuánto?

6 INTERÉS Y EQUIVALENCIA TASA DE INTERÉS: La tasa de interés es la medida, en térmminos porcentuales, del rendimiento (utilidad, rentabilidad) de un determinado capital invertido (o del costo del capital solicitado en calidad de préstamo). Implicancias: Tasa de interés (i) e interés (I) Cuál es la tasa de interés adecuada? Componentes de la tasa de interés: o Componente inflacionario (i f ) o Componente de riesgo (i θ ) o Componente real (i r )

7 INTERÉS Y EQUIVALENCIA Componente inflacionario (i f ): La inflación se mide calculando la variación porcentual del Indice de Precios al Consumidor (de una canasta básica de productos representativa de toda la problación) y se refleja en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda. A mayor inflación, mayor tasa de interés. Componente de riesgo (i θ ): Es intrínseco al negocio o inversión en que se coloca el dinero o capital. A mayor riesgo, mayor tasa de interés Componente real (i r ): El interés real o la productividad en su uso, es un efecto intrínseco del capital, independiente de la existencia de inflación o riesgo.

8 INTERÉS Y EQUIVALENCIA Relación multiplicativa: La relación de estos componentes para determinar la tasa de interés corriente (i c ), no es aditiva, sino multiplicativa, o sea que la tasa de interés corriente, se puede expresar así: i c = (1+i f ) x (1+i θ ) x (1+i r ) 1 Concepto de equivalencia: $1 de hoy es equivalente (no igual) a $1+x dentro de un período de tiempo. Un ejemplo: Usted acude a un banco a solicitar un préstamo de $ 50,000 para una inversión. Qué tasa de interés esperaría que el banco aplique al préstamo?

9 ELEMENTOS DE UNA OPERACIÓN Tasa de Interés (i)* Cuánto se gana o se paga por el uso del dinero en cada período (se expresa en términos porcentuales). 0 $100 Valor Presente (P) Es el capital inicial, o cantidad de dinero que se entrega o se toma en préstamo. 20% Valor Futuro (F) Es el monto acumulado en un momento del tiempo, resultado de sumar el capital de períodos anteriores e intereses ganados. $120 1 Año Plazo (n) Número de períodos que dura la operación Importante! * La tasa de interés debe coincidir con los períodos (p.e. Tasa de interés mensual - n en meses)

10 RESUMIENDO: Los conceptos fundamentales son en su orden: 1. Valor de dinero en el tiempo:una cantidad de dinero en presente vale más que la misma cantidad en el futuro 2. Interés (I): Medida o manifestación de la medida del valor del dinero en el tiempo. I = F - P, donde: P = cantidad de dinero hoy F = cantidad de dinero recibido luego de un tiempo determinado Tasa de interés (i): Porcentaje que mide el valor de los intereses. i = I / P 3. Equivalencia: Dos cantidades diferentes ubicadas en diferentes fechas son equivalentes, aunque no iguales, si producen el mismo resultado económico. Un valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F) si el valor futuro cubre el valor presente más los intereses a la tasa exigida por el inversionista

11 Ejemplo: 0 P = S/ 1,000 F = S/ 1,100 1 P 1,000 1,000 + I 100 F 1,100 i = I 100 P = 1,000 = 0.10 = 10% i = F- P = F - 1 = 1,100-1 = 10% P P 1,000 P Cociente Cociente entre entre el el interés interés pagado pagado (I) (I) y y el el dinero dinero recibido recibido (P) (P) representa representa el el costo costo financiero financiero de de la la operación. operación.

12 INTERÉS SIMPLE Saldo 0 Intereses P = S/ 1,000 Flujo: 10% 10% 10% ,000 1,100 1,200 1, P x i P x i P x i n = 3 F =?? (F = P + I) Para Para el el cálculo cálculo del del valor valor futuro futuro (F) (F) no no se se considera capitalización de de intereses en en períodos intermedios. I = P x i x n F = P + (Px i x n) F = P (1+(i x n))

13 Ejemplo de interés simple: Calcular el interés total generado bajo las siguientes condiciones: Préstamo = 100 Tasa de interés (i) = 10% mensual Periodos = 4 meses Acum. Intereses del primer mes : I = 100*10%*1 = Intereses del segundo mes: I = 100*10%*1 = Intereses del tercer mes: I = 100*10%*1 = Intereses del cuarto mes: I = 100*10%*1 = Total intereses generados = 40 I = 100*10%*4 = 40

14 Ejemplo de interés simple: Capital Inicial : 10, Tasa mensual : 5% (interés simple) Duración : 14 meses Tiempo TABLA DE CALCULO Mes Capital Interés n acumulado Valor Futuro

15 Ejercicios de interés simple: Encontrar el el interés interés y el el valor valor futuro futuro para para un un capital capital inicial inicial de de $1,000 $1,000 I I =? F =? al al %, %, mensual mensual luego luego de de un un año año al al %, %, mensual luego luego de de medio medio año año al al %, %, mensual mensual luego luego de de meses meses

16 Ejercicios de interés simple: Hallar Hallar la la Tasa Tasa de de Interés Interés Mensual (( i i en en % )) a) a) Si Si un un capital capital de de $2,000 $2,000 se se convierte en en $2,110 $2,110 luego luegode de un un año año b) b) Si Si un un capital capital de de $4,200 $4,200 se se convierte en en $5,300 $5,300 luego luegode de dos dos años años c) c) Si Si un un capital capital de de $1,680 $1,680 se se convierte en en $2, $2, luego luegode de medio medio año año Hallar Hallar el el número de de Períodos (n (n en en meses) meses) a) a) Capital Capital de de $2,000 $2,000 se se convierte en en $2,125 $2,125 al al 5%mensual b) b) Capital Capital de de $6,800 $6,800 se se convierte en en $10,125 $10,125 al al 15%mensual c) c) Capital Capital de de $10,000 $10,000 se se convierte en en $32,125 $32,125 al al 16%mensual

17 INTERÉS COMPUESTO Para Para el el cálculo cálculo del del Valor Valor Futuro Futuro (F) (F) se se considera la la capitalización de de intereses en en períodos intermedios. Fórmula de cálculo F = P (1 + i ) n

18 INTERÉS COMPUESTO F =? 0 10% 10% 10% P = S/ 1,000 Datos: P = 1,000 n = 3 i = 10.0% F =? Flujo Saldo ,000 1,100 1,210 1,331 Intereses P P+(Pxi) (P+(Pxi))+(P+(Pxi))xi P ( 1 + i ) 2 F = P ( 1 + i ) n P ( 1 + i ) 3

19 Ejemplo de interés compuesto: Flujo: 0 Si Si usted usted presta presta S/ S/ 1,000 1,000 a a un un amigo amigo que que le le ofrece ofrece pagar pagar una una tasa tasa de de 1.35%, 1.35%, capitalizable capitalizable mensualmente mensualmente y y por por seis seis meses meses Cuánto Cuánto recibirá recibiráusted, en en total, total, al al final final de de dicho dicho plazo? plazo? Datos: P = 1,000 n = 6 i = 1.35% F =? 1.35% 1.35% 1.35% 1.35% 1.35% 1.35% F =? P = S/ 1, Solución: F = P ( 1+i ) n F =1,083.78

20 Ejemplo de interés compuesto: Capital inicial: 10,000 Tiempo Mes Capital Interés Nuevo capital Tasa mensual: 5% (compuesto) n : 14 n ,000 10,500 11, ,500 11,025 11, , ,155 TABLA DE CÁLCULO ,155 12, ,763 13, , , , , , , , , , , , , , , , ,799

21 Ejercicios de interés compuesto: Encontrar el el interés interés y el el valor valor futuro futuro para para un un capital capital inicial inicial de de $1,000 $1,000 I I =? F =? al al %, %, mensual mensual luego luego de de un un año año al al %, %, mensual mensual luego luego de de medio medio año año al al %, %, mensual mensual luego luego de de meses meses

22 Ejercicios de interés compuesto: Hallar Hallar la la Tasa Tasa de de Interés Interés Mensual (( i i en en % )) a) a) Si Si un un capital capital de de $2,000 $2,000 se se convierte en en $2,110 $2,110 luego luegode de un un año año b) b) Si Si un un capital capital de de $4,200 $4,200 se se convierte en en $5,300 $5,300 luego luegode de dos dos años años c) c) Si Si un un capital capital de de $1,680 $1,680 se se convierte en en $2, $2, luego luegode de medio medio año año Hallar Hallar el el número de de Períodos (n (n en en meses) meses) a) a) Capital Capital de de $2,000 $2,000 se se convierte en en $2,125 $2,125 al al 5%mensual b) b) Capital Capital de de $6,800 $6,800 se se convierte en en $10,125 $10,125 al al 15%mensual c) c) Capital Capital de de $10,000 $10,000 se se convierte en en $32,125 $32,125 al al 16%mensual

23 INTERÉS VENCIDO Y ADELANTADO A A A A A A A A A Vencido Vencido Intereses Intereses se se capitalizan capitalizan al al final final de de cada cada periodo. periodo n Adelantado Adelantado Intereses Intereses se se capitalizan capitalizan al al inicio inicio cada cada periodo. periodo. A A A A A A A A A n

24 VALOR PRESENTE Se Se obtiene descontando el el valor valor futuro al al inicio del del periodo con conuna tasa tasa de de interés determinada F = P (1 + i) n Despejando P F P = (1 + i) n

25 Ejercicio de valor presente: Cuánto Cuánto deberá deberácolocarse en en una una cuenta cuenta de de ahorro ahorro a a la la tasa tasa anual anual de de 8.25% 8.25% si si se se desea desea tener tener al al cabo cabo de de 44 años años la la cantidad cantidad de de S /. /. 1,500. 1,500. Datos: P =? n = 4 i = 8.25% F = 1,500 + descuento por 4 años al 8.25% P=? F=1,500 Solución: P = F / (1+i) n P = 1,092.39

26 Ejercicios de valor presente: Encontrar el el Valor Presente a) a) Valor futuro $2,110 a un un año año si si la la tasa tasa es es 5 % mensual b) b) Valor futuro $4,600 a dos dos años años si si la la tasa tasa es es 8 % mensual c) c) Valor futuro $14,600 a meses si si la la tasa tasa es es % mensual

27 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA Dependiendo de la forma como se liquiden los intereses estipulados en una transacción, entonces se presentarán diferencias entre el interés verdadero y el pactado. Estas tasas se llaman tasas de interés efectivas y tasas de interés nominales. Tasa de interés nominal es una tasa de interés que se estipula para un determinado período (por ejemplo, un año) y que se liquida en forma fraccionada, en lapsos iguales o inferiores al indicado inicialmente. Tasa de interés efectiva es la tasa de interés que resulta cuando se liquida una tasa de interés nominal en períodos menores al estipulado inicialmente para ella. Dicha tasa puede calcularse en virtud de que el interés es compuesto, ya que las liquidaciones del mismo se han acumulado.

28 CONSIDERACIONESA PARA LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA Un interés efectivo implica: liquidación de intereses en períodos de tiempo menores al estipulado para la tasa de interés nominal; acumulación de los intereses generados durante el período indicado; e interés compuesto.

29 LA EFECTIVA DEPENDE DE LA NOMINAL La tasa de interés efectiva depende de la tasa de interés nominal. Tasa mensual Tasa nominal Tasa efectiva (tasa periódica) anual anual 1.0% 12% 12.68% 1.5% 18% 19.56% 2.0% 24% 26.82% 2.5% 30% 34.49% 3.0% 36% 42.58%

30 TASA DE INTERÉS EFECTIVA Dados una tasa de interés nominal y el número de veces por período que se liquida el interés (vencido), entonces el interés efectivo es: i ef = n i 1+ nom 1 n Donde: I ef = tasa de interés efectiva n = número de veces que se liquida o capitaliza el interés nominal durante el período I nom = tasa de interés nominal por período, liquidada por período vencido En Excel se utiliza la función: =INT.EFECTIVO(int.nominal;num. períodos al año)

31 Ejercicio de tasa de interés efectiva Calcule Calcule la la Tasa Tasa de de Interés Interés Efectiva Efectiva anual anual correspondiente a a una una Tasa Tasa Nominal de de % capitalizable trimestralmente Datos: i ef = tasa de interés efectiva anual =? i nom = tasa de interés nominal = 0.60 n = número de períodos de capitalización en el año = 4 Aplicando la formula 0.6 i ef = ( ) i ef = %

32 Ejercicio de tasa de interés efectiva Encuentre la la Tasa Tasa Efectiva Anual si si una una Tasa Tasa Nominal Anual del del 15% 15% se se capitaliza 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6 y veces por por año. año. Períodos x año Tasa Nominal Anual Tasa Efectiva Anual 1 15% 15,00% 2 15% 15,56% 3 15% 15,76% 4 15% 15,87% 6 15% 15,97% 12 15% 16,08%

33 Ejercicio de tasa nominal Encuentre la la Tasa Tasa Nominal Anual si si una una Tasa Tasa Efectiva Anual del del % se se capitaliza 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6 y veces por por año. año. Períodos x año Tasa Efectiva Anual Tasa Nominal Anual 1 15,00% 2 15,00% 3 15,00% 4 15,00% 6 15,00% 12 15,00% 15,00% 14,48% 14,31% 14,22% 14,14% 14,06%

34 AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS Se Se refiere refiere a a la la devolución gradual gradual de de un un préstamo. En En la la mayoría mayoría de de casos casos se se realiza realiza mediante pagos pagos periódicos. Estos Estos pagos, pagos, incluyen además además de de la la amortización del del principal, los los intereses de de la la deuda, deuda, comisiones, costos costos de de operar operar el el crédito crédito y otros. otros. Una Una vez vez que que el el préstamo ha ha sido sido cancelado, se se dice dice que que esta esta amortizado. La La descomposición de de los los pagos pagos en en términos de de interés interés y capital capital se se denomina Programa de de Amortización. Ejemplo de de un un Programa de de Amortización Mes 0 Saldo Final Amortiz. Interés Pago

35 FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO Usualmente son son empleadas 3 formas Plan Plan de de Cuotas Decrecientes Plan Plan de de Cuotas Constantes Plan Plan de de Cuotas Crecientes

36 PLAN DE CUOTAS DECRECIENTES Método Método conocido como como Plan Plan de de Amortizaciones Constantes. La La Deuda Deuda se se amortiza en en partes partes iguales iguales pagadas pagadas a a intervalos regulares dentro dentro del del plazo plazo del del préstamo. En En cada cada amortización se se pagan pagan intereses sobre sobre el el saldo saldo pendiente Cuotas Cuotas del del préstamo son son más más elevadas al al inicio inicio y disminuyen a a través través del del tiempo tiempo Ejemplo de de Plan Plan Cuotas Cuotas Decrecientes (( i= i= 10% 10% )) Período Saldo Amortización Intereses Pago

37 Ejercicio de plan de cuotas decrecientes Ejercicio: Ejercicio: Elabore Elabore el el programa programa de de amortización amortización para para una una deuda deuda de de S/. S/. 10,000 10,000 pactada pactada a a una una tasa tasa de de interés interés anual anual del del %, %, mediante mediante la la modalidad modalidad de de cuotas cuotas decrecientes decrecientes en en 88 años años Valor Préstamo 10,000 Soles Número Cuotas 8 Anual Tasa x Período 10.00% Anual Período Saldo Amortización Intereses Pago 0 10, ,250 1,000 2, , , , , , , ,250

38 Ejercicio de plan de cuotas decrecientes Ejercicio: Ejercicio: Elabore Elabore el el programa programa de de amortización amortización para para una una deuda deuda de de US US $ $ 17,500 17,500 pactada pactada a a una una tasa tasa de de interés interés anual anual del del %, %, mediante mediante la la modalidad modalidad de de cuotas cuotas decrecientes decrecientes en en meses meses Período Saldo Amortización Intereses Pago Valor Préstamo Dólares Número Cuotas 24 Mes Tasa x Período 1.60% Mes 0 17, ,

39 PLAN DE CUOTAS CONSTANTES Forma Forma de de pago pago más más empleada. Varían Varían las las amortizaciones e e intereses, siendo siendo las las amortizaciones crecientes y los los intereses decrecientes, de de tal tal forma forma que que en en cada cada período período se se paga paga la la misma misma cuota. cuota. Valor Valor de de cuota cuota se se determina aplicando concepto anualidad pago pago vencido. Ejemplo :: Plan Plan Cuotas Cuotas Constantes Mes Saldo Amortiz Interes Pago 0 1,

40 ANUALIDAD DE PLAZO VENCIDO Anualidad: Son Son pagos pagos constantes que que incluyen amortización más más intereses A = PRINCIPAL * i * (1+i)^n (1+i)^ n - 1 A = Anualidad i = Tasa de Interés n = Número de Periodos

41 Ejercicio de plan de cuotas constantes Ejercicio: Ejercicio: Elabore Elabore el el programa programa de de amortización amortización para para una una deuda deuda de de S/. S/. 1,000 1,000 pactada pactada a a una una tasa tasa de de interés interés anual anual del del %, %, mediante mediante la la modalidad modalidad de de cuotas cuotas constantes constantes en en 44 años años Excel: =pago(tasa,nper,va ) Valor Préstamo 1000 Soles Número Cuotas 4 Anual Tasa x Período 10.00% Anual Período Saldo Amortización Intereses Pago

42 Ejercicio de plan de cuotas constantes Ejercicio: Ejercicio: Elabore Elabore el el programa programa de de amortización amortización para para una una deuda deuda de de S/. S/. 10,000 10,000 pactada pactada a a una una tasa tasa de de interés interés anual anual del del %, %, mediante mediante la la modalidad modalidad de de cuotas cuotas constantes constantes en en 88 años años Valor Préstamo Soles Número Cuotas 8 Anual Tasa x Período 10.00% Anual Período Saldo Amortización Intereses Pago

43 Ejercicio de plan de cuotas constantes Ejercicio: Ejercicio: Elabore Elabore el el programa programa de de amortización amortización para para una una deuda deuda de de US US $ $ 18,500 18,500 pactada pactada a a una una tasa tasa de de interés interés anual anual del del %, %, mediante mediante la la modalidad modalidad de de cuotas cuotas constantes constantes en en meses meses Valor Préstamo Dólares Número Cuotas 36 Mes Tasa x Período 1.32% Mes Período Saldo Amortización Intereses Pago

44 PLAN DE CUOTAS CRECIENTES Cuotas Cuotas aumentan aumentan a a través través del del tiempo. tiempo. Se Se asume asume una una amortización amortización basada basada en en la la suma suma de de los los períodos períodos dígitos dígitos que que consiste consiste en en dividir dividir el el total total del del préstamo préstamo entre entre la la suma suma de de los los números números ordinales ordinales de de todos todos los los períodos. períodos. La La cifra cifra resultante resultante se se multiplica multiplica por por el el dígito dígito correspondiente correspondiente de de cada cada período, período, para para hallar hallar la la amortización amortización en en cada cada caso. caso. Se Se difiere difiere la la entrega entrega del del capital capital en en los los períodos períodos iniciales. iniciales. Cada Cada amortización amortización constituye constituye un un pago pago parcial parcial del del préstamo, préstamo, calculándose calculándose los los intereses intereses sobre sobre el el saldo saldo del del mismo. mismo. Ejemplo :: Plan Plan Cuotas Crecientes Período Saldo Amortización Intereses Pago

45 Ejercicio de plan de cuotas crecientes Ejercicio: Ejercicio: Elabore Elabore el el programa programa de de amortización amortización para para una una deuda deuda de de S/. S/. 1,000 1,000 pactada pactada a a una una tasa tasa de de interés interés anual anual del del %, %, mediante mediante la la modalidad modalidad de de cuotas cuotas crecientes crecientes en en 44 años años Valor Préstamo 1000 Soles Número Cuotas 4 Anual Tasa x Período 10.00% Anual Período Saldo Proporción Amortización Intereses Pago Amortización

46 Ejercicio de plan de cuotas crecientes Ejercicio: Ejercicio: Elabore Elabore el el programa programa de de amortización amortización para para una una deuda deuda de de S/. S/. 10,000 10,000 pactada pactada a a una una tasa tasa de de interés interés anual anual del del %, %, mediante mediante la la modalidad modalidad de de cuotas cuotas crecientes crecientes en en 88 años años Valor Préstamo Soles Número Cuotas 8 Anual Tasa x Período 10.00% Anual Período Saldo Proporción Amortización Intereses Pago Amortización

47 Ejercicio de plan de cuotas crecientes Ejercicio: Ejercicio: Elabore Elabore el el programa programa de de amortización amortización para para una una deuda deuda de de US US $ $ 18,500 18,500 pactada pactada a a una una tasa tasa de de interés interés anual anual del del %, %, mediante mediante la la modalidad modalidad de de cuotas cuotas crecientes crecientes en en meses meses Valor Préstamo Dólares Número Cuotas 48 Mes Tasa x Período 1.32% Mes Período Saldo Proporción Amortización Intereses Pago Amortización