Asignatura: Matemática Financiera.

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1 Asignatura : Matemática Financiera. Carrera : Ingeniería en Sistemas. Año Académico : II Año. Unidad No. II : Conceptos básicos y la equivalencia del dinero en el en el tiempo. Profesor : Mauricio Navarro Zeledón. Unidad II: Conceptos básicos y equivalencia del dinero en el tiempo. 1. Conceptos básicos y representaciónón gráfica de los flujos de efectivo. El rendimiento del dinero. La Matemática Financiera y la Ingeniería Económica por ser estas conjuntos de métodos que ayudan a realizar los análisis financieros, se ven involucradas en toda la actividad económica donde se pretenda obtener una ganancia; particularmente en la medición del rendimiento del dinero invertido, porque a fin de cuentas es lo que está en juego, es decir; si se pierde o se gana dinero. Es importante también tener en cuenta, las condiciones micro y macroeconómicas de los procesos productivos. Debido a esto; muchas veces se hace necesario analizar algunos aspectos relacionados con las empresas o entes ejecutores de las inversiones. Flujos de caja. Las personas y compañías tienen ingresos de dinero, (rentas) y pagos de dinero (costos) que ocurren particularmente cada período de tiempo dado. Estos valores que constituyen ingresos y pagos y que se dan periódicamente en el tiempo, se denominan flujos de caja. Para simplificar, se supone que todos los flujos de caja ocurren al final de cada período de interés. Estos es lo que se conoce como convención fin de período de lo contrario se debe especificar. Los flujos de caja se caracterizan por su signo, positivo si es un ingreso y negativo si es un pago o desembolso. En cualquier instante de tiempo el flujo de caja podría representarse como: Flujo de caja neto = Ingresos Egresos Flujos de caja positivos (+) Estos representan todas las entradas de dinero independientemente del origen de donde provengan. Flujos de caja negativos (-) Estos representan todas las salidas de dinero independientemente del concepto que los origine. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 1

2 En adelante, la simbología que utilizaremos para representar los flujos de dinero será (C$) para córdobas y ($) para dólares. Para efectos de simplicidad en algunos gráficos de flujos de dinero no pondremos el símbolo, si de manera implícita sabemos a qué unidad monetaria nos referimos. Para ilustrar mejor los flujos de caja, supongamos que un ganadero recurre a un banco y le prestan $ 50,000 para la inversión en su finca ganadera. En este caso el banco registra un flujo negativo y la administración de la finca registra un flujo de dinero positivo. La dirección de las flechas en el diagrama de los flujos de caja es importante para la solución del problema. En este caso utilizaremos flecha hacia arriba para indicar un flujo positivo (ingreso) y flecha hacia abajo para indicar un flujo negativo (desembolso) 2. Concepto de interés. Interés. El interés es la cantidad convenida que se paga por el uso del dinero en calidad de préstamo o depósito. La evidencia del valor del dinero en el tiempo se llama interés, y es una medida de incremento entre la suma de dinero prestada o invertida y la cantidad final debida o acumulada. El uso del capital no es gratuito y el concepto de interés surge precisamente de esto, aunque el Antiguo Testamento prohibía específicamente los préstamos con tasas de interés a los miembros de una misma comunidad, los teólogos medievales trataron de separar los diferentes componentes del interés, tales como: (a) el riesgo; (b) el costo de oportunidad, (c) la inflación y la conveniencia a fin de perforar el sólido muro de la prohibición y permitir algunas filtraciones, para salvar las crecientes actividades comerciales de las interpretaciones bíblicas ortodoxas. De lo contrario mucha gente estaba dispuesta a enfrentar el castigo divino al poner en práctica un sistema mercantilista generalizado. Para salvar la situación los teólogos desarrollaron sus teorías económicas apoyándose al mismo tiempo en lo secular lo sagrado. Estas teorías, con el desarrollo que ha alcanzado la sociedad en sus diversas manifestaciones, se han transformado a tal punto que en la actualidad los bancos, las entidades financieras, las personas no están dispuestas a facilitar ninguna cantidad de dinero, sin tener en cuenta cierto margen de ganancia o utilidad y todo esto originado por el concepto de rentabilidad que se mide por el aumento del valor cronológico del dinero. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 2

3 Interés acumulado o devengado. Es la cantidad de dinero generado al final de cierto período de tiempo por efecto del préstamo o depósito y puede ser calculado a Interés Simple o Compuesto, entre otros factores depende: a. La cantidad de dinero prestada o ahorrada. b. Del plazo del préstamo o depósito. c. De la tasa de interés pactada o establecida. d. De la forma de capitalizar los intereses. e. De la forma de pagar intereses: anticipados o vencidos. 3. Interés simple. Es un método de cálculo financiero donde el capital invertido no sufre ninguna variación en el tiempo que dura la transacción, es decir la tasa de interés se aplica solamente al principal inicial en base al tiempo estipulado. El interés simple está dado por la siguiente fórmula: I = P i n Dónde: I P i n = Interés acumulado o devengado. = Principal (cantidad prestada o ahorrad) = Tasa de interés del período (día, mes, trimestre, año, etc.) = Plazo o número de períodos (días, mes trimestre, semestre, año, etc.) Para el uso correcto de la fórmula es necesario que las variables relacionadas con el plazo (n) y la tasa de interés (i) estén definidas en el mismo período de tiempo, por ejemplo. n = 1 trimestre i = 4% trimestral : 4/100 = 0.04 trimestral. n = 5 años i = 18 anual : 18/100 = 0.18 anual. n = 10 meses i = 2% mensual : 2/100 = 0.02 mensual. n = 6 meses i = 20% anual : 20/100 = 0.20 anual. En el último caso (d) para usar la fórmula se debe convertir 6 meses a 0.5 años o bien 20% anual a mensual. Si la tasa de interés (i) está definida en año y el plazo (n) en días, es aconsejable usar el factor b/360; si (n) está dado en meses se usa n/12. Para determinar el plazo en días, o sea entre fecha y fecha se utilizan todos los días efectivos entre las fechas respectivas y se dividen entre 360 días correspondientes al año comercial para anualizar el plazo. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 3

4 Interés simple comercial u ordinario. Al interés calculado sobre la base del año comercial que tiene 360 días, y cada mes 30 días, se le llama interés simple comercial u ordinario, es decir: I = P i (n/360) Lo anterior provoca que muchas veces, las fechas de pago de un préstamo no coincidan exactamente con la fecha en la que se otorgó el préstamo. Así por ejemplo un préstamo que se otorgó el 15 de enero del 2012 y a plazo de un año no necesariamente vence el 15 de enero del 2013, sino que puede vencer el día 10 de enero debido a que se trabaja con el año comercial de 360 días. Este es el sistema utilizado comúnmente por las instituciones que trabajan con créditos y finanzas. Al interés calculado sobre la base anual de 360 días se conoce en la práctica comercial cono interés bancario. Interés simple exacto. Al interés calculado sobre la base de 365 días se le llama interés exacto. Por otra parte, el tiempo puede ser calculado de manera exacta y de manera aproximado, por consiguiente para determinar el interés, las dos partes involucradas deben ponerse de acuerdo respecto al procedimiento que se utilizará. I = P i (n/365) Ejemplo No. 1. Calcular el interés que devenga un depósito de $ 25,000 en un banco a una tasa de interés simple del 20% a plazo fijo de 10 meses. Solución: Datos: P = $ 25,000; n 0 10/12 = año; i = 20% = 20/100 anual. Por la fórmula anterior se obtiene: I =P i n = 25,000 (0.20) ( ) = $ 4, Ejemplo No. 2. El Sr. Alberto Paniagua planea solicitar un préstamo de C$ 180,000 a 18 meses de plazo a una tasa de interés simple del 30%. Calcular la cantidad que pagará en concepto de interés al final del plazo. Datos: P = C$ 180,000; n = 18 meses; i = 0.30/12 = mensual. I = P i n = 180,000 (0.025) (18) = C$ 81,000; también el resultado es el mismo si: n = 18/12 = 1.5 años; i = 30% anual = 0.30 anual, o sea: I = P i n = 180,000 (0.30) (1.5) = C$ 81,000. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 4

5 Ejemplo No. 3. Qué cantidad de intereses devenga un pagaré cuyo valor nominal es de $ 50,000 a un plazo de 270 días a una tasa de interés del 0.95% mensual? Datos: P = $ 50,000; n = 270/360 = 0.75 años; i = (12) = anual, luego; I = P i n = 50,000 (0.114) (0.75) = $ 4,275 también resulta lo mismo si: n = 270/30 = 9 meses; i = mensual, o sea: I = P i n = 50,000 (0.0095) (9) = $ 4,275. Equivalencias entre sumas de dinero. En el cálculo financiero, diferentes sumas de dinero se dice que son equivalentes si tienen el mismo valor económico, esto quiere decir el valor del dinero en el tiempo utilizando conjuntamente una tasa de interés, por ejemplo: si la tasa de interés es el 25% anual, C$ de hoy son equivalentes a C$ C$ dentro de un año y viceversa. Tasas de interés. Como lo definimos anteriormente, la tasa de interés es la razón del interés devengado respecto al capital inicial. En otras palabras es la cantidad porcentual que al multiplicarse por el capital inicial, da como resultado el interés devengado. La determinación de la tasa efectiva o verdadera de interés de un préstamo depende de la que se haya convenido y el método con que el acreedor cargue el interés, si este se paga al vencimiento del préstamo, la tasa convenida es la tasa efectiva de interés. Las tasas de interés bancarias presentan tres resultados: interés compuesto ordinario, interés descontado e interés a plazo. Las tasas de interés se dividen en dos categorías: Tasa de interés activa. La tasa de interés activa es la cobrada por los bancos y las instituciones financieras en la colocación de dinero, o sea, en el otorgamiento de préstamos a las personas naturales y jurídicas para el financiamiento de las actividades económicas. Las tasas de interés corriente y moratorias son tasas activas. Tasa de interés pasiva. La tasa de interés pasiva es la pagada por los bancos y las instituciones financieras a los ahorrantes, en la captación de dinero (ahorros de diversas formas). La tasa pasiva constituye una tasa de interés de rendimiento baja para los ahorrantes, ya que el ahorro es una inversión de bajo riesgo. Por naturaleza, las tasas de interés activas son mayores que las pasivas, ya que parte de la diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. En el mercado financiero nicaragüense, las tasas activas y pasivas están determinadas según la oferta y demanda de dinero, así como el índice de riesgo país para las inversiones y otros factores como la estabilidad política y social. Estas tasas de interés están definidas para moneda nacional (córdobas) y para moneda extranjera (dólar) de los Estados Unidos. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 5

6 Valor futuro de una suma de dinero. El valor futuro F de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad acumulada al final de cierto período de tiempo que incluye principal más los intereses. Este valor F se calcula en cualquier fecha antes o en la fecha de vencimiento. F 0 n P Si el tiempo n es medido en año, meses o días el valor presente (principal) de una cantidad de dinero es denominado P, su valor después de cierto período de tiempo y a una tasa de interés dado i está dado por: F = P / Pin = P [1 + + i (n)] Ejemplo No. 4. El Sr. Santos, deposita en un banco $ 130,000 en certificados de depósito a término (CDT) a un interés del 15% y 6 meses de plazo. Determinar: Los intereses acumulados. El valor futuro de los certificados. Datos: P = $ 130,000. F =? n = 6 meses. i = 15% 0 6 meses I =? F =? 130,000 Solución: I = Pin = 130,000 (0.15) (6/12) = $ 9,750. F = P [1 + + i (n)] = 130,000 [ (6/12)] = $ 139,750 Valor presente a actual de una suma de dinero. El valor presente o principal P de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad al inicio de cierto período de tiempo, no contiene intereses. Este valor P lo podemos calcular en cualquier fecha después o en la fecha de inicio de la operación financiera. P? 0 n MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 6 F

7 De acuerdo a la fórmula F = P [1 + + i (n)], despejando P obtendremos el valor presente el que está dado por: P = F. [1 + + i (n)] Ejemplo No. 5. Cuánto recibió al momento de ser otorgado un préstamo industrial el Sr. Gonzalo Martínez, si al final del plazo de 9 meses pagó de principal e intereses una cantidad de C$ 165, a través de un interés del 24%? Datos F = C$ 165, n = 9 meses. i = 24% P =? Aplicando la fórmula, obtenemos la siguiente solución: P = 165, = 165, ( ) = C$ 140, [ (9/12)] 4. Interés compuesto y desarrollo de fórmulas. Anteriormente se abordó problemas de interés simple, donde el capital permanecía invariable o constante durante todo el tiempo que duraba la transacción y que los intereses se retiraban periódicamente. Cuando se utiliza el método del Interés Compuesto, se observa que el capital va aumentando en cada período; por cuanto el interés se va integrando al capital, para luego calcular intereses sobre un nuevo monto en cada período. Por ello es muy corriente decir que el interés los intereses ganan intereses, porque se capitalizan en cada período de liquidación de intereses. Deducción de la fórmula: Ejemplo No. 6. Una persona deposita en un banco $ 2,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un año. El banco paga un interés de 9% convertible trimestralmente. Cuál será el valor del depósito al final del año? Solución: Se trata hallar el valor futuro del depósito con una tasa de interés del 0.09/4 = 2.25% acumulativo por trimestre. Esta situación se ilustra en la tabla siguiente: MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 7

8 Período Valor al inicio del Interés devengado Valor final del período Trimestral Período 0 P I = Pin F 1 $ , (0.0225) = $ 2, $ 2, , (0.0225) = $ 2, $ 2, , (0.0225) = $ 2, $ 2, , (0.0225) = $ 2, ,045 2, , , trimestres. 2,000 Los nuevos montos o valores futuros de cada período, se muestran en el grafico anterior y se puede observar que en cada período trimestral, el interés se suma al capital a este proceso se le llama capitalización. Equivalencia financiera entre una suma de dinero presente y una suma futura. La fórmula general para la equivalencia entre una suma de dinero presente P y una suma futura F denominada monto a interés compuesto se deduce a partir de los resultados del ejemplo anterior, la cual se muestra en la tabla. Período Valor al inicio del Interés devengado Valor final del período Trimestral Período 0 P I = Pin F 1 P Pi F = P (1+i) 2 P (1+i) P (1+i)i F = P (1+i) 2 3 P (1+i) 2 P (1+i) 2 i F = P (1+i) 3 4 P (1+i) 3 P (1+i) 3 i F = P (1+i) 4 N P (1+i) N P (1+i) N-1 i F = P (1+i) N De lo anterior se generaliza la fórmula de valor futuro a interés compuesto para N períodos anuales de liquidación de intereses de la siguiente manera: F = P (1+1) N MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 8

9 Dónde: F = Valor Futuro o monto a interés compuesto de una deuda. P = Valor Presente o principal de una deuda. j = Tasa de interés nominal periódica. m = Frecuencia de capitalización o liquidación de intereses, según el período de la tasa nominal j. i = Tasa de interés efectiva para períodos de capitalización menores que un año. n = Plazo en años y total de capitalizaciones anuales de intereses. N = Número total de capitalizaciones en el plazo de la operación financiera. La forma también se puede escribir en sus formas equivalentes de la siguiente forma: m.n F = P 1 + j/m F = P (1 + i e ) n Dónde: I = j/m N = m.n I e = (1+j/m) m 1 Al resolver nuevamente el ejemplo por la fórmula, se obtiene el mismo resultado. Datos: P = $ 2, j = 0.09 tasa nominal anual. m = 4 frecuencia de capitalizaciones. i = j/m tasa efectiva trimestral. n = 1 año de plazo de la operación. N = m.n 4 períodos capitalizados. F = P (1+1) N F = 2,000 (1.0225) 4 = $ 2, Se observa que el resultado es el mismo, tanto por deducción como por inducción. En la solución anterior se recalca que el valor de es lo que gana un dólar en un trimestre y N = 4 x 1 es el número de capitalizaciones durante el tiempo de la operación financiera; lo que significa que $ 2,000 colocados al 2.25% trimestral produce al cabo de 4 trimestres un monto o valor futuro $ 2, MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 9

10 5. Interés nominal e interés efectivo. Tasa nominal. Tasa de interés pactada o establecida en toda operación financiera, generalmente es para períodos anuales pero también puede definirse para períodos menores de un año. Esta tasa no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo y especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses. Tasa efectiva. Tasa periódica de rentabilidad a interés compuesto, mide el porcentaje de ganancia de la inversión, por tanto tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo. a) 24% convertible mensualmente (CM). Es una tasa nominal j con frecuencia m = 12 de liquidar o capitalizar intereses, y tasa efectiva i = j/m = 2% mensual. b) 7% semestral. Es una tasa efectiva i por semestre. c) 16% convertible trimestralmente (CT). Es una tasa nominal j con frecuencia m = 4 y tasa efectiva i = j/m = 4% trimestral. d) 18% efectiva. Es una tasa efectiva anual i e con frecuencia m = 1. e) 12% semestral, convertible mensualmente (CM). Es una tasa nominal j de período semestral con frecuencia m = 6 y tasa efectiva i = j/m = 2% mensual. Notación para la frecuencia de la tasa nominal anual. Convertible continuamente C.C. m = (infinito) Convertible diariamente C.D. m = 365 Convertible semanalmente C.Sem. m = 52 Convertible mensualmente C.M. m = 12 Convertible bimensualmente C.B. m = 6 Convertible trimestralmente C.T. m = 4 Convertible semestralmente C.S. m = 2 Equivalencia financiera entre una suma de dinero futura y una suma presente. El valor presente P o actual, es el valor del dinero el día de hoy o el valor del dinero en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento. El cálculo del valor presente responde a la pregunta: si se desea una determinada cantidad de dinero en el futuro, Cuánto se tendrá que invertir hoy, conociendo la tasa de interés y el plazo de la inversión? Otra forma de uso del valor presente, es por ejemplo, la determinación del valor actual de una deuda pendiente, si se desea pagarla por adelantado antes de la fecha de su vencimiento. De las formula anterior al despejar P, obtendremos el Valor Presente a interés compuesto de la siguiente manera: P = F (1+i) -N = F. (1+i) N MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 10

11 Ejemplo No. 7. Una empresa debe pagar dentro de 2 años, 5 meses y 18 días la cantidad de $ 100,000 a un interés del 16% C.S. Cuál es su valor presente? Datos: F = $ 100,000 J = 16% C.S. m = 2 frecuencia de capitalización de intereses. I = j/m = 0.16/2 = 0.08 tasa efectiva por semestre. n = 2 + 5/ /360 = N = m.n 2( ) = de capitalizaciones semestrales. P = 100,000 (1.08) = $ 68, Diferencias entre interés simple e interés compuesto. Fundamentalmente existen dos diferencias entre ambos métodos: a) La aplicación de los métodos difieren en respuesta al tipo de operación financiera efectuada: si los intereses son pagaderos por período, actúa el interés simple. Si los intereses son integrados al principal en cada período de liquidación de intereses, actúa el método de interés compuesto. b) El crecimiento de una inversión específica se da de forma más acelerada si es colocada al interés compuesto que el interés simple para un mismo plazo y una misma tasa de interés. Si observamos el ejemplo No. 1 resuelto en la tabla se puede apreciar que el monto del interés compuesto de $ 2,000, colocados a una tasa del 2.25% trimestral, durante 1 año de plazo, resulta ser $ 2, En cambio si se realiza el cálculo a interés simple se produce una ligera disminución de $ 6.17 en el monto de la misma operación. Efectivamente este resultado se puede comprobar mediante la siguiente fórmula: F = P 1+i(n) F = 2,000 ( (4) = 2,000 (1.09) = $ 2, La diferencia entre el cálculo de interés compuesto y simple es debido a que los intereses devengados en cada período no ganan intereses, ya que para efectos de cálculos los intereses no se capitalizan. Período Trimestral Valor al inicio del Período Interés devengado Valor final del período 0 P I = Pin F 1 $ 2, , (0.0225) = $ 2, $ 2, , (0.0225) = $ $ 2, , (0.0225) = $ 2, $ 2, , (0.0225) = $ 2, MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 11

12 El método de cálculo del interés compuesto, hace crecer la inversión o principal de forma exponencial, en vista del proceso de capitalización de los intereses. El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráfico corresponde al de una función exponencial; en cambio, el valor futuro a interés simple crece con progresión aritmética y su gráfico corresponde a una función lineal. F Monto a interés compuesto Monto a interés simple P n..períodos. Cálculo de la tasa de interés. Para calcular la tasa de interés i par cualquier período, excepto anual; que también se define como rentabilidad a interés compuesto, se despeja en la fórmula general, esto es: P (1+i) N = entonces (1+i) N F/P De donde: I = (F/P) 1/N -1 o bien, la tasa efectiva anual, i e = (F/P) 1/n -1 como I = j/m y N = m.n entonces la tasa nominal es: j = m (F/P) 1/m.n -1 Ejemplo No. 8. Si una persona invierte $ 2,500 y dentro de 5 años le pagan intereses y principal por $ 3, (a) Qué tasa de interés nominal C.S. ganó? (b) Cuál es la tasa efectiva anual? Datos: P = $ 2,500 F = $ 3, n = 5 años. m = 2 j =? I e =? MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 12

13 Cálculo de la tasa nominal j: j = m (F/P) 1/m.n -1 = 0.08 o sea j = 8% C.S. Cálculo de la tasa efectiva anual i e i e = (F/P) 1/n -1 = o sea i e 8.16% efectiva anual. Relación entre las tasas nominales, efectivas y equivalentes. Al iniciar esta unidad se abordó un poco las tasas de interés nominales y efectivas sin profundizar en su significado. Como se estableció antes, la tasa nominal de interés, es la que se pacta o que se establece en las operaciones financieras. Esta tasa establece la forma en que se liquidan o que se capitalizan los intereses y no mide la rentabilidad. Por ejemplo 10% C.T. significa una tasa nominal anual con liquidación de intereses trimestrales, o sea con frecuencia m = 4, y tasa efectiva de período trimestral 2.5%. Esto resulta que la tasa nominal, es igual a la tasa del período multiplicada por la frecuencia, o sea; j = i(m)= (4) = 0.10 o sea 10%. Cuando la tasa nominal establece períodos de capitalización, una sola vez al año, entonces decimos que la tasa nominal j es igual a la tasa efectiva anual i e. Si los intereses se capitalizan m veces en un período dado, entonces decimos que la tasa de interés es necesariamente nominal para ese período, pues la tasas efectivas no se capitalizan, ya que miden rentabilidad. Relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva. Si conocemos la tasa nominal periódica j y su frecuencia m, entonces se puede determinar la tasa efectiva i de forma: i = j/m o bien utilizar la fórmula: i e = (1+j/m) m -1 Despejando la anterior fórmula se puede determinar la tasa nominal j, utilizando la frecuencia m y la tasa efectiva anual i e, esto es: j = m (1+i e ) 1/m -1 o bien. i = (1+ie) 1/m -1 MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 13

14 6. Serie uniforme de pagos y su relación con el presente y el futuro. Anualidades. En matemáticas financieras, la expresión anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos iguales. La palabra anualidad se utiliza por costumbre desde sus orígenes. Así es que se usa en las anualidades contingentes, en las que interviene la probabilidad anual de vida de las personas. En finanzas, anualidad no significa pagos anuales sino a intervalos iguales. Por consiguiente, se consideran anualidades los dividendos sobre acciones, los fondos de amortización, los pagos a plazos, los pagos periódicos de las compañías de seguros, y en forma más general, los sueldos y todo tipo de rentas. La expresión anualidad puede cambiarse por la de rentas, series uniformes, pagos periódicos, amortizaciones u otros, según el caso y las costumbres locales. Definición: Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Si los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente de los demás, la anualidad toma, según sea el caso, los nombres de anualidades variables o anualidades impropias. Clasificación de las anualidades. Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago determinan diferentes tipos de anualidades. A fin de llevar a cabo un estudio organizado, es necesario elaborar una clasificación y dar su correspondiente definición. Renta. El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta. Período de pago o período de renta. El tiempo fijado entre dos pagos sucesivos es el período de pago o periodo de la renta. Tiempo o plazo de una anualidad. El intervalo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el final del último es el tiempo o plazo de una anualidad. Renta anual. La suma de los pagos hechos en un año corresponde a la renta anual. Tasa de una anualidad. Es el tipo de interés fijado en la tasa de anualidad y puede ser nominal o efectiva. Según el tiempo, las anualidades se agrupan en dos clases: anualidades ciertas y anualidades eventuales o contingentes. Anualidades ciertas son aquellas cuyas fechas inicial y terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. Anualidades contingentes son aquellas en las que el primer pago o el último, es decir, la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algún suceso previsible, pero cuya fecha de amortización no puede fijarse. Anualidades perpetuas o perpetuidades. Estas son una variación de las anualidades ciertas, en las que la duración del pago es, en teoría, ilimitada. Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan las anualidades ordinarias o vencidas y las anualidades anticipadas. Una anualidad es ordinaria o vencida si el pago MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 14

15 de la renta se hace al final del período de pago. Es anticipada, si el pago se efectúa al principio del período de pago. Anualidades inmediatas. Estas son aquellas cuyo primer pago se efectúa al iniciar o terminar el primer período. Anualidades diferidas. Estas son aquellas en las que se estipula que el primer pago debe efectuarse después de transcurrido cierto número de períodos. Valor de las anualidades. El valor de la anualidad calculado a su terminación es el valor futuro de ésta. El valor de la anualidad calculado al comienzo es su valor presente. Estos valores pueden, también calcularse en fechas intermedias; en tal caso, se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las anualidades por vencer. Así por ejemplo, una renta de $ 2,000 pagaderos cada final de año durante 6 años, tendrá valor futuro F al finalizar los 6 años, y tendrá valor presente P, en su fecha inicial. Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad, de la parte por vencer. Valor futuro y valor presente de las anualidades simples ciertas ordinarias inmediatas. Este tipo de anualidades es el más frecuente y, por esto, cuando se dice simplemente anualidad, se supone que se trata de una anualidad simple cierta ordinaria inmediata. La tasa de interés es, por lo general, una tasa de interés nominal anual. En caso de que la tasa no sea nominal, se indicará la tasa como tasa efectiva anual. Si la tasa dada es nominal, sin especificación de período de capitalización, la tasa efectiva en el período de pago es el cociente entre la tasa nominal y el número anual de pagos. Símbolos utilizados para las anualidades. A = pago periódico de una anualidad o renta. i = tasa efectiva por período de capitalización. j = tasa nominal anual. m = número de capitalizaciones en el año. j (m) = tasa nominal con m períodos de capitalizaciones en el año. n = número de períodos de pagos. F = monto de una anualidad o su valor futuro. P = valor actual o presente de una anualidad. Cálculo del valor futuro. Los pagos de A efectuados al final de cada período ganan interés compuesto, hasta la fecha final. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha local, se tiene entonces: MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 15

16 A A A A Cada pago efectuado al final del período capitaliza los intereses en cada uno de los siguientes períodos. El primer pago acumula durante (n-1) períodos, el segundo (n-2) períodos y, así sucesivamente hasta el último pago que no obtiene intereses, ya que coincide con la fecha de término. Cálculo del valor presente. El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos que, en el tiempo de la anualidad, proporciona un valor futuro equivalente al de la anualidad. Al formar la ecuación de equivalencia y utilizar como fecha local la fecha final, se tiene: A A A Ejemplo No. 9. Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por 5 años, con la condición de que paguen $ 9,000 por trimestre vencido. Esta cantidad se consignará en una cuenta de ahorros que paga 8% nominal anual. Hallar el valor futuro en los 5 años y el valor presente del contrato de alquiler. F =? P =? A = $ 9,000 m = 4 j = 0.08 i = 0.02 n = 5 años. N = 20 F = A (1+i) N -1 i F = 9,000 ( ) = $ 218, P = A 1 (1+i) -N i P = 9,000 ( ) = $ 147, MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 16

17 Ejemplo No. 10. Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de $ 5,000, pagadera semestralmente durante 7 años, 6 meses al 8.6%, capitalizable semestralmente. F =? P =? A = $ 5,000 m = 2 j = i = n = 7.5 años. N = 15 F = 5,000 ( ) = $ 102, P = 5,000 ( ) = $ Ejemplo No. 11. Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de $ 100 mensuales pagaderos durante 15 años, al 9% nominal convertible mensualmente. F = 100 ( ) = $ 37, P = 100 ( ) = $ 9, Ejemplo No. 12. Una persona deposita $ 2,000 al final de cada año, durante 15 años, en una cuenta de ahorros que paga el 8% de interés. Hallar el valor futuro incluyendo el último pago. F = 2,000 ( ) = $ 54, Ejemplo No. 13. Una persona desea comprar una renta de $ 20,000 pagadera semestralmente, durante los próximos 10 años. Hallar el costo de la anualidad a la tasa del 6%. P = 20,000 ( ) = $ 297, Cálculo de la renta en una anualidad simple cierta ordinaria. Es frecuente la necesidad de conocer el importe de los pagos periódicos, para lograr determinado resultado, así, por ejemplo: Cuál es el pago mensual que debe hacerse para cancelar el valor de una propiedad, en cierto número de años? Qué cantidad de dinero habrá que colocar periódicamente, en un fondo de amortización, para cancelar una obligación a largo plazo? Con qué cuotas periódicas puede cancelarse una mercancía, conocido su valor de contado y la tasa de interés? MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 17

18 Ejemplo No. 14. Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el 8% con capitalización semestral, para obtener en 5 años un capital de $ 20,000. F = $ 20,000 A = m = 2 j = 0.08 i = 0.04 n = 5 años N = 10 A = F i. (1+i) N 1 A = 20,000 ( ) A $ 1, Ejemplo No. 15. Calcular los pagos por semestre vencido, necesarios para cancelar el valor de $ 100,000 de una propiedad comprada a 8 años de plazo con un interés del 9% capitalizable semestralmente. A = P i. 1- (1+i) -N A = 100,000 ( ) A $ 8, Series con crecimiento aritmético. Un gradiente aritmético es una serie de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada período. La cantidad del aumento o de la disminución del gradiente. Por ejemplo un ingeniero agroindustrial predice que el costo de mantenimiento de una tractor aumentará en $ 500 anuales hasta que él tractor sea desechado, hay una serie gradiente relacionada y la cantidad del gradiente es $ 500. Las fórmulas desarrolladas anteriormente para una serie A tienen cantidades iguales al final de período de igual valor. En el caso de un gradiente, el flujo de efectivo de cada fin de período es diferente, de manera que es preciso derivar nuevas fórmulas. Valor Presente de una S.C.A. El símbolo G para los gradientes se define como: MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 18

19 G = cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un período al siguiente; G puede ser positivo o negativo. Para resolver esta serie de problemas se puede utilizar la siguiente fórmula: Ejemplo No. 16. P = A (1+i) N -1 + G (1+i) N -1 - N 1. i (1+i) N i i (1+i) N Un agricultor adquirió un motor para la succión de agua; espera que el costo de mantenimiento sea de $ 150 al finalizar el primer año y que en los subsecuentes aumente a razón de $ 50 anuales. Si la tasa de interés es del 8% capitalizada cada año, cuál es el valor presente de esta serie de pagos durante un período de 6 años? Datos de problema son P =?; i = 8%; primer pago A = $ 150; G = 50. El diagrama del flujo de problema es el siguiente: Aplicando la fórmula el resultado es: $ 1, Ejemplo No. 17. Una comercializadora vende tractores de 30 HP bajo las siguientes condiciones: se hace un primer pago de $ 900 un mes después de la fecha de adquisición y nueve pagos mensuales adicionales, cada uno de los cuales disminuye en $ 50 al pago del mes anterior (el segundo mes se pagaran $ 850, el tercer mes $ 800, etc.) Si el interés que carga la comercializadora es del 12% anual, cuál es el valor a pagar de contado por la compra del tractor? En este caso existe un gradiente negativo porque los pagos van disminuyendo y por lo tanto se utiliza la fórmula siguiente: El resultado es= $ 6, P = A (1+i) N -1 - G (1+i) N -1 - N 1. i (1+i) N i i (1+i) N MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 19

20 Ejemplo No. 18. Una persona contrae la obligación de pagar $ 2,000 cada final de mes, durante un año, aumentando sus pagos sucesivos en $ 100 cada mes, hallar: (a) a la tasa del 24%, el valor presente de sus obligaciones; (b) si desea sustituir, su obligación por otra equivalente con la misma tasa, con pagos mensuales iguales, cuánto deberá de pagar mensualmente? (a) P = $ 26, (b) A = $ 2, Series con crecimiento geométrico. En este caso se abordan las anualidades variables cuyos pagos periódicos varían formando una progresión geométrica, o sea, que se caracterizan porque el cociente entre dos términos sucesivos es constante. Estas anualidades reciben el nombre de gradiente geométrico. Valor Presente de una S.C.G. Para tal caso se utiliza la siguiente fórmula: Ejemplo No. 19. P = A g N (1+i)- N -1 g (1+i) Una deuda debe cancelarse en 5 años con cuotas de $ 10,000 cada final de año a una tasa de interés del 6%. Estos pagos se incrementarán, después del primero, en un 10% anual cada uno. Hallar el valor presente de la deuda. Los datos del problema son: A = 10,000. g = 1.1 i = 0.06 N = 5 El resultado es: $ 50, MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 20