... A su vez, las anualidades ciertas y eventuales se dividen en: 12.3 Monto de una anualidad ordinaria a interés simple

Transcripción

1 1 1. ANUALIDADES En la práctica para formar un capital en el futuro o liquidar una deuda no siempre se hace un solo depósito o un solo pago, sino que una de las modalidades es el pago progresivo. Es decir una serie de depósitos o pagos, a los que se les conoce con el nombre de anualidad En el presente curso analizamos los distintos casos de financiamiento al corto plazo, esto significa en un período no mayor de un año. En consecuencia el tema a tratar se refiere a las anualidades a interés simple, conocimientos básicos necesarios para el aprendizaje de las anualidades a interés compuesto 1.1 Concepto de Anualidad Anualidad es la sucesión o conjunto de pagos iguales en periodos de tiempo también iguales. Si los pagos son diferentes o alguno de ello es diferente a los demás toman el nombre de anualidades variables o impropias. El termino anualidad, nos da la impresión que los pagos son anuales pero de acuerdo a la definición, también pueden ser semestrales, trimestrales o de series de tiempo de cualquier otra duración. 1. Clasificación de las anualidades Las anualidades en general se clasifican en a. Anualidades ciertas. Son aquellas cuyas fechas de inicio y término se conocen por estar estipulados en forma específica b. Anualidades eventuales o contingentes. Son aquellas en las que el comienzo o el final del plazo no se conoce específicamente, porque dependen de algún suceso previsible, pero que no se puede establecer concretamente; un ejemplo típico es el seguro de vida, en el cual se conoce la cuota pero no el período de duración. A su vez, las anualidades ciertas y eventuales se dividen en: a. Anualidades ordinarias. Se les llama también anualidades vencidas o de final de periodo, los pagos se efectúan al final de cada periodo b. Anualidades anticipadas. Llamadas también impositivas, adelantadas o de inicio de periodo. c. Anualidades diferidas: Cuando los pagos se inician después de transcurrido un determinado número de períodos de iniciada la anualidad y pueden ser ordinarias o anticipadas. d. Impropias o variables. Cuando las cuotas de pago no son iguales 1.3 Monto de una anualidad ordinaria a interés simple Los símbolos que utilizaremos para el tema de las anualidades son:

2 monto de una anualidad o valor futuro. pago periódico de una anualidad n = numero de cuotas o periodos de pago. m = número de periodos en los que se divide un año tasa de interés. Valor actual o presente de una anualidad Para el cálculo del monto o valor futuro de una anualidad ordinaria, entendiéndose que éste se ubica al final del último periodo, deducimos la fórmula de la siguiente manera:. Para deducir la formula, partimos de un problema supuesto como el siguiente: Dado una serie de pagos iguales R, al final de cada periodo cuál será el monto acumulado en n periodos de tiempo a una tasa de interés i?. Ilustraremos el problema planteado utilizando la escala de tiempo. Fig. 1.1 S=? R R R R R R R R n-3 n- n-1 n Del gráfico se deduce que S, será la suma de los valores de cada uno de los pagos en forma individual ya que los periodos de tiempo son diferentes para cada uno, y esto lo expresamos de la siguiente manera: Nº Renta Interés 1ra. R + R. i. (n 1) da. R + R. i. (n ) 3ra. R + R. i. (n 3) ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ n ava. R + R. i.(0) El monto es la suma de todos los depósitos o pagos más sus correspondientes intereses: Si los intereses lo ordenamos a manera de una progresión aritmética tenemos: ( n 1) Ri( 0) Ri + + n.r.i. ( n 1) + + i. ( n 1) n

3 3 [ + i.(n 1) Cuando la tasa de interés está dada en un periodo mayor al periodo de pago la fórmula es afectada por m. [ m + i(n 1) m Ejemplos Qué monto se formará con 10 cuotas mensuales ordinarias de S/. 880 cada una, colocadas al 18% anual de interés simple? 10x880 9,394 [ x (10 1) x1 Ejemplo 1..- Un comerciante deposita en un banco, ordinariamente cada bimestre la cantidad de S/. 1,00, si el banco paga el 5% trimestral de interés simple. Cuánto habrá acumulado en un período de 4 años?. 4x1,00 x6 39,840 [ x (4 1) 1.4 Valor actual de una anualidad ordinaria a interés simple Consiste en calcular el valor actual o presente P, de una serie uniforme de pagos ordinarios, durante un determinado número de períodos de tiempo y a una determinada tasa de interés simple. Tomamos como fecha focal el período cero para el proceso de actualización, de manera que el valor obtenido, es el equivalente a la suma de todos los pagos actualizados individualmente. Esto lo graficamos en la siguiente escala de tiempo.. Fig. 1.? R R R R R R R R I I I I I I I I I n- n-1 n

4 4 En el desarrollo de la asignatura hemos tratado sobre el monto bajo dos modalidades: El monto o valor futuro de un capital, que se obtiene mediante el factor simple de capitalización a interés simple. P (1+i.n) y el monto de una serie de pagos o depósitos, que se obtiene mediante el factor de capitalización de una serie a interés simple: [ + i( n 1), Igualando los dos montos despejamos P y obtenemos la fórmula que nos permite calcular el valor actual de una anualidad. [ ( ) P (1+i.n) = + i n 1 Despejamos P y obtenemos la fórmula que nos permite calcular el valor actual de una anualidad. [ + i( n 1) ( 1+ i.n ) Y en el caso que corresponda: [ m + i( n 1). ( m + i.n ) Ejemplos 1.3 Una persona espera recibir ordinariamente durante los próximos 5 años la cantidad de S/.4,000 nuevos soles anuales, para liquidar una cuenta que una empresa le adeuda; pero existe la alternativa de liquidarse actualmente dicha cuenta al 0% anual de interés simple. Determinar a cuánto asciende la cantidad a recibir. 5x4,000[ + 0.0( 5 1) ( x5. ) 56, ,000 Ejemplo 1.4 Calcular el valor actual de una serie de pagos de S/. 5,000 cada uno, efectuados ordinariamente y en forma trimestral durante 3 años al 16% anual de interés simple. 1x5,000[ x ( 1 1). ( x1)

5 5 585, , Renta de una anualidad ordinaria a interés simple Es frecuente la necesidad de conocer el valor de la serie de pagos periódicos necesarios para formar un monto en el futuro o para liquidar una deuda o recuperar un capital colocado en el momento actual, en un determinado período de tiempo y a una determinada tasa de interés Renta ordinaria en función del monto Consiste en determinar el valor de la renta periódica R, para en un determinado tiempo disponer de un monto o valor futuro. Partiendo de la fórmula del monto de una anualidad ordinaria despejamos R. [ ( ) + i n 1 S n + i. n 1 [ ( ) Cuando la tasa de interés está dada, en un periodo mayor al periodo en el que se efectúan los depósitos o pagos, hacemos intervenir en la fórmula a m. n ms [ m + i. ( n 1) Las fórmulas obtenidas nos permiten calcular el valor de la cuota o renta ordinaria cuando se conoce el monto, la tasa de interés y el tiempo. Ejemplo 1.5 Se desea saber el valor de la cuota, para acumular S/ en 8 entregas ordinarias trimestrales, colocadas al 4% de interés simple anual. x4x1, , [ x ( 8 1) Ejemplo Calcular la cuota ordinaria mensual que debe colocarse durante 0 meses al % anual de interés simple para formar un monto de S/. 8, x1x8,400 [ x1 + 0.(0 1)

6 Ejemplo 1.7 Se desea saber cuál será el valor de la cuota ordinaria semestral para acumular la cantidad de S/.101,700, en un período de 5 años a una tasa de interés simple del 5% anual. x101,700 5 [ ( 5 1) 03, , Renta ordinaria en función del valor actual Consiste en determinar el valor de la renta periódica R, que permita recuperar una inversión o liquidar una deuda dada una tasa de interés y un determinado periodo de tiempo. En este caso despejamos R de la fórmula del valor actual. [ + i( n 1) ( 1+ i. n) [ + i( n 1 = P ( 1+ i. n) P( 1+ i.n ) n[ + i. ( n 1) En el caso que la tasa y los pagos no estén dados en la misma unidad de tiempo insertamos en la fórmula el elemento m P( m + i.n ) n[ m + i. ( n 1) Ejemplos 1.8 Una persona invierte en un negocio, un capital de S/.14,000 y espera recuperar dicha inversión en un periodo de años. Cuál deberá ser el rendimiento mensual, si la tasa de ganancia es del % mensual?. x14,000[ ( 4 1) 4( + 0.0x3. )

7 7 41, Ejemplo 1.9 Se obtiene un préstamo bancario de S/.55,750 para cancelarse en un periodo de 3 años, con gagos ordinarios trimestrales. Calcular el valor de cada pago si el banco cobra el 16% de interés simple anual. x55,750. ( x1) 1[ x ( 1) 660, , Tasa de una anualidad ordinaria a interés simple. Consiste en determinar la tasa de interés simple a la que se ha colocado una serie de depósitos o pagos y para el efecto se presentan dos casos, en función del monto y en función del valor actual. Cuando se conoce el monto de una anualidad ordinaria S, el número de cuotas n y el valor de la serie de pagos R, estamos en el primer caso. Cuando se conoce el valor actual P de una serie da pagos futuros, el valor de cada pago R y el número de cuotas n, estamos en el segundo caso Tasa de una anualidad ordinaria en función al monto. De [ + i( n 1) Despejando i + i (n 1) = i (n - 1) = S S - S (n 1) - n 1

8 8 Esta fórmula se utiliza cundo el problema pide calcular la tasa en la misma unidad de tiempo que el periodo de cada pago. (Ejemplo se pide calcular la tasa mensual cuando los pagos también son mensuales). Cuando se tiene que calcular la tasa en una unidad de tiempo mayor al periodo de cada pago insertamos el elemento m. (Ejemplo se pide calcular la tasa anual cuando los pagos son mensuales). ms (n 1) - m n 1 Ejemplo Calcular la tasa anual de interés simple a la que estuvieron colocados 10 depósitos trimestrales ordinarios de S/.1,000 cada uno para capitalizar S/.1,500. x4x1,50 10x1,000(10 1) - x % anual Ejemplo Calcular la tasa trimestral de interés simple, a la que se colocaron una serie de depósitos trimestrales, durante dos años, para formar un monto de S/.1,840 x1,840 8x1,500(8 1) % trimestral 1.6. Tasa de una anualidad ordinaria en función al valor actual. En este caso la tasa i, lo despejamos de la fórmula del valor actual De [ + i( n 1) ( 1+ i. n) P (1 + in) = [ + i ( n 1) P + Pin = + i(n-1)

9 9 Pin i(n-1) = P i [ ( n 1) Pn = ( P) n ( P) [ P R( n 1) Similar al caso anterior la fórmula obtenida se utiliza cundo el problema pide calcular la tasa en la misma unidad de tiempo que el periodo de cada R. Cuando se tiene que calcular la tasa en una unidad de tiempo mayor al periodo de cada R insertamos el elemento m. n m( P) [ P R( n 1) Ejemplo Un préstamo de S/ 5,000, se amortizará con pagos vencidos trimestrales de S/.,650 en 3 años. Calcular la tasa anual de interés simple que el banco cobra por dicho préstamo. 1 x4( 1x,650 5,000) [ x5,000,650( 1 1) % Ejemplos 1.3 Un Comerciante invierte en un negocio un capital de S/.78,600, del cual espera obtener ganancias mensuales de S/.,800, a fin de recuperar la inversión en 3 años. Cuál será la tasa de ganancia anual? x1( 36x,800 78,600) [ x78,600,800( 36 1) 53,800 ' 131, % anual