MATEMÁTICA FINACIERA APLICADA CON EXCEL

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1 MATERIAL DE MATEMÁTICA FINACIERA APLICADA CON EXCEL AUXILIAR CONTABLE EDICIÓN 2013

2 2 Matemática Financiera Aplicada con Excel

3 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 3 Consideraciones Puntualidad para el inicio de clases. Ante llegadas tardías, y una vez iniciadas la clases, favor ingresar discretamente. Celulares en silencio por favor. Ante la necesidad de responder una llamada telefónica, favor hacerlo fuera del aula. Objetivos Dotar de técnicas e instrumentos que permitan conocer la aplicabilidad de las matemáticas financieras en las actividades diarias de las empresas. Demostrar como estas herramientas, pueden ser aplicadas en la toma de decisiones financieras. Metodología Exposición con ayuda audiovisual, la teoría se ejemplifica con ejercicios, análisis de resultados grupales, y con la participación activa individual. Aplicación de ejercicios prácticos en Excel Contenido INTERES SIMPLE Definición, Variables que intervienen, Formulas de calculo, ejercicios. INTERES COMPUESTO Definición, Variables que intervienen, Fórmulas de cálculo, Tasa Nominal y Efectiva de interés, Equivalencia entre tasas de interés simple y compuesto, ejercicios.

4 4 Matemática Financiera Aplicada con Excel Contenido INTERES VENCIDO Y ANTICIPADO Interés vencido, Interés anticipado, Relación entre la tasa de interés anticipado y la tasa de interés vencido, ejercicios. VALOR PRESENTE Y DESCUENTO Definición, variables que intervienen, descuento simple y compuesto, formulas de calculo, resolución de casos. Contenido AMORTIZACIONES Definición, Sistema Francés, Sistema Alemán, Sistema Americano, ejercicios, Cuadros del servicio de la deuda para los sistemas. Matemática Financiera Las Matemáticas Financieras tienen como objetivo fundamental el estudio y análisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen las magnitudes de: Capital, Interés, Tiempo y Tasa. Matemática Financiera Objetivo básico: estudiar la variación de las sumas de dinero en el tiempo. Dichas variaciones pueden ser hacia atrás o hacia adelante Se debe tener en cuenta: El TIEMPOdurante el cual dicho capital permanece colocado. La TASA DE INTERES que nos pagan por facilitar dicho capital a terceros. El MONTOes la suma del capital mas los intereses.

5 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 5 Capitalización Es el proceso de pasar del Valor Actual, o Valor Presente, al Valor Futuro. El valor futuro es la cantidad de dinero que alcanzara una inversión en una fecha futura al ganar intereses a alguna tasa. El valor que el capital adquiere luego del tiempo transcurrido recibe el nombre de capital final de la operación o monto (capital inicialmente + intereses producidos). Co Cn Modificar la suma original de dinero debido a la acción del tiempo y de la tasa de interés, recibe el nombre de capitalización. Capitalización A mayor tasa de interés y a mayor tiempo de colocación, corresponde mayor monto. Si el capital inicial permanece colocado más tiempo, producirá un monto mayor aunque la tasa de interés siga igual. Si el capital permanece colocado igual cantidad de tiempo, pero se aumenta la tasa de interés, producirá un monto mayor. Capitalización Variables financieras: Capital Tiempo Tasa en% Interés Cuota Monto C t i I c M

6 6 Matemática Financiera Aplicada con Excel Valor del dinero en el tiempo Nunca se deben sumar valores en fechas diferentes Interés Es lo que se paga o se recibe por cierta cantidad de dinero tomada o dada en préstamo o invertida Formas usuales de cálculo de intereses En una operación financiera se denomina interés al beneficio que recibe una de las partes por haber dado en préstamo o inversión a la otra, una determinada suma de dinero, durante un cierto tiempo. Formas usuales de cálculo de intereses Interés Simple: es el interés ganado sobre el capital inicialmente invertido. La acumulación significa que solamente hay un periodo en el que se calculan los intereses.

7 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 7 Formas usuales de cálculo de intereses Interés Compuesto: interés ganado sobre el monto al final del periodo anterior (sobre el capital formado = suma inicial depositada + los intereses producidos). En el interés compuesto los intereses se calculan sobre el monto reunido hasta el final del periodo anterior, y dado que monto es la acumulación de capital e interés, resulta que en el régimen de capitalización a interés compuesto los intereses se calculan no solo sobre el capital inicial, sino que también se computan los intereses producidos por dicho capital en los periodos anteriores. Los intereses serán: Una cantidad constante en el régimen de interés simple, ya que se calculan siempre sobre la misma suma de dinero que es el capital inicial o capital originario. Una cantidad variable en el régimen de interés compuesto, ya que se calculan sobre el monto reunido hasta el final del periodo anterior, y el monto varia con cada periodo que transcurre. CAPITAL INICIAL + INTERES = MONTO Interés Simple Es aquel interés que se genera sobre un capital que permanece constante en el tiempo. Formula general de la tasa de interés: i = I / C Si condicionamos esta fórmula a la expresión de unidades de tiempo se obtiene la siguiente ecuación: I = C. i. t

8 8 Matemática Financiera Aplicada con Excel Interés Simple Clasificación del interés simple Interés simple comercial: 360 días al año, 180 días al semestre, 90 días al trimestre, 30 días al mes Interés simple exacto: 365 días al año Interés Simple Valor futuro a interés simple: También conocido como monto. Se deduce de la suma entre el capital y los intereses que se generan durante determinado período de tiempo M = C + I M = C + ( C. i. t ), luego por factorización M = C ( 1 + i. t ) Interés Simple Equidad entre el tiempo y la tasa: La tasa y el tiempo siempre deben ir expresada en la misma unidad de base. La tasa es la que condiciona la expresión de tiempo.

9 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 9 Interés Simple Series uniformes a interés simple: Series vencidas: o Valor presente o Valor futuro Series anticipadas o Valor presente o Valor futuro

10 10 Matemática Financiera Aplicada con Excel Interés Simple VA: Valor Presente (Capital inicial). Valor actual de la inversión. i: Tasa de Interés Nominal, Expresada en porcentaje anual. n: Número de años. I: Interés Simple VF: Valor Futuro (Monto). Valor Futuro de la inversión. I= VA x i x n VF = VA x (1+i) Interés Simple Muestra el valor que una inversión actual va a tener en el futuro Ejemplo: VA:G i: 10% anual n: un año. I = G x 0,10 = G VF = G x (1+0,10) = G Interés Compuesto Es el interés que se genera sobre intereses. Los intereses que se generan en el primer período de capitalización se convierte en capital para generar más intereses para el segundo periodo de capitalización y así sucesivamente.

11 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 11 Interés Compuesto Formula General M = C ( 1 + i ) t Interés Compuesto Interés ganado sobre un interés ya obtenido VA: Valor Presente (Capital inicial). i: Tasa de interés nominal, expresada en porcentaje anual. n: Numero de años. q: Periodos de capitalización I: Interés Compuesto VF : Valor Futuro (Monto). I= VA((1+i) n -1) VF = VA x (1+i) n Interés Compuesto Factor de capitalización: (1 + i) n = factor de valor futuro Ejemplo: o VA : G o I : 10% anual o N : tres años VF= x (1+0,10)x(1+0,10) x(1+0,10) = G VF= x (1+0,10) 3 = G

12 12 Matemática Financiera Aplicada con Excel Relación entre Interés Simple y Compuesto Cuál es el valor futuro de G , al cabo de cinco años, a una tasa de interés del 10% anual? VF=G x1,1x1,1x1,1x1,1x1,1=G (1,1) 5 = G El valor futuro de G a una tasa de interés del 10% anual durante cinco años es de G El interés total ganado durante los cinco años es de G , del cual el interés simple es: I: G x0,10x5= G Por lo tanto interés total -interés simple resulta que el interés compuesto es: G Interés Compuesto Comparativo entre el interés simple y el interés compuesto

13 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 13 Interés Compuesto (Excel) Capital o valor presente Tasa de interés Monto o valor futuro Tiempo Cuota : VA : TASA : VF : NPER : PAGO La frecuencia de la Capitalización Tasa Porcentual Anual (TPA): Tasa de interés sobre los préstamos y las cuentas de ahorro. Tasa Anual Efectiva (TAE): Es la tasa de interés que capitalizada en sub-periodos con la tasa nominal anual, resulta una tasa superior al final del periodo. Es igual a la tasa nominal si la capitalización se hiciera solo una vez al año. La frecuencia de la Capitalización TAE = (1+TPA) m - 1 m m = Número de periodos de capitalización en el año (q). Ejemplo: Tasa de interés nominal anual = 6%(TPA) Capitalización mensual = 12 TAE = ( 1 + 0,06) 12 1 = 6,17 12

14 14 Matemática Financiera Aplicada con Excel Tasas de Interés Tasa Proporcional: es aquella que capitalizada en forma sub periódica, nos da al final del plazo de colocación un monto mayor al que se obtiene con la tasa nominal periódica. se utiliza la tasa proporcional de interés cuando en cada subperiodo se toma una tasa igual a la anual dividida por el numero de sub-periodos. Ejemplo: si tenemos una tasa anual del 24% que se capitaliza trimestralmente, la tasa proporcional trimestral es el 6%. Tasas de Interés TP = ( 1 + i ) m.n - 1 m Ejemplo: Tasa Proporcional: 0,24 / 4 = 0,06 TP = ( 1 + 0,24 ) 4-1 = 0,2624 * 100 = 26,24% 4 Tasas de Interés Tasa equivalente: es la que capitalizada en forma subperiódica, nos da al final del plazo de colocación un monto igual al que se obtiene con la tasa nominal periódica. 1 m TE = (1+ i) - 1

15 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 15 Tasas de Interés Ejemplo: Tasa Nominal 24%, capitalización mensual = TE = ( 1 + 0,24 ) - 1 0,018 x 100 = 1,808 x 12 = 21,696% Tasas de Interés Tasa Efectiva Adelantada: es la que indica la tasa efectiva sobre una tasa nominal adelantada. m= periodo de adelanto m 1-1 TA = (1 - i ) M Tasas de Interés Ejemplo: Tasa de interés nominal 47%, mensual adelantada TA= ( 1 / ( 1-0,47 / 12 )12-1 TA= 0,6151 * 100 = 61,51%

16 16 Matemática Financiera Aplicada con Excel Valor Presente y Descuento Calcular valores presentes es la contrario a calcular valores futuros. Al calculo de los valores presentes se le llama descuento, y la tasa de interés con que se obtiene a menudo recibe el nombre de tasa de descuento. VF VA= (1+i) n Factor de actualización: 1 / (1+i)n Valor Presente y Descuento Ejemplo: Valor presente de G.100, en un lapso de 5 años, y una tasa del 10%. G VA = = G (1+0,10) 5 Descuento Comercial En el descuento comercial los intereses se calculan sobre el valor nominal. D = N x i x n VA = N (1-in) N = Valor nominal del documento.

17 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 17 Descuento Comercial En el descuento racional los intereses se cobran sobre el valor actual. VA = N ( 1 + in) N= Valor Nominal del documento Descuento Comercial La diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional, es el importe cobrado de más por quien recibe un documento en descuento. El descuento comercial se utiliza frecuentemente para las operaciones realizadas a corto plazo, con intereses no muy elevados, porque de lo contrario puede darse el caso de obtener un valor actual nulo o negativo. Descuento Compuesto En las operaciones a largo plazo los descuentos suelen hacerse aplicando el régimen de interés compuesto. Siendo N el valor nominal de un documento y VA el valor actual, el descuento a interés compuesto será la diferencia entre ambos valores y representa el interés que se paga por el dinero que se recibe antes que el documento venza. N VA = (1 + i ) n.m

18 18 Matemática Financiera Aplicada con Excel Amortización Es el proceso de pagar gradualmente el capital del préstamo a lo largo de su plazo, para extinguir una deuda. La palabra amortizacióntiene dos acepciones: una contable y otra financiera; desde el punto de vista financiero, se llama amortización al procedimiento que permite extinguir una deuda. Pueden ser: A interés simple o compuesto: según el régimen de capitalización de pagos. Vencidas o adelantadas: según se paguen las cuotas al final o al principio de cada periodo. Con cuotas constantes o variables: según coincidan o no las cuotas entre sí. Amortización Amortización Vencida V = c (1+i) n - 1 i (1+i) n Amortización Amortización Adelantada V = c(1+i) (1+i) n - 1 i (1+i) n

19 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 19 Amortización Saldo de la deuda en un periodo cualquiera V = V.i. (1+i) n (1+i)p (1+i) n - 1 V.i. = Deuda inicial P = periodo al final del cual se considera el total amortizado. Sistemas de Amortización Sistema de Amortización Progresivo o Francés: se abona periodo a periodo una cuota constante. La parte del capital es creciente, y la cuota de intereses es decreciente. Los intereses se calculan sobre el saldo de la deuda y sumados al capital dan una cuota constante. V= Monto del préstamo = G n = periodo de tiempo = 12 meses i = tasa de interés = 20% anual c = cuota del préstamo =

20 20 Matemática Financiera Aplicada con Excel Cuadro de la Deuda Sistemas de Amortización Sistema de Cuota Capital Constante o Alemán: se basa en pagos de cuotas de capital constante, y la cuota de intereses es decreciente. Los intereses se calculan sobre el saldo de la deuda decreciente. V= Monto del préstamo = G n= periodo de tiempo =12 meses i= tasa de interés =20% anual c= cuota del préstamo =G /12 o =G ,33.-

21 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 21 Cuadro de la Deuda Sistemas de Amortización Sistema Americano de Amortización: consisten en pagos periódicos que solo cubren los intereses, el total de la deuda se abona al vencimiento del plazo estipulado con un solo pago. V= Monto del préstamo =G n= periodo de tiempo =12 meses i= tasa de interés =20% anual

22 22 Matemática Financiera Aplicada con Excel Cuadro de la Deuda

23 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 23 EJERCITARIO Matemática Financiera Aplicada al Excel MATEMATICA FINANCIERA APLICADA CON EXCEL EJERCICIOS PRÁCTICOS EJERCICIO 1 (Interés Simple Comercial) Jorge deposita UM 2,300, en una caja de ahorros al 9% anual, cuánto tendrá después de 9 meses?. 1º Expresamos la tasa en meses: 0.09/12 = , mensual: Solución: VA = 2,300; i = ; n = 9; VF =? 2º Aplicamos la fórmula [2] y Excel: [2] VF = 2,300 [1 + (0.0075*9)] = UM 2, Respuesta: El valor futuro es UM 2, EJERCICIO 2 (Interés Simple Exacto) Un pequeño empresario, con utilidades por UM 5,000 los deposita en una caja de ahorros en un banco al 9.7% anual. Calcular cuanto tendrá al final de 8 meses. 1º Expresamos el plazo en años: (8 meses por 30 días = 240 días) 240/365 = años Solución: VA = 5,000; i = 0.097; n = ; VF =? 2º Aplicamos la fórmula (2) y Excel: [2] VF = 5,000 *[1 + (0.097*0.6575)] = UM 5, Respuesta: El pequeño empresario tendrá al final de los 8 meses UM 5, EJERCICIO 3 (Calculando el VF) Calcular el VF al final de 5 años de una inversión de UM 20,000 con un costo de oportunidad del capital de 20% anual. Solución: VA = 20,000; n = 5; i = 0.20; VF =?

24 24 Matemática Financiera Aplicada con Excel Respuesta: El VF al final de los 5 años es UM 49, EJERCICIO 4 (Calculando el VF a partir del VA) Yo tengo un excedente de utilidades de UM 1,000 y los guardo en un banco a plazo fijo, que anualmente me paga 8%; cuánto tendré dentro de 3 años? Solución: VA = 1,000; n = 3; i = 0.08; VF =? Indistintamente aplicamos la fórmula y la función financiera VF: Respuesta: El monto al final de los 3 años es UM 1, EJERCICIO 5 (Calculando el VA a partir del VF) Inversamente, alguien nos ofrece UM 5,000 dentro de 3 años, siempre y cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad al 10% anual. Cuánto es el monto a entregar hoy? Solución: VF = 5,000; n = 3; i = 0.10; VA =? Aplicamos la fórmula y/o la función financiera VA: Respuesta: El monto a entregar el día de hoy es UM 3,757.57

25 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 25 EJERCICIO 6 (Calculando el tipo de interés i) Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de UM 25,000 que ha generado en tres años intereses totales por UM 6,500. Solución: (VF = 25, ,500) i =?; VA = 25,000; n = 3; I = 6,500; VF = 31,500 Aplicando la fórmula [13] o la función TASA, tenemos: Respuesta: La tasa de interés aplicada es de 8% anual. EJERCICIO 7 (Calculando el tiempo o plazo n) Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de UM 35,000, si el monto producido fue UM 56,455 con un interés de 9 %. Solución: VA = 35,000; VF = 56,455; i = 0.09; n =? Aplicando la fórmula [14] o la función NPER, tenemos: Respuesta: El tiempo en que ha estado invertido el capital fue de 5 años, 6 meses y 17 días. EJERCICIO 8 (Tasa nominal y tasa efectiva anual) Tenemos una tarjeta de crédito cuya tasa de interés es 2.5% mensual. Determinar la tasa anual que realmente me cuesta. Solución: i = 0.025; n = 12; j =?; TEA =?

26 26 Matemática Financiera Aplicada con Excel Por demostración calculamos la tasa periódica a partir de la tasa nominal y TEA: Aplicando las funciones financieras de Excel: Respuesta: El costo nominal de la tarjeta de crédito es 30% y el costo real o Tasa Efectiva Anual (TEA) es 34.49%. Caso típico de tasas equivalentes, 30% de tasa nominal es equivalente a 34.49% de tasa efectiva anual. EJERCICIO 9 (Pagaré) Tenemos un pagaré por UM 185,000, girado el 15/09/08 y con vencimiento al 15/11/08, con una tasa de descuento de 50% anual. Determinar el descuento y el valor actual del documento. Solución: VN = 185,000; n = 2 meses; d = (0.50/12) = ; D =?; VA =? Respuesta: El descuento es de UM 15, y el valor actual del documento es de UM 169, EJERCICIO 10 (Descuento de pagaré) Una empresa descuenta un pagaré y recibe UM 20,000. Si la tasa de descuento es del 66% anual y el vencimiento es en tres meses después del descuento. Cuál era el valor nominal del documento en la fecha de vencimiento?. Solución: VA = 20,000; d = (0.66/12) = 0.055; n = 3; VF =? [

27 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 27 [7] VF = 20, ,300 = UM 23,300 Respuesta: El valor nominal (VF) del documento en la fecha de vencimiento es UM 23,300. EJERCICIO 11 (Calculando el VA) Determinar el valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de 3 años a partir de hoy si la tasa de interés es 9%. Solución: VF = 100; n = 3; i = 0.09; VA =? Aplicando al flujo la fórmula 12 o la función financiera VA, tenemos: Respuesta: El VA al final de los 3 años es UM EJERCICIO 12 (Calculando el VA de un flujo variable de caja) Calcule el valor actual del siguiente flujo de caja considerando una tasa de descuento de 15%: Solución: (Aplicamos sucesivamente la fórmula: Aplicando la función VNA tenemos: Respuesta: El valor actual del flujo de caja es UM 1, EJERCICIO 13 (Calculando el VA de una anualidad) Tenemos una anualidad de UM 500 anual, durante cinco años vencidos. Si la tasa de descuento es igual a 13%, cuál es el VA de la anualidad? Solución: C = 500; n = 5; i = 0.13; VA =? Aplicando la fórmula o la función VA, tenemos:

28 28 Matemática Financiera Aplicada con Excel Respuesta: El VA de los cinco pagos iguales es UM 1, EJERCICIO 14 (Calculando la tasa de interés de una anualidad) Una inversión de UM 120,000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de UM 45,000 durante 5 años. Calcular la tasa de rendimiento del proyecto. Solución: VA = 120,000; C = 45,000; n = 5; i =? Respuesta: La tasa anual de rendimiento del proyecto es 25.41% EJERCICIO 15 (Calculando la cuota uniforme) La mejora de un proceso productivo requiere una inversión de UM 56,000 dentro de dos años. Qué ahorros anuales debe hacerse para recuperar este gasto en siete años, con el primer abono al final del año en curso, si contempla una tasa de interés del 12% anual? Solución: VF2 = 56,000; n = 2; i = 0.12; VA =?; 1º Calculamos el VA de la inversión dentro de 2 años, aplicando indistintamente la fórmula o la función VA: 2º Luego determinamos la cuota periódica ahorrada a partir de hoy, aplicando la fórmula o la función pago: VA = 44,642.86; n = 7; i = 0.12; C =?

29 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 29 Respuesta: Los ahorros anuales que deben hacerse son UM 9, EJERCICIO 16 (Préstamo) Un sector de trabajadores que cotiza para su Asociación tiene un fondo de préstamos de emergencia para los asociados cuyo reglamento establece que los créditos serán al 9% anual y hasta 36 cuotas. La cantidad de los préstamos depende de la cuota. a) Si el préstamo es de UM 3,000 cuáles serán las cuotas? b) Si sus cuotas son UM 120 cuál sería el valor del préstamo? Solución (a) VA = 3,000; n = 36; i = (0.09/12) = ; C =? Para el cálculo de la cuota aplicamos indistintamente la fórmula o la función PAGO: Solución (b) C = 120; n = 36; i = (0.09/12); VA =? Para el cálculo de la cuota aplicamos indistintamente la fórmula o la función VA: Respuesta: (a) Las cuotas serán UM y (b) Valor del préstamo UM 3, EJERCICIO 17 (Calculando la cuota mensual de un préstamo) Lilian toma un préstamo bancario por UM 3,000 para su liquidación en 6 cuotas mensuales con una tasa de interés del 4.5% mensual. Calcular el valor de cada cuota y elabora la tabla de amortización. Solución: VA = 3,000; n = 6; i = 0.045; C =? 1º Calculamos la cuota a pagar mensualmente:

30 30 Matemática Financiera Aplicada con Excel 2º Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION FRANCES del préstamo: SALDO INICIAL = SALDO FINAL INTERES = SALDO INICIAL POR TASA DE INTERES PAGO = FORMULA O BUSCAR OBJETIVO AMORTIZ. = PAGO INTERES SALDO FINAL = SALDO INICIAL AMORTIZACION Respuesta: La cuota mensual a pagar por el préstamo es UM , contiene la amortización del principal y el interés mensual. EJERCICIO 18 (Préstamo con amortización constante) Una persona toma un préstamo de UM 4,000 para su liquidación en 24 amortizaciones mensuales iguales, con una tasa de interés del 3.85% mensual. Calcular el valor de cada cuota y elabore el cronograma de pagos. Solución: VA = 4,000; i = ; n = 24; C =?

31 Matemática Financiera Aplicada Con Excel 31 Elaboramos el CUADRO DE AMORTIZACION ALEMAN DE LA DEUDA: INTERES = SALDO FINAL POR TASA DE INTERES AMORTIZ. = PRESTAMO / Nº DE CUOTAS PAGO = INTERES + AMORTIZACION SALDO FINAL = SALDO INICIAL AMORTIZACION