Función logarítmica (parte 1)

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1 Semana 2 2 Empecemos! Esta semana estudiaremos los logaritmos y sus propiedades más importantes. Discutiremos acerca del concepto de logaritmo y varias formas de calcularlo, además de buscar la solución a situaciones de la vida real. Esto nos conducirá a estudiar las propiedades de los logaritmos y ver cómo éstos facilitan el cálculo de operaciones combinadas (más complejas). Durante la lectura del material encontrarás preguntas y planteamientos interesantes que te permitirán comprender mejor el tema. Qué sabes de...? Intenta hallar el exponente de las siguientes expresiones (ecuaciones exponenciales). Has uso de tus saberes en cuanto a la potencia! a) 2 x = 8 b) 3 z = 1/9 c) 4 x = 64 d) 10 y = Puedes preguntarte, por ejemplo, cuántas veces se debe multiplicar el 2 para obtener el resultado 8 (la potencia)? Así obtendrás el exponente x. El reto es... Los logaritmos son utilizados como una herramienta para modelar y explicar fenómenos de la naturaleza. Veamos la siguiente aplicación: Las bacterias de un recipiente de 4 litros se duplican cada minuto. Después de 60min el recipiente está lleno. Cuánto tiempo pasó hasta que se llenó la mitad del recipiente? Pendiente: el recipiente no se llena a los 30min! Entonces, qué operación podemos hacer para encontrar el tiempo que tarda? 184 La condición que nos permite entender la situación se centra en la forma cómo se reproducen las bacterias. Si inicialmente hay una bacteria, después de un minuto hay dos bacterias, en el siguiente minuto hay cuatro bacterias

2 Semana 2 y así sucesivamente, vemos que se reproducen por minuto de la siguiente manera: 1, 2, 4, 8, 16, 32 que es una potencia de base 2, ya que 2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 =4, 2 3 =8, 2 4 =16, 2 5 = 32 Expresamos simbólicamente 2 tiempo = número de bacterias, es decir, 2 t = N. Vamos al grano Para resolver el problema de las bacterias, comprendamos la definición de los logaritmos: Dado un número real a positivo (a > 0), no nulo (a 0) y distinto de 1 (a 1), y un número x positivo y no nulo (x > 0; x 0), se llama logaritmo en base a de x al exponente y al que hay que elevar dicha base para obtener el número. Para indicar que y es el logaritmo en base a de x se escribe: X = y Se lee «logaritmo en base a de x es igual a y». En base a lo anterior podemos decir que X = y (notación logarítmica) equivale a decir x = a y (notación exponencial). Usemos la definición de logaritmos para dar respuesta a la situación 1 (ver figura 4). Pulsar teclas (mantener orden) Pantalla (DEG) 2^60 1, x10 18 Figura 4 Usemos la expresión 2 t = N y la calculadora para saber cuántas bacterias hay a los 60min. Observamos que el número de bacterias es 1, x La pregunta que se hace en la situación 1 es cuánto tiempo pasó hasta que se llenó la mitad del recipiente. Para ello debemos saber qué cantidad de bacterias 185

3 Semana 2 hay cuando esté por la mitad. Así que hacemos la división 1, x10 18 /2 y resulta que: 5, x10 1. Si utilizamos la expresión 2 t = N, escribimos que 2 t = 5, x10 1 Cuál es el valor de t? Según la definición de logaritmo 2 t = 5, x10 1 es equivalente a escribir log 2 5, x10 1 = t Por qué? Usemos la calculadora para obtener el valor de t. El resultado es 59min. Esto se debe a que en el próximo minuto la mitad de bacterias se reproduce y llena de manera completa el recipiente. Pulsar teclas (mantener orden) Pantalla (Math-Deg) log 2 5, < Figura 5 Es importante resaltar que la base de los logaritmos puede ser cualquier número real positivo y distinto de 1 (a>0; a 1). En este sentido, no siempre podemos obtener de manera manual el logaritmo de un número. Las bases logarítmicas más usadas en matemática son los logaritmos de base 10 y e (número de euler). Simbólicamente escribimos: log 10 x = log x (Base 10) y log e x = ln x (Base e). Los logaritmos cumplen con ciertas propiedades que nos permiten calcular de forma sencilla cuando se quiere obtener el logaritmo de operaciones combinadas (productos, divisiones, potencias y raíces). Veamos en la tabla 1 las propiedades de los logaritmos. 1. Logaritmos de un producto Tabla 1 Expresión simbólica x - y = x + y Interpretación El logaritmo a base de a de una multiplicación (x y) resulta ser igual a la suma del logaritmo de base a del primer factor (x) más el logaritmo de base a del segundo factor (y). En el otro sentido también se cumple la propiedad. 186

4 Semana 2 2. Logaritmos de un cociente Expresión simbólica Interpretación x y = x - y El logaritmo a base de a de una división (x y) resulta ser igual a la resta del logaritmo de base a del primer factor (x) menos el logaritmo de base a del segundo factor (y). En el otro sentido también se cumple la propiedad. 3. Logaritmo de una potencia Expresión simbólica Interpretación x n = n x El logaritmo a base de a de una potencia (x n ) resulta ser igual al producto del exponente (n) por el logaritmo de base a del número (x). En el otro sentido también se cumple la propiedad. 4. Logaritmo de una potencia Expresión simbólica Interpretación a x = x n El logaritmo a base de a de una raíz ( a x) resulta ser igual a la división del logaritmo de base a del número (x) entre el índice (n). En el otro sentido también se cumple la propiedad. Para que comprendamos mejor las propiedades, analicemos los siguientes ejemplos: Dados los logaritmos log b 10 = 8, log b = 2 y log b 6 = 15 calcula los logaritmos siguientes usando las propiedades: a) log b (10 6) b) log b c) log b d) log b 6 18

5 Semana 2 Solución (a): Para encontrar la respuesta correcta, notemos que log b 10 = 8 y log b 6 = 15. Planteamos el ejercicio: log b (10 6) = log b 10 + log b 6 Por la propiedad (1) de los logaritmos = Sustituimos los valores de log b 10 + log b 6 = 23 Sumando los resultados Respuesta: log b (10 6) = 23 Solución (d): Para encontrar la respuesta correcta, notemos que log b = 2. Planteamos el ejercicio: 4 log b = log b 4 Por la propiedad (4) de los logaritmos = 2 4 Sustituimos los valores de log b 1 = 2 Simplificando la fracción 4 Respuesta: log b 1 = 2 Toma como ejemplos ilustrativos las soluciones mostradas y realiza con tus compañeros del CCA los ejercicios (b) y (c). Es importante que justifiques los pasos que hagas como, por ejemplo, la propiedad que estás usando y qué operaciones estás haciendo. Para saber más Para determinar la magnitud de un sismo en la escala de Richter (ver tabla 2) se emplea una función logarítmica de base 10 y los datos que aporta el sismógrafo. La función logarítmica es la siguiente: Magnitud R = log 10 ( a T ) + B En donde a designa la amplitud del terremoto registrado en la estación sismológica (en micras), T es el período de la onda sísmica (en segundos) y B es un factor empírico que indica el debilitamiento al aumentar la distancia al epicentro del terremoto. 188

6 Semana 2 Tabla 2 Magnitud en escala de Richter Menos de o mayor Efecto del terremoto Generalmente no se siente, pero es registrado. A menudo se siente, pero solo causa daños menores. Ocasiona daños ligeros a edificios. Puede ocasionar daños severos en áreas muy poblada. Terremoto mayor. Causa graves daños. Gran terremoto. Destrucción total de comunidades cercanas. Los efectos de los terremotos dependen de la magnitud con la cual se hayan producido. Situación 1: supongamos que ha ocurrido un movimiento telúrico cuyo epicentro está a 500km de la estación sismológica que se encuentra en el Observatorio Juan Manuel Cajigal y que los sismógrafos registraron una amplitud de 10 micras y un período de la onda sísmica de 1seg. Sabiendo que la constante B es igual a 6,8: a) Calcula la magnitud del movimiento. b) Identifica cómo se cataloga un movimiento telúrico de tal intensidad. 189

7 Semana 2 Solución: Tomando en cuenta el ejemplo anterior que trataba sobre los terremotos, obtenemos los datos: a =10 micras; T =1seg y B = 6,8. a Empleemos la fórmula: Magnitud R = log 10 ( ) + B T Sustituyendo los valores de a, T y B escribimos la expresión como sigue: Para obtener el resultado de la expresión busca una calculadora científica que posea logaritmos de base 10 y marca como se muestra en la figura 6. El terremoto posee una magnitud de R=,8 en la escala de Richter, lo que indica que el sismo tiene un efecto que causa graves daños en la población de Juan Manuel Cajigal. Pulsar teclas (mantener orden) Pantalla (Math-Deg) log ( 10 I ) + 6,8,8 Figura 6 Para ver un video ilustrativo sobre el uso de la definición de los logaritmos, haz clic en: Observa una presentación que explica de una manera muy sencilla las propiedades de los logaritmos, disponible en: Aplica tus saberes 1. Calcula los logaritmos: a) log 2 64 d) log b) log 4 16 e) log c) log

8 Semana 2 2. Supongamos que ha ocurrido un movimiento telúrico cuyo epicentro está a 200km de la estación sismológica que se encuentra en el Observatorio de Boconó en el estado Trujillo y que los sismógrafos registraron una amplitud de 8 micras y un período de la onda sísmica de 1seg. Sabiendo que la constante B es igual a 4,8: a) Calcula la magnitud del movimiento. b) Identifica cómo se cataloga un movimiento telúrico de tal intensidad. 3. Dados los logaritmos: 23 =10, 11 =100 y 6 = 9, calcula los logaritmos siguientes usando las propiedades. a) log 11 a 6 b) (23 9) c) 11-4 d) 3 9 Comprobemos y demostremos que 1. Encuentra con tus compañeros las soluciones a los problemas y ejercicios propuestos y consulta con tu facilitador las dudas que tengas. 2. Reflexiona sobre tus aprendizajes: a) Cómo contribuyeron mis saberes previos a la realización de las actividades? b) Qué de nuevo aprendí en este proceso de aprendizaje? c) En qué parte de las actividades tuve problemas de comprensión? d) Qué proceso seguí para desarrollar eficazmente las actividades? 191