Sistemas de Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Transcripción

1 Sistemas de Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Siguiendo con los s de ecuaciones veremos a continuación aquellos que están compuestos por ecuaciones exponenciales y logarítmicas. I. Sistemas de Ecuaciones Exponenciales En guías anteriores hemos visto las propiedades de las potencias y logaritmos además de haber visto s de ecuaciones lineales y no lineales lo que nos permite abordar este nuevo tipo de problema. Una ecuación exponencial es aquella en la su incógnita está compuesta por un exponente y para su resolución debemos considerar siempre las propiedades de las potencias y logaritmos que volveremos a listar a continuación. a 1 = a a = a a a n = a a a a n a 0 = = 0 n = 0 a 1 = 1 a Propiedad Formula Ejemplo Multiplicación de potencias igual base a n a m = a n+m 3 = +3 = 5 = 3 1

2 Potencia de una potencia (a n ) m = a n m ( ) 3 = 3 = 6 = 64 Potencia de un producto Inverso aditivo (a b) n = a n b n ( a) n = a n si n es par ( a) n = (a n ) si n es impar ( 3) 4 = = 196 ( ) = = 4 ( ) 1 = ( 1 ) = Inverso multiplicativo (a) n = 1 a n () = 1 = = 3 = 1 División de potencias de igual base a m = am n an 3 = 3 = 1 = 1 Potencia de un cociente a b n = an b n 3 = 3 = 4 9 Propiedad Distributiva Conmutativa Asociativa Formula a + b n a n + b n a b n a n b n a b b a a b c = a (bc) a b c = a b c = a bc a b c a bc NO CUMPLEN Revisadas las potencias y los radicales podemos abordar los logaritmos, los cuales están relacionados con la exponenciación a través la siguiente función. log b x = n x = b n log b x y = log b x log b (y) log b 1 = 0 log b x y = y log b x log b b = 1

3 log b b n = n log b y x = log b x y log b (x y) = log b (x) + log b (y) log b 1 x = log b x Ahora tenemos varios casos de ecuaciones exponenciales los que veremos a continuación mediante ejemplos. 1. Caso 1: Igual Base Es la ecuación más sencilla de todas ya que tenemos igual base en ambos lado de la ecuación lo que nos permite igualar los exponentes y resolver, veamos un ejemplo. x 1 = 8 Como podemos notar podemos expresar la ecuación de la manera siguiente x 1 = 3 Note que en ambos lados tenemos la misma base () por lo que podemos igualar los exponentes y resolver nuestra ecuación x 1 = 3 x = Verificando la solución () 1 = = 3 3 = 3. Caso : Cambio de Variable En algunas ocasiones nuestra ecuación es más compleja por lo que podemos evaluar realizar un cambio de variable para simplificar nuestra ecuación para resolverla, veamos un ejemplo 4 3x 4 = 3x 3

4 Primero llevamos la mayor cantidad de términos a una base común, en este caso por simple inspección llevamos a base, luego tenemos 3x 3x = 0 Sea el cambio de variable t = 3x Luego tenemos la siguiente ecuación transformada 3x 3x = 0 t t 4 = 0 La ecuación anterior es de segundo grado y sabemos cómo resolverla, luego tenemos que sus soluciones son t 1 = t = 1 17 Recordando el cambio de variable para obtener la solución 3x = 1 ± 17 Lamentablemente no podemos igualar sus exponentes dado que sus bases no son iguales, luego empleamos las propiedades de los logaritmos que hemos viso en una guía anterior y que recordamos al principio de esta guía log b x = n x = b n log b x y = y log b x log 3x = log 1 ± 17 3x log = log 1 ± 17 4

5 Despejando la incógnita tenemos x = log 1 ± 17 3 log Como debe notar se debe evaluar para cada signo (±) considerando que logaritmos de números negativos no existen por lo que la solución que involucra el signo negativo no es solución, luego 17 x = log log 3. Caso 3: Con Logaritmos Como podrá notar puede darse el caso en que tengamos una ecuación exponencial con distinta base la que del caso anterior podemos resolver usando las propiedades de los logaritmos, veamos un ejemplo 8 x+1 = 5 Aplicando logaritmo en ambos lados tenemos log 8 x+1 = log 5 Empleando las propiedades de los logaritmos despejamos nuestra incógnita x + 1 log 8 = log 5 x + 1 log 3 = log 5 3x + 3 log = log 5 x = log 5 3 log 1 II. Sistemas de ecuaciones logarítmicas Junto con los s de ecuaciones exponenciales, tenemos los s de ecuaciones logarítmicas cuya resolución se basa en las propiedades de los logaritmos o puede obtenerse por reducción o eliminación, veamos dos ejemplos. 5

6 Sea el siguiente de ecuaciones Nos resulta más fácil eliminar los logaritmos, para eso realizamos empleando las propiedades de logaritmos realizamos Luego nuestra ecuación queda expresada de manera más simple de la siguiente forma Resolviendo el obtenemos x = 0, y = Otro caso que podemos encontrar es cuando tenemos un de ecuaciones formado íntegramente por logaritmos como el siguiente ejemplo Si sumamos ambos s eliminamos tenemos Reemplazando el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones del obtenemos la incógnita restante, reemplazando en la primera ecuación tenemos: Luego las soluciones son x = 100, y =10 6

7 Test 1.- Indique las soluciones del siguiente a) x = 3 y = b) x = 3 y = c) x = 3 y = d) x = 3 y = a) x = 0 y = b) x = 0 y = c) x = 0 y = d) x = 0 y = 6.- Indique las soluciones del siguiente.- Indique las soluciones del siguiente a) x 1 =, y 1 =3 / x =-3, y = b) x 1 =, y 1 =-3 / x =3, y = c) x 1 =-, y 1 =3 / x =3, y = d) x 1 =, y 1 =3 / x =3, y = a) x = 3 y = b) x = 3 y = c) x = 3 y = d) x = 3 y = 7.- Indique las soluciones del siguiente 3.- Indique las soluciones del siguiente a) (;-3) (3;) (-;-3) (-3,-) b) (;3) (-3;) (-;-3) (-3,-) c) (;3) (3;) (-;-3) (-3,-) d) (;3) (3;-) (-;-3) (-3,-) a) x = 5 y = 16 b) x = 5 y = 16 c) x = 5 y = Indique las soluciones del siguiente 7

8 d) x = 5 y = Indique las soluciones del siguiente a) x = 111 y = 6 b) x = 11 y = 16 c) x = 10 y = 15 d) x = 135 y = 30 a) x = 35 1 y = b) x = 35 1 y = Indique las soluciones del siguiente c) x = y = d) x = y = Indique las soluciones del siguiente a) x = 3 y = 0 b) x = 0 y = 3 c) x = 3 y = 0 d) x = 0 y = Indique las soluciones del siguiente a) x 1 =3, y 1 =4 / x =-4, y =3 b) x 1 =3, y 1 =-4 / x =4, y =3 c) x 1 =-3, y 1 =4 / x =4, y =3 d) x 1 =3, y 1 =4 / x =4, y =3 Respuestas: 1 (a) / (a) / 3 (c) / 4 (d) / 5 (a) / 6 (d) / 7 (c) / 8 (b) / 9 (c) / 10 (d) 8