Erika Riveros Morán. Funciones Exponenciales y Logarítmicas. Si, y se llama FUNCION EXPONENCIAL DE BASE a, a la función

Transcripción

1 Definición: Funciones Exponenciales y Logarítmicas Si, y se llama FUNCION EXPONENCIAL DE BASE a, a la función Su gráfica queda determinada por los valores de la base a Por ejemplo: Si ( ) 1

2 Del gráfico observamos que: Si a > 1 las Funciones Exponenciales son estrictamente Crecientes. Si a 1 las Funciones Exponenciales son estrictamente Decrecientes. Ecuación Exponencial Ejemplos 2

3 Aplicación: Problemas de crecimiento y decrecimiento Supongamos que una cantidad física varía a medida que transcurre el tiempo, en el lenguaje de las funciones esto se denota por ( ). En las aplicaciones la rapidez es directamente proporcional a la magnitud de la cantidad en un tiempo. Mediante los conceptos de derivadas e integrales que estudiarán en la próxima asignatura, se puede deducir que el comportamiento de se puede expresar mediante una función exponencial de la forma ( ) (*) Donde denota el valor inicial ( ), corresponde a la constante de proporcionalidad. Si Si Notar que la fórmula (*) la fórmula de crecimiento. la fórmula (*) la fórmula de decrecimiento. Funciones Logarítmicas Definición La Función Inversa de la Función Exponencial ( ) se llama Función Logarítmica y se denota por ( ) (léase ( ) = logaritmo en base de ) Relación entre la forma logarítmica y la forma exponencial El gráfico de la Función Logarítmica, al igual que las funciones exponenciales dependerá de la base

4 Se puede observar que si la función Logarítmica es estrictamente creciente y si la función Logarítmica es estrictamente decreciente. Se distinguen dos tipos de logaritmos: Logaritmo decimal, denotado por log, cuya base es a = 10 y Logaritmo natural, denotado por Ln, cuya base es un número e = Ejemplo: Cuyos valores los podemos obtener mediante la calculadora Obtener los valores de a) significa b) significa También es posible obtener algunos logaritmos usando la definición Por ejemplo: c) No es posible obtenerlo directamente usando la calculadora, pero usamos definición d) ;, el valor para? es Este último no lo podemos obtener ni por definición ni usando directamente la calculadora. Por lo usamos la siguiente fórmula de cambio de base., a es una base común y conocida 4

5 Ecuación exponencial usando logaritmo, cuando no es posible igualar base Ecuaciones Logarítmicas 5

6 x 1 log x 9 2 Aplicando propiedad queda x 1 x 9 2 log log log 2 x 10x 9 2 usando definición x x + 9 = 2 x x +9 = 9 ; x x = 0 ; x ( x + 10 ) = 0 x 1 = 0 o x 2 = -10 Discusión log log Así log x 1 log x se satisface para x = 0 Si x = 0, entonces x 1 log 1 0 ; 0 9 log 9 2 Por lo tanto, x = 0 es una solución a la ecuación propuesta. Si x = -10, entonces x + 1 = = -9, y no está definido log x 1 cuando x = -10 Por lo tanto, x = -10 no es solución a la ecuación propuesta. 6

7 Aplicando logaritmo natural Debemos despejar, que corresponde al tiempo 7

8 De acuerdo con el U.S. Census Bureau, la población en el año 2011 fue de 6.9 billones de personas y crecerá alrededor de 76 millones durante el año. Eso es, crecerá alrededor de 1.1%. Si la población crece 1.1% cada año, entonces cada año la población se multiplica por (El 1 representa la población actual y el.011 representa el nuevo crecimiento.) Después de dos años, la población sería de 6.9 *(1.011). En general, la población mundial P (en billones de personas) puede estimarse para t años después del 2001 con esta fórmula: P = 6.9(1.011) t Problema Usando la fórmula de la población mundial P = 6.9(1.011) t, donde t es el número de años después de 2011 y P es la población mundial en billones de personas, estimar: a) la población en el año 2050 en cientos de millones, y b) en qué año se duplicará la población con respecto al a) Identificamos las variables. En este caso, 2050 es 9 años después del 2011, entonces t = 9. P = 6.9 (1.011) 9 P = P 10.6 b) Necesitamos el tiempo en que la población duplique los 6.9 de 2011, es decir, 6.9 *2 =.8 entonces P = 1.8. P = 6.9 (1.011) = 6.9 (1.011) t 2 = t Aplicamos logaritmo para despejar así log 2 = log (1.011) t Si es la población se duplicará en el año