TRANSFORMADA DE LAPLACE. Definición: Transformada de Laplace. Sea f(t) una función definida para t 0; a la expresión

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Encarnación Alcaraz Fernández
hace 7 años
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1 TRANSFORMADA DE LAPLACE Definición: Transformada de Laplace. Sea f(t) una función definida para t 0; a la expresión L= = Se le llama Transformada de Laplace de la función f(t), si la integral existe. Notación: L significa que el operador L se le aplica a la función f(t) para generar una nueva función, llamada F(s). Ejemplos : Hallar : L donde c es un real. >0 L. L. Observamos, después de estos ejemplos, que la transformada de una constante es la constante dividida entre la variable s; la transformada de t es, la transformada de es. Entonces podemos deducir, por la definición, que: Ejemplos: L =! =1,2,3, 0!=1. Hallar: L. > b Lcos. > 0, 0 <1 c L =. 3, 1 d Lsenh ó senh= >

2 En este ejemplo, hemos aplicado una importante propiedad de la transformada: su linealidad. TEOREMA: La transformada de Laplace es un operador lineal: para cada función f(t) y g(t) cuya transformada de Laplace exista y para cualesquiera constantes a y b, tenemos: L+=L+L. Ejemplo: Hallar : L + 2. EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA Teorema: Existencia de la transformada. Sea f(t) de orden exponencial α en t 0. Sea f(t) seccionalmente continua en t 0, entonces L existe para s > α. Ejemplo: Hallar : a) L. b) L. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS Encuentre la transformada de Laplace en las siguientes funciones: =. =. c =4 d =6

3 e = 3 +9 TRASFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS 1, 0<<2 = 0, 2 <4 1, 4 : + 1 = 1, 0<<3, 3 c = 3, 0<<1 0, 1 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO 3 + Definición: La función escalón unitario está dada por: = 0, <0 1, 0<

4 Al recorrer el argumento de podemos mover el salto a otra posición: es decir, = 0, <0 1, 0< 0, < = 1, < tiene su salto en t = a. Al multiplicar por una constante M, la altura del salto también se puede modificar = 0,, < < Cualquier función continua por partes se puede expresar en términos de funciones escalón unitario. Ejemplo: Escribir la función. = 3, <2 1, 2<<5, 5<<8 /10, 8< en términos de funciones escalón unitario.

5 = La transformada de Laplace de con a 0 es: Ejercicios: L = En los siguientes problemas, bosqueje la gráfica de la función dada y determine su transformada de Laplace. a) b) 2 En los siguientes problemas, exprese la función dada, mediante funciones escalón unitario y calcule su transformada de Laplace. 0, 0<<1 2, 1<<2 = 1, 2<<3 3, 3<

6 b) PROPIEDADES DE LA TRASFORMADA DE LAPLACE Linealidad de la transformada Teorema 1. Sean f, f 1, f 2 funciones cuyas transformadas de Laplace existen para s>α y sea c una constante. Entonces, para s>α, Lf +f = Lf +Lf Lcf= Lf Translación en s Teorema 2. Si la transformada de Laplace Lf= existe para s>α, entonces Le ft= para s>α+a. Translación en t Teorema 3. Suponga que =Lf existe para s > α 0. Si a es una constante positiva, entonces L =

7 En la práctica es más común encontrarse con el problema de calcular la transformada de una función expresada como en vez de. Para calcular L, basta identificar con de modo que =+. Así entonces tenemos L = L+. TRANSFORMADA DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR t n, Y DIVIDIDAS ENTRE t Teorema. Sea =Lf y suponga que es continua por partes en 0, y de orden exponencial α. Entonces para s > α, L = 1. Ejemplo: Determinar L L L TRANSFORMADA DE DERIVADAS Teorema. Sea continua en 0, y continua por partes en 0,, ambas de orden exponencial α. Entonces, para s > α, Ejemplo: L =L 0. a) Use el teorema anterior y el hecho de que L =, para determinar L.

8 Teorema. Sea,,, continuas en 0, y sea continua por partes en 0,, con todas estas funciones de orden exponencial α. Entonces, para s > α, L = L TRANSFORMADA INVERSA Definición: Si L=, entonces L = se llama transformada inversa de. Ejemplo: Hallar = = = =3 =7 = ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS 1.- FACTORES REPETIDOS Si se puede factorizar como un producto de factores lineales distintos, =, Donde los son números reales distintos entre sí, entonces el desarrollo en fracciones parciales tiene la forma Donde las son números reales. Ejemplo: Determinar L, donde = = + + +,.

9 2.- FACTORES LINEALES REPETIDOS Sea un factor de y supongamos que es la máxima potencia de que divide a. Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales de correspondiente al término es Donde los son números reales. Ejemplo: Determinar L , 3.- FACTORES CUADRÁTICAS Sea + un factor cuadrático de que no se pueda reducir a factores lineales con coeficientes reales. Supongamos que es la máxima potencia de + que divide a. Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales correspondiente a + es ] ] TRANSFORMADA DE INTEGRALES Teorema. Sea una función seccionalmente continua en 0 y de orden exponencial α, y si L=, entonces: L = L=. BREVE TABLA DE TRANSFORMACIONES DE LAPLACE

10 =L 1 1, >0 1, >, =1,2,!, >0 +, >0 +, >0, =1,2,!, > +, > +, >

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