Transformada de Laplace

Transcripción

1 Transformada de Laplace Definición: La Transformada de Laplace Dada una función f (t) definida para toda t 0, la transformada de Laplace de f es la función F definida como sigue: { f } 0 st F () s = L f () t = e f () tdt (1) para todos los valores de s para los que la integral impropia converja. Ejemplo 1 Si f ( t) = 1 para t 0, la definición de la transformada de Laplace (1) implica 1 L { 1} = para s 0. s Ejemplo 2 Si at ( t) e para t 0 f =, obtenemos at 1 L { e } = para s > a. s a

2 Ejemplo 3 Si f ( t) = t para t 0, obtenemos 1 L { t } = para s > a. 2 s Ejemplo 4 Si f ( t) = sin at para t 0, obtenemos a L { sin at} = para s > s + a Ejemplo 5 Si f ( t ) = cos at para t 0, obtenemos s L { cos at} = para s > s + a

3 Teorema1. Linealidad de la transformada de Laplace Si a y b son constantes, entonces { af () t + bgt () } = a { f () t } + b { gt () } L L L Ejemplo 6 n /2 1 El cálculo de L { t } se basa en el conocido valor de Γ = π 2 fórmula gamma. Por ejemplo, tenemos que de la Γ = Γ = Γ = π, mediante la fórmula Γ ( x + 1) = x Γ ( x ). Aplicando la linealidad y los ejemplos precedentes, obtenemos 5 2 3/2 2! 4 Γ( 2) 6 π L { 3t + 4t } = 3 + = /2 3 5 s s s s

4 Ejemplo L sin kt. 1 =, k > 0, 2 kt kt kt kt Considerando que cosh kt = ( e + e ) y que sinh kt ( e e ) determine { cos kt} Ejemplo 8 L y { } Determine la transformada de Laplace de la función = +, t 0. 2t 2 f () t 5e 4sin 3t Funciones continuas por partes La función f() t es continua por partes en el intervalo acotado a t b si [ ab, ] se puede subdividir en una cantidad finita de subintervalos adyacentes de modo que: 1. f sea continua en el interior de cada uno de estos subintervalos; y 2. f() t tenga un límite finito cuando t tienda a cada extremo de cada subintervalo desde el interior de éste.

5 Decimos que f es continua por partes para t 0 si es continua por partes en cada subintervalo acotado de [ ) 0, +. Así, una función continua por partes sólo tiene discontinuidades simples (si las hay) y sólo en esos puntos aislados. En tales puntos, el valor de la función sufre un salto finito, como de indica en la figura. El salto en f () t en el punto c se define como + f ( c ) f ( c ), donde + f ( c ) = lim f ( c + ε ) y ε 0 + f ( c ) = lim f ( c ε ). ε 0 +

6 Ejemplo 9 Determinar { ut ()} L, donde ut () 1, t 0 = 0, t < 0, es la función escalón unitario. Ejemplo 10 Determinar { u t } L () a si a > 0.

7 Ejemplo 11 Determinar { f () t } L si f está definida, mediante el gráfico siguiente. Propiedades generales de las transformadas Def: La función f es de orden exponencial cuando t + si existen constantes no negativas M, c y T tales que f () t ct Me para t T

8 Teorema2. Existencia de transformadas de Laplace Si la función f es continua por partes para t 0 y es de orden exponencial cuando t +, entonces su transformada de Laplace F() s { f() t } = L existe. Más precisamente, si f es continua por partes y de orden exponencial cuando t +, entonces F () s existe para toda s> c. Corolario: F () s para s grande Si f satisface las hipótesis del teorema 2, entonces lim Fs ( ) = 0. s Teorema3. Unicidad de las transformadas de Laplace Suponga que las funciones f() t y gt () satisfacen las hipótesis del teorema 2, de modo que sus transformadas de Laplace F () s y Gs () existan. Si F() s = G() s para toda s> c (para alguna c ), entonces f() t = g() t en todos los puntos de [ 0, + ) donde f y g sean continuas.

9 Ejercicios Aplique la definición (1) para determinar directamente las transformadas de Laplace de las funciones siguientes: 1. f() t 1, 1< t 2 =, 2. 0, etoc. Determine la transformada de Laplace de la función: 3 3/2 10t 1. f () t = sin3cos3 t t, 2. f () t = (1 + t ), 3. f () t = t e. Halle la función () 1. 5/2 f t, si { f t } 1 2 Fs () = s s, 2. 3s + 1 Fs () = s L () = F() s está dada por: 3s 2e, 3. Fs () =. s

10 Sea f() t = 1 si a t b, f() t = 0 si t < a o t > b (donde 0 < a< b). Exprese a f en términos defunciones escalón unitario para mostrar que as bs e e L { f() t } =. s (a) La gráfica de la función f se muestra en la figura siguiente. Muestre que f se puede escribir de la forma (b) Muestre que L { f () t } n f() t = ( 1) u( t n). n= 0 1 L f t =. s s(1 + e )

11 Determine, usando la calculadora classpad 300, la transformada de la función tsin t, luego, verifique su resultado aplicando la transformada inversa. Resuelva el problema, usando Maple. Solución: Usando ClassPad300: Usando Maple (ingrese los comandos siguientes), verifique el resultado anterior. > with(inttrans): > f:=t*sin(t); > plot(f,t=0..5); > F:=laplace(f,t,s); > F:=simplify(expand(F)); > g:=invlaplace(f,s,t); > plot(g,t=0..5); t

12 Transformación de Problemas con Valores Iniciales Teorema1. Transformadas de derivadas Suponga que la función f () t es continua y suave por partes para t 0 y que es de orden exponencial cuando t, de modo que existen constantes no negativas M, c y T tales que f () t. ct Me para t T L f () t = sl f () t f (0). Entonces { } { } Corolario 1. Derivadas de orden superior ( n 1) Suponga que las funciones f, f, f,..., f son continuas y suaves por partes para t 0, y que cada una de estas funciones satisface las condiciones del teorema anterior, con los mismos valores de M y c. ( L f n) () t existe cuando s > c, y Entonces { } { } { } f () t s f() t s f(0) s f (0)... f (0) ( n) n n 1 n 2 ( n 1) L = L.

13 Ejemplo 1 Resuelva el problema con valores iniciales Ejemplo 2 x x 6x= 0; x (0) = 2, x (0) = 1. Resuelva el problema con valores iniciales Ejemplo 3 x + 4x= sin3t; x(0) = x (0) = 0. Resuelva el sistema 2 x = 6 x + 2 y y = 2x 2y+ 40sin3t sujeto a las condiciones iniciales, x(0) = x (0) = y(0) = y (0) = 0.

14 Teorema 2. Transformada de Laplace de tf () t df () s Si L { f () t } = F () s entonces L { tf () t } =. ds Ejemplo 4 at 1 L te =. ( s a) Muestre que { } 2 Ejemplo 5 2ks L tsin kt =. ( s + k ) Muestre que { } Teorema 3. Transformadas de integrales Si f() t es una función continua por partes para t 0 y satisface la condición de orden exponencial f () t ct Me para t T t 1 F( s) L f( z) dz = L{ f(t) } = s s 0 para s> c. En forma equivalente, t 1 Fs () L = f( z) dz. s 0, entonces

15 Ejemplo 6 1 Determine la transformada inversa de Laplace de G () s =. 2 s ( s a) Ejercicios Utilice la transformada de Laplace para resolver los problemas con valores iniciales siguientes: 1. x + x= sin 2t ; x(0) = x (0) = x + 3x + 2x= t ; x (0) = 0, x (0) = x = x+ 2y t y = x + e, x(0) = y(0) = x + x + y + 2x y = 0 ; x(0) = y(0) = 1, x (0) = y (0) = 0. y + x + y + 4x 2y = 0 5. (a) Aplique el teorema 1 para mostrar que { } { } (b) Deduzca que { } 1 n n at n 1 L te = L t e at. s a L n at n! te = n para n IN. ( s a) +

16 6. Muestre que L 1 sin coskt ( s + k ) 2 k. 1 kt = 3 f t = en el intervalo [, ] 7. Si () 1 ab y f() t = 0 en caso contrario, entonces as bs e e L { f() t } =. s 8. Si f () t es la función onda cuadrada cuya gráfica se muestra en la figura, 1 s entonces L { f() t } = tanh. s 2 (Use la serie geométrica.)

17 Traslación y Fracciones Parciales Teorema 1. Traslación en el eje s Si Fs () { ft ()} at y { } = L existe para s c L e f() t = F( s a). at >, entonces { e f () t } L existe para s> a+ c, Ejemplo 1 Resuelva el problema con valores iniciales x + 6x + 34x= 0; x (0) = 3, x (0) = 1. Ejemplo 2 2 s +1 1 Determine la transformada inversa de Laplace de Rs () = 3 2 s 2s 8s Ejemplo 3. Resuelva el problema con valores iniciales y y y t = ; (0) (0) 0 y = y =.

18 Derivadas, Integrales y Productos de Transformadas Definición i ió 1: La convolución de dos funciones La convolución f g de las funciones continuas por partes f y g se define para t 0 como sigue: Ejemplo 1 t ( f g)( t) = f( τ ) g( t τ) dτ. Determine la convolución de f () t = sint y gt () = cost. Teorema 1: La propiedad de convolución 0 Suponga que f() t y gt () son continuas para t 0 y que f() t y gt () están ct acotadas por Me cuando t +. Entonces, la transformada de Laplace de la convolución f() t g() t existe para s> c; además, y { f() t g() t } = { f() t } { g() t } L L L 1 { } L Fs () Gs () = ft () gt ().

19 Ejemplo 2 Determine, usando convolución, la función ht () tal que 1 2 L ht () 2 =. ( s 1)( s + 4) Derivación ió de transformadas Teorema 2: Derivación de transformadas ct Si f () t es continua por partes para t 0 y f () t Me cuandot +, L tf () t = F () s para s > c. En forma equivalente, entonces { } f () t = L { F ( s ) } = L { F () s }. t Al aplicar varias veces el teorema obtenemos para n IN. Ejemplo 3 L t 2 sin kt. Determine { } Ejemplo 4 L 1 1 tan ( ). Determine { s } L ( ) { n } = n n t f () t ( 1) F ( s )

20 Integración de transformadas Teorema 3: Integración de transformadas Si f() t es continua por partes para t 0, que f() t satisface la condición f () t ct lim exista y sea finito, y que f() t Me cuando t +. Entonces + t 0 t Para s f () t L = F( σ ) dσ t s > c. En forma equivalente, -1-1 f () t = L { F() s } = tl F( σ ) dσ. s Ejemplo 5 sinh t Determine L. t Ejemplo 6-1 2s Determine L 2 2. ( s 1)

21 Funciones de entrada continuas y continuas por partes Teorema 1: Traslación sobre el eje t Si L{ f () t } existe para s > c, entonces as L ut ( a) f( t a) = e Fs ( ) y para s > c+ a. -1 L { } as { } e F() s = u( t a) f ( t a) Ejemplo Si f () t = t, el teorema1 implica que 2 L Ejemplo 2 L gt () si Determine { } -1 as e 1 ( ) ( ) 3 = ut a t a = s 2 0 si t < 0 1 ( ) t a si t 0 Ejemplo 3 Determine { f () t } 2 t t < si 3 gt () = 0 si t 3 L si cos 2 t si 0 t < 2π f() t = 0 si t 2 π

22 Impulsos y funciones delta Considere la función 1 si d a, ε a t < a+ ε () t = ε 0 en caso contrario cuyo gráfico se muestra en la figura A partir de esta función definimos la función delta de Dirac + si t = a δa() t = lim da, ε () t = ε 0 0 si t a y la transformada de Laplace Si escribimos entonces { δ ()} as L = ( 0 a t e 0 a ). δ () t = δ () t y δ ( t a) = δ ( t) L { δ () t } = 1 y { δ ( )} as L t a = e. a

23 Ejemplo 1 Resuelva el problema con valores iniciales x + 2x + 2x = 2 δ ( t π ); x(0) = x (0) = 0. Ejemplo 2 Este problema trata de una masa m unida a un resorte (con constante k ), que recibe un impulso p0 = mv0 en el instante t = 0. Muestre que los problemas con valores iniciales y mx + kx = 0; x (0) = 0, x (0) = v0 mx + kx = p0 δ () t ; x (0) = 0, x (0) = 0 tienen la misma solución. Así, el efecto de p0 δ () t consiste en proporcionar a la partícula un momento inicial p 0.

24 Aplicaciones a solución de problemas de Física Ejemplo 1 Considere el circuito RLC de la figura, con R = 100 Ω, L = 1 H, C = F y una batería que proporciona E0 = 90 V. Inicialmente, no hay corriente en el circuito y no hay carga en el condensador. En el instante t = 0, el interruptor se cierra y se mantiene así durante 1 segundo. En el instante t = 1 se abre y se mantiene así de ahí en adelante. Determine la corriente resultante en el circuito. Ejemplo 2 Una masa m = 1 está unida a un resorte con constante k = 4 ; no hay amortiguador. La masa se libera desde el reposo, con x (0) = 3. En el instante t = 2π golpeamos la masa con un martillo, proporcionando un impulso p = 8. Determine el movimiento de la masa.