Transformada de Laplace

Transcripción

1 Capíulo 7 Tranformada de Laplace En ea ección inroduciremo y eudiaremo la ranformada de Laplace, dearrollaremo alguna de u propiedade ma báica y úile. Depué veremo alguna aplicacione. 7. Definicione y reulado báico Definición 7. (Tranformada de Laplace) Sea f una funcion definida para. Se dice que la inegral L [f ()] e f () d P. S. de Laplace e llama la ranformada de Laplace de f iempre que la inegral converja. Teorema 7. Si f e una función coninua por pedazo de orden exponencial, enonce exie L [f ()] F (), > α Noa 7. f () /2 / PC[, +] in embargo u ranformada de Laplace i exie. Teorema 7.2 La ranformada de Laplace e un operador lineal. Demoración. Se igue direcamene de la propiedade de la inegral. La ranformada de Laplace de alguna funcione uuale e muera en la iguiene abla. 73

2 f () F () L {f} () 2 n n! n+, n N π /2 π /2 Teorema 7.3 Teorema de ralación. 2 3/2 α Γ (α + ), α > α+ TTL: Si L(f()) F() enonce L ( e a f () ) F ( a) ; TTL2: Si L(f()) F() y a > enonce Teorema 7.4 (Teorema de Lerch) con L(f( a)h( a)) e a F(). L [f ()] L [f 2 ()] f () f 2 () N () N () d ; e decir e una función nula. La uilización prácica de la ranformada de Laplace requiere no ólo el cálculo de la mima a parir de una función dada, ino ambién el problema invero, e decir, enconrar una función f conocida u ranformada de Laplace L [f ()]. Definición 7.2 (Tranformada invera de Laplace) Si F () L [f ()] enonce llamaremo ranformada invera de Laplace de F() a f() y la denoaremo f () L [F ()]. Teorema 7.5 Dada F (), u ranformada invera de Laplace ea dada por f () L [F ()] 2πi γ+i γ i e F () d con Re () γ; oda la ingularidade de F eán a la izquierda de γ

3 Teorema 7.6 Sea H la función de Heaviide, enonce Demoración. Teorema 7.7 L [H ( a)] L [H ( a)] e a. a e H( a) d e d + a e d e e a a, >. L [ e a] a (7.) L [f ( a)h ( a)] e a F (). (7.2) Teorema 7.8 (Tranformada de Laplace de la convolución de funcione) [ ] L f (τ)g ( τ) dτ F ()G(). (7.3) El eorema anerior e puede enunciar da la iguiene manera equivalene: Teorema 7.9 (Teorema de Falung) L [F ()G()] f () g (). Demoración. L [f () g ()] e (f () g ()) d ( ) e f ( u) g (u) du d R e f ( u)g (u) du d con R limiado por u,u. Haciendo el cambio de variable τ u, σ u y denoando con R 2 el cuadrane poiivo del plano τ-σ enemo L [f () g ()] e (τ+σ) f (τ) g (σ) dσ dτ R 2 e τ f (τ) dτ F ()G(). e σ g (σ) dσ La inegrale que hemo coniderado on aboluamene convergene para > α.

4 Teorema 7. (Tranformada de Laplace de la n-éima derivada de una función) Corolario 7. L [ f (n) () ] L [ f (n ) () ] f (n ) (). L [ f (n) () ] n F () n f () f (n ) (). (7.4) Demoración. Por inducción. Noa 7.2 Ee eorema permie decir que al aplicar la ranformada de Laplace podemo reemplazar la derivación repeco a por la muliplicación por, lo que permie ranformar una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Teorema 7. Si L [f ()] F (), enonce [ ] L f (u) du Demoración. Inegrando por pare: [ ] L f (u) du e f (u) du F (). (7.5) + e f () d F (). Noa 7.3 Ee eorema e puede demorar ambién omado g () en el eorema de la ranformada de una convolución. Teorema 7.2 L [ n f ()] ( ) n d n dnf (). (7.6) Demoración. d d e f () d L [f ()]. ( e f () ) d e f () d Por inducción e obiene la concluión del eorema.

5 f () Teorema 7.3 Sea f una función al que exie L [f ()] F (). Si exie lim + enonce [ ] f () L F (u) du. (7.7) Demoración. Inegrando: Sea g al que f () g (). Enonce F () L [f ()] L [g ()] dg d. G (u) Pero lim G (). Enonce [ ] f () L F (u) du F (u) du. F (u) du. Teorema 7.4 Si f e una función coninua por pedazo y de orden exponencial α, enonce lim L [f ()]. Demoración. Por hipóei e iene que f () M e α, >. Enonce e f () M e ( α). Por la monoonía de la inegral e igue que e f () d M e ( α) d M α, > α. Por oro lado L [f ()] e f () d e f () d. Enonce L [f ()] M α, > α, de donde e igue que lim L [f ()]. Teorema 7.5 Si f e una función periódica de período T, enonce Demoración. L [f ()] L [f ()] T T e f () d. e T e f () d + T e f () d. Haciendo u + T en la úlima inegral: e f () d e T e u f (u) du. Enonce T

6 T L [f ()] e f () d + e T L [f ()], y de aquí e igue el eorema. Teorema 7.6 (Tranformada de Laplace de la dela de Dirac) L [δ ( a)] e a, con a. Demoración. L [δ ( a)] de aquí e igue que L [δ ( a)] e a. e δ ( a) d + e δ ( a) d; Corolario 7.2 L [δ ()]. 7.2 Alguna Aplicacione Problema 7. Deerminar L [ en b]. b Solución. Pariendo de L [en b] F () 2 + b2, enconramo que df d 2b ( 2 + b 2 ) 2. Por ano L [ en b] 2b ( 2 + b 2 ) 2. Problema 7.2 Demorar que F () 2 no e la ranformada de Laplace de función alguna. Solución. Si exiiera una función f al que L [f] 2 debería ocurrir que lim 2. Eo no ucede por lo ano no exie al función. [ ] en Problema 7.3 Calcular L. [ ] en Solución. L + u du π 2 2 arcan. Reolvamo una ecuación diferencial con coeficiene variable y condiciona iniciale.

7 Problema 7.4 Reolver la ecuación diferencial y +2y 4y con condicione iniciale y () y (). Solución. Sabemo que L [y ] d d L [y ] d d (L [y] y ()) d d (Y ()) Y () Y () y que L [y ] 2 Y (). Enonce, uiuyendo ( 3 Y () + ) Y () La olución de ea ecuación lineal en Y () e Y () 3 + c 3 e 4 2. La conane de inegración c e deermina al requerir que Y () i. Se obiene que c, y enonce de donde e concluye que Y () 3, y () 2 2.