SEGUNDO EXAMEN EJERCICIOS RESUELTOS

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1 MATEMÁTICAS II (G I T I SEGUNDO EXAMEN 13 1 EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIO 1 Considera el cuerpo de revolución que se genera al girar alrededor del eje OX la gráfica de la función x α f(x = x (, + (x + 1(x + 3 (1 Deermina los valores de α para los que el volumen de dicho cuerpo es finio ( Calcula el volumen del cuerpo para el caso α =, comprobando que la primiiva que calculas es correca Solución El volumen del cuerpo revolución que se describe vendrá dado, de acuerdo con lo esudiado en la asignaura, por la fórmula volumen = π ( + ( x α f(x dx = π dx = π (x + 1(x + 3 x α (x + 1(x + 3 dx (1 La inegral que da el valor del volumen es una inegral impropia que puede ser sólo de primera especie, para α, o ener ambién una impropiedad de segunda especie en x = si α < La gráfica de f para α > (rojo, α = (azul y α < (verde En consecuencia, esudiamos por separado las inegrales 1 x α (x + 1(x + 3 dx e 1 x α (x + 1(x + 3 dx, y el volumen del cuerpo será finio si, y sólo si, cada una de esas inegrales converge 1

2 Maemáicas II (G I T I 1 x α Empezamos por la inegral de primera especie dx Pueso que el denominador (x + 1(x + 3 del inegrando no se anula en cero, comparamos direcamene con la función x α : x + x α (x + 1(x + 3 x α = x + (x + 1(x + 3 = /3 Como ese límie es finio y no nulo, de acuerdo con el crierio de comparación por paso al límie, la 1 x α inegral dx converge si, y sólo si, la inegral x α dx converge Esa inegral, (x + 1(x + 3 de acuerdo con lo esudiado en la asignaura, converge si, y sólo si, α > 1, es decir, α > 1/ Para la inegral impropia de primera especie dx, como enemos un polinomio 1 (x + 1(x + 3 de grado en el denominador del inegrando, podemos compararla con x α /x = x α : x + x α (x + 1(x + 3 x α = x + x α 1 x (x + 1(x + 3 = De nuevo, como ese límie es finio y no nulo, de acuerdo con el crierio de comparación por paso al x α límie, la inegral dx converge si, y sólo si, la inegral x α dx converge 1 (x + 1(x Esa inegral, de acuerdo con lo esudiado en la asignaura, converge si, y sólo si, α < 1, es decir, α < 1/ Agrupando los resulados, nos queda que la inegral de parida dx converge (x + 1(x + 3 y, por ano, el volumen del cuerpo de revilución es finio, si, y sólo si, 1/ < α < 1/ x α ( Para α = el volumen del cuerpo es finio, de acuerdo con lo viso anes, y vale volumen = π (x + 1(x + 3 dx Para calcular esa inegral, hallaremos una primiiva G(x del inegrando y usaremos la Regla de Barrow para inegrales impropias: volumen = π ( (x + 1(x + 3 dx = π Para hallar G(x, descomponemos en fracciones simples: (x + 1(x + 3 = a x b x + 3 G(x G( x + a(x b(x + 1 = (x + 1(x + 3 Igualando los numeradores, queda = a(x+3+b(x+1 para cualquier valor de x Tomando x = 3 obenemos = b( = b, así que b =, y omando x = 1 queda = a( = a, con lo que a = Alernaivamene, podemos escribir = (a + bx + 3a + b Enonces a y b deben

3 Ejercicios resuelos del segundo examen del curso cumplir a + b = y 3a + b = Despejando de la primera queda b = a y susiuyendo en la segunda a =, luego a = y b = Se haga como se haga, nos queda ( G(x = (x + 1(x + 3 dx = x + 1 x + 3 ( x + 1 = log(x + 1 log(x + 3 = log x + 3 (como sólo necesiamos una primiiva, omamos como consane de inegración c = Como pide el enunciado, comprobemos que la primiiva es correca: G (x = ( log(x + 1 log(x + 3 = x + 1 x + 3 = (x + 1(x + 3 Finalmene, el volumen pedido viene dado por ( volumen = π ( = π log x + ( G(x G( x + x + 1 x + 3 dx ( ( x + 1 = π log log ( 1/3 x + x log(3 = π ( log(1 + log(3 = π log(3

4 Maemáicas II (G I T I EJERCICIO Sea f : R R la función dada por f(x = log(1 + x + 1 x (1 Prueba que f verifica las condiciones del Teorema de Convergencia Global de Newon-Fourier en el inervalo [1, ] ( Halla el cero que iene la función f en el inervalo [1, ] usando el méodo de Newon con una precisión de res cifras decimales Comprueba que el puno x que obienes es realmene un cero aproximado, o sea, que f(x Solución (1 Veamos que f verifica las condiciones del Teorema de Convergencia Global de Newon-Fourier en el inervalo [1, ]: (i La función f cambia de signo en los exremos del inervalo: f(1 = log( > y f( = log(5 3 = 1391 < (ii La función f no cambia de signo en el inervalo: f (x = x x3 x = < para x [1, ] 1 + x 1 + x Lo que nos dice que f es esricamene decreciene en [1, ] (iii La función f no cambia de signo en el inervalo: f (x = 6x (1 + x + x 3 (x (1 + x = 6x x (1 + x < para x [1, ] Lo que nos dice que f es cóncava en [1, ] En consecuencia, se cumplen las condiciones del Teorema de Convergencia Global de Newon- Fourier en el inervalo [1, ] La gráfica de f en [1, ] y el cero x ( El Teorema de Convergencia Global de Newon-Fourier nos dice que omando como puno inicial x el exremo del inervalo en el que f y f ienen el mismo signo, x = en ese caso,

5 Ejercicios resuelos del segundo examen del curso la ieración generada por el méodo de Newon converge al cero x que iene la función f en el inervalo [1, ] Por ano, consruimos la sucesión ierada x = x n+1 = x n f(x n f (x n = x n log(1 + x n + 1 x n x 3 n 1 + x n para n = 1,, y obenemos, rabajando con res cifras decimales, x 1 = 1565, x = 17, x 3 = 165 x = 165 así que deenemos las ieraciones y obenemos x 165 Efecivamene, x es un cero aproximado ya que se iene f(x = Las ieraciones del méodo de Newon

6 6 Maemáicas II (G I T I EJERCICIO 3 (1 Halla el desarrollo en serie de Maclaurin de la función f : R R definida por f(x = x(x + 1e x y deermina el inervalo de convergencia ( Calcula el siguiene límie según los valores de a x f(x(a cos(x log(1 x 3 Solución (1 Pueso que f(x = x(x + 1e x es produco de un polinomio por la función exponencial, usando el desarrollo en serie de Maclaurin de la función exponencial, e x = n= xn /n! que converge en R, y la propiedad del produco obenemos f(x = x(x + 1e x = (x + x (1 + x + x! + x3 = (x + x + x3! + x 3! + + xn (n 1! + = x + x + 3 x3 + ( 6 x + + = x + x + 3 x3 + 6 x + 5 x5 + + = x + x + 3 x3 + 6 x + 5 x ! + + xn n! + + (x + x 3 + x 1 (n 1! + 1 (n! x n (n 1 x n + (n 1! n (n 1! xn + =! + x5 3! + + xn (n! + n=1 n (n 1! xn El radio de convergencia es infinio porque hemos muliplicado dos desarrollos que ienen radio infinio Alernaivamene, el radio de convergencia podría calcularse mediane la expresión r = n a n a n+1 = n n (n 1! n + 1 n! n = n n + 1 = f(x(a cos(x ( Para calcular x log(1 x 3 según los valores de a, usamos infiniésimos equivalenes en x = Del desarrollo en serie calculado en el aparado anerior sabemos que f(x es un infiniésimo equivalene a x Por oro lado, si a 1, enonces a cos(x no es un infiniésimo en, mienras que para a = 1 sabemos que a cos(x = 1 cos(x es un infiniésimo equivalene a x / Finalmene, ambién sabemos, de los conenidos visos en clase, que log(1 x 3 es un infiniésimo equivalene a x 3 Eso ambién puede verse usando el desarrollo en serie de la función log(1 + x con la propiedad de composición: pueso que sabemos que log(1 + x = x x + x3 3 x componiendo con la función x 3 queda + para x < 1, log(1 x 3 = ( x 3 ( x3 + ( x3 3 3 ( x3 + para x < 1

7 Ejercicios resuelos del segundo examen del curso Lo que nos dice que log(1 x 3 es un infiniésimo equivalene a x 3, el primer érmino no nulo de su desarrollo en serie de Maclaurin Enonces, usando las propiedades de los infiniésimos equivalenes, enemos lo siguiene: Caso a 1 (recordemos que, en ese caso, x (a cos(x = a 1 : f(x(a cos(x x log(1 x 3 = x x(a cos(x x 3 = x a cos(x x = Caso a = 1: Luego, en definiiva, f(x(1 cos(x x log(1 x 3 f(x(a cos(x x log(1 x 3 = x x(x / x 3 1/ = x 1 = 1 { si a 1, = 1/ si a = 1

8 8 Maemáicas II (G I T I EJERCICIO Se sabe que A = (3, 1 es el puno inicial de una curva paramerizada por C( = ( x(, y( para [1, ] Se sabe ambién que las componenes x( e y( verifican, respecivamene, las ecuaciones diferenciales xx = log( 3 y + ( 1y + 1 = Con esos daos, halla la ecuación de la reca angene a la curva en su puno final Comprueba que las soluciones de las ecuaciones diferenciales que obienes son correcas Indicación: La primiiva que hay que calcular para deerminar y( es inmediaa Solución Pueso que A = (3, 1 es el puno inicial y el parámero se mueve en [1, ], enemos A = C(1 con lo cual x(1 = e y(1 = 1; esas son las condiciones iniciales que debemos imponer, respecivamene, a las soluciones x( e y( de las ecuaciones diferenciales que se dan Una vez resuelas, el puno final será B = C( = ( x(, y( Empezamos resolviendo el problema de valor inicial para la componene x( xx = log( con x(1 = 3 Para ello, observemos que la ecuación diferencial es una ecuación en variables separadas, así que su solución viene dada por x dx = log( d La primera de esas inegrales es inmediaa x dx = x Para calcular la segunda, empleamos el méodo de inegración por pares omando u = log( y dv =, con lo que du = 1/ y v = / y, por ano, log( d = log( 1 d = log( 1 d = log( + k, donde k es una consane de inegración En resumen, la solución de la ecuación viene dada por x = ( log( 1 + k Imponemos la condición inicial x(1 = 3 para hallar k: 3 = 1( log(1 1 + k = 1 + k, de donde k = = 37 Nos queda, enonces, x = ( log( 1 + k = ( log( Tomando la raíz cuadrada posiiva, ya que x(1 = 3 >, nos queda finalmene ( log( x( = Como se pide en el enunciado del ejercicio, comprobemos la solución Por un lado, ( log( x(x ( log( 1 + (/ ( = ( log( 1 = log( + 37

9 y, por oro, Ejercicios resuelos del segundo examen del curso x(1 = 1 ( log( = 36 La ecuación del problema de valor inicial para la componene y(, = 3 3 y + ( 1y + 1 = con y(1 = 1, es lineal de primer orden y + p(y = q( con p( = 1 y q( = 1 3 Para hallar la solución general, en primer lugar enconraremos la solución general de la ecuación homogénea asociada y + 1 y = y después una solución paricular de la ecuación complea por el méodo de variación de los parámeros Pueso que p( = 1, calculamos su primiiva P ( = ( 1 p( d = d = ( 1 1 d = log( + 1 (no ponemos valor absoluo en el logarimo neperiano porque se mueve en un inervalo en el que es posiivo De acuerdo con lo expueso en la asignaura, la solución general de la ecuación homogénea es (log(+ y (h ( = ce P ( = ce 1 = ce 1/ siendo c una consane real arbiraria Si no recordamos esa fórmula, podemos separar variables en la ecuación homogénea asociada y /y = 1 e inegrar, obeniendo log( y( = ( log( a luego y( = e log( (1/+a y por ano, y (h ( = ce 1/, siendo c una consane real arbiraria Ahora buscamos una solución paricular de la forma y (p ( = v( e 1/ Imponiendo que y (p verifique la ecuación complea, nos queda Simplificando, v e 1/ + v (1/ e 1/ e 1/ + 1 v e 1/ = 1 3 v e 1/ = 1 3 luego v = e1/ e 1/ y, por ano v = d = e 1/, donde hemos usado que, como se indica en el enunciado, la úa inegral es inmediaa consecuencia y (p ( = v( e 1/ 1/ e 1/ = e = 1 De esa manera, la solución general viene dada por En y( = y (h ( + y (p ( = ce 1/ + 1

10 1 Maemáicas II (G I T I Ora opción para resolver la ecuación diferencial es usar direcamene la fórmula que nos da la solución general y( = 1 ( c + q(µ( d µ( donde c es una consane arbiraria y la función µ, el facor inegrane de la ecuación, es la función definida por µ( = e p( d En nuesro caso, como vimos anes, enemos ( 1 p( d = d = log( + 1 con lo que µ( = e p( d = e log(+(1/ = e 1/ Ahora, susiuyendo en la fórmula y empleando la primiiva inmediaa de anes, con lo que la solución general viene dada por q(µ( d = ( 1 e 1/ 3 e1/ d = d = e 1/ y( = 1 ( c + µ( q(µ( d = 1 ( c + e 1/ = ce 1/ + 1 e 1/ Para resolver el problema de valor inicial imponemos y(1 = 1, obeniendo 1 = y(1 = ce 1/ = c e + 1 así que c = y la solución del problema de valor inicial es y( = 1 De nuevo, como se pide en el enunciado, comprobemos que es correca Por un lado, y, por oro, y(1 = 1/1 = 1 3 y + ( 1y + 1 = ( = = Así pues, la paramerización de la curva es C( = ( x(, y( ( log( =, 1, y su puno final es B = C( = ( x(, y( ( log( =, 1 = (31, 5 Para hallar la ecuación de la reca angene en B, necesiamos hallar la derivada de C( C ( = ( x (, y ( ( log( = x(, 1 ( log( luego C ( = x(, 1 = (, 5

11 Ejercicios resuelos del segundo examen del curso En consecuencia, la pendiene de la reca angene a la curva en su puno final B viene dada por m = y ( x ( = 5 = 11 y la ecuación de la reca angene que se pide es y 5 = ( 11(x 31, o sea, y + 11x = 3 La curva y su reca angene en el puno final