IES Fco Ayala de Granada Suplente Junio de 2017 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Granada Suplene Junio de 07 (Modelo 4) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, Suplene Junio 07 (modelo 4) x+ si x < 0 Se sabe que la función f : R R dada por f(x) = x + acos(x) si 0 x < π es coninua ax + b si x π [ 5 punos] Deermina a y b [ puno] Esudia la derivabilidad de f x+ si x < 0 Se sabe que la función f : R R dada por f(x) = x + a cos(x) si 0 x < π es coninua ax + b si x π Deermina a y b Como nos dicen que es coninua en R, lo es ambién en x = 0 y x = π Como f es coninua en x = 0 enemos: f(0) = lim x 0- [f(x)] = lim x 0+ [f(x)] f(0) = lim x 0+ [f(x)] = lim x 0 [ x + a cos(x) ] = (0 + a cos(0) ) = a lim x 0- [f(x)] = lim x 0- [ x + ] = (0 + ) = Igualando enemos a =, de donde a = Como f es coninua en x = π enemos: f(π) = lim x π- [f(x)] = lim x π+ [f(x)] f(π) = lim x π+ [f(x)] = lim x π [ ax + b ] = ( π + b ) = π + b lim x π- [f(x)] = lim x π- [x + a cos(x)] = (π + cos(π) ) = π - Igualando enemos π + b = π -, de donde b = - Los valores pedidos son a = y b = - Esudia la derivabilidad de f Las ramas x +, x + cos(x) y x son derivables en odo R, por lo ano lo son en el inervalo abiero donde esán definidas Sólo nos fala ver la derivabilidad de f en x = 0 y x = π x+ si x < 0 si x < 0 f(x) = x + cos(x) si 0 x < π ; f '(x) = x - sen(x) si 0 < x < π x - si x π x si x > π Vamos a uilizar la coninuidad de la derivada que es más rápido Para que f sea derivable en x = 0 se iene que verificar: f (0 - ) = f (0 + ) f (0 - ) = lim x 0- [f (x)] = lim x 0- [] = f (0 + ) = lim x 0+ [ f (x)] = lim x 0+ [x sen(x) ] = 0 sen(0) = 0 Como f (0 - ) = f (0 + ) = 0, la función f no es derivable en x = 0 Para que f sea derivable en x = π se iene que verificar: f (π - ) = f (π + ) f (π - ) = = lim x π- [f (x)] = = lim x π- [x sen(x)] = (π sen(π)) = π f (π + ) = lim x π+ [ f (x)] = lim x π+ [x] = π Como f (π - ) = f (π + ) = π, la función f si es derivable en x = π, si x < 0 por ano f es derivable en R {0}, y su derivada es: f '(x) = x - sen(x) si 0 < x < π x si x π Ejercicio opción A, Suplene Junio 07 (modelo 4) Considera la función dada por f(x) = + x para x [,] [0 5 punos] Expresa la función f definida a rozos [ punos] Halla - f(x)dx Considera la función dada por f(x) = + x para x [,] germanjss@gmailcom

2 IES Fco Ayala de Granada Suplene Junio de 07 (Modelo 4) Germán-Jesús Rubio Luna Expresa la función f definida a rozos -x si x < 0 Sabemos que x =, por ano +x si x 0 Halla - f(x)dx f(x) = - x si - x < 0 + x si 0 x - x si - x < 0 Como f(x) =, vamos a calcular la inegral indefinida de cada rama por separado, y + x si 0 x después las junaremos en la inegral definida que me piden Ambas inegrales son inegrales por cambio, en la primera - x = y en la segunda + x =, después quiaremos el cambio - x = ( - x ) Quio ( - x) I = - x dx = x = - = (-)d = - d = - = = - = - cambio dx = -d + x = ( + x ) Quio ( + x) I = + x dx = x = - = ()d = d = = = = cambio dx = d La inegral pedida es 0 0 f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx = - x dx + + x dx = ( - x) ( + x) (-0) ( -(-) ) (+) ( +0) = - + = = = = = Ejercicio opción A, Suplene Junio 07 (modelo 4) Considera las marices A= 0 y B= [ 5 punos] Calcula la mariz inversa de (A + B) [ 5 punos] Calcula el deerminane de A (A + B), siendo (A + B) la mariz raspuesa de A + B Considera las marices A= 0 y B= Calcula la mariz inversa de (A + B) Llamamos C = A + B = = 0 5 La mariz C = A + B iene inversa si de(c) = = 0 0 Adjunos Como de(c) = = C = Adj(C ) 0 5 primera 4 0 fila = -(0-0) + (-0) = 4 0, exise la mariz inversa 0 4 Calculamos C = Adj(C ) = 4; C = 0 ; Adj(C ) = , por ano la mariz 4 - germanjss@gmailcom

3 IES Fco Ayala de Granada Suplene Junio de 07 (Modelo 4) Germán-Jesús Rubio Luna / /6 5/4 - inversa es C = Adj(C ) = 0-8 5/6 -/ / = (A + B) 4 = 4 - / /6 -/4 Calcula el deerminane de A (A + B), siendo (A + B) la mariz raspuesa de A + B De las propiedades de los deerminanes, sabemos que de(c T ) = de(c), y de(a - ) = /de(a) También sabemos que de(k A) = k n de(a), siendo n el orden de la mariz A, en ese caso Calculamos de(a) = = (-) () (-) = 4, pueso que en una mariz riangular su deerminane es el produco de los elemenos de la diagonal principal de(a (A + B) = de(a ) de(a + B) = de(a ) de(a + B) = [ /de(a)] de(c) = [ /(de(a) )] de(c) = = [8/(4)] 4 = 4 = 48 Ejercicio 4 opción A, Suplene Junio 07 (modelo 4) Considera los vecores u = (,,4), v = (-,-,-) y w = (-,λ,-5) siendo λ un número real [ 5 punos] Halla los valores de λ para los que el paralelepípedo deerminado por u, v y w iene volumen 6 unidades cúbicas [ 5 punos] Deermina el valor de λ para el que u, v y w son linealmene dependienes Considera los vecores u = (,,4), v = (-,-,-) y w = (-,λ,-5) siendo λ un número real Halla los valores de λ para los que el paralelepípedo deerminado por u, v y w iene volumen 6 unidades cúbicas Sabemos que el volumen del paralelepípedo que deerminan los vecores u, v y w, es el valor absoluo (lo noaremos ) del produco mixo (lo noaremos con corchees [ ]) de los res vecores u, v y w 4 C - C Adjunos Tenemos, volumen = 6 = [u, v y w] = de(u,v,w) = = -(-) (-4 - λ - ) = -6 - λ Tenemos la ecuación -6 - λ = 6, que no da lugar a dos ecuaciones: +(-6 - λ) = 6 y (-6 - λ) = 6 De -6 - λ = 6 - = λ, luego λ = -6 De 6 - λ = 6 0 = λ, luego λ = = segunda = - λ -5 C - C - λ+ -4 fila Luego los valores de λ para los que el paralelepípedo deerminado por u, v y w iene volumen 6 unidades cúbicas son λ = -6 y λ = 0 Deermina el valor de λ para el que u, v y w son linealmene dependienes Los vecores u, v y w son linealmene dependienes si y solo si de(u,v,w) = 0 4 C - C Adjunos de(u,v,w) = 0 = = segunda - λ -5 C - C - λ+ -4 fila = -(-) (-4 - λ - ) = -6 - λ = 0 De -6 - λ = 0, enemos λ = -, es decir para λ = - los vecores u, v y w son linealmene dependienes Opción B Ejercicio opción B, Suplene Junio 07 (modelo 4) cos(x) [ 5 punos] Calcula lím - x 0 x sen(x) cos(x) sen(x) - x cos(x) sen(0) - 0 cos(0) 0 lím - = lím = = x 0 x sen(x) x 0 x sen(x) 0 sen(0) 0 germanjss@gmailcom

4 IES Fco Ayala de Granada Suplene Junio de 07 (Modelo 4) Germán-Jesús Rubio Luna Le aplicamos la regla de L Hôpial (L H) (Si f y g son funciones coninuas en [a -δ, a + δ], derivables en f(x) 0 f '(x) (a - δ, a + δ), verificando que f( = g( = 0 y lim =, enonces si exise lim se verifica que x a g(x) 0 x a g '(x) f '(x) f(x) lim = lim x a g '(x) x a g(x) La regla se puede reierar, y ambién es válida si enemos /, y si x ), con lo cual enemos: sen(x) - x cos(x) 0 cos(x) - ( cos(x)+x (-sen(x)) x sen(x) lím = ; L' H = lím = { Opero } = lím = x 0 x sen(x) 0 x 0 sen(x) + x cos(x) x 0 sen(x) + x cos(x) 0 sen(x) + x cos(x) sen(0) + 0 cos(0) = ; L' H = lim = = = = 0 0 x 0 cos(x) + cos(x) + x (-sen(x)) cos(0) + cos(0) + 0 (-sen(0)) Ejercicio opción B, Suplene Junio 07 (modelo 4) [ 5 punos] Sea f : R R la función definida por f(x) = x arcan(x) Deermina la primiiva de f cuya gráfica pasa por el puno (0,π) Calculamos primero la inegral indefinida, es decir una primiiva F de f F(x) = x arg(x)dx, vemos que es una inegral por pares ( u dv = u v v du) dx u=arg(x) du= F(x)= x arg(x)dx = = arg(x) = arg(x) - = arg(x) - I x +x +x dv=xdx v= xdx= +x x x dx x x dx x x dx +x -dx +x dx dx dx I = = = - = dx - = x - arg(x) +x +x +x +x +x Luego x x x F(x) = x arg(x)dx = arg(x) - I = arg(x) - (x - arg(x)) + K = arg(x) + arg(x) - x + K, es x decir F(x) = arg(x) + arg(x) - x + K La primiiva F(x) que pasa por el puno (0,π), verifica F(0) = π, en nuesro caso: 0 F(0) = arg(0) + arg(0) - (0) + K = π, es decir K = π, y la primiiva pedida es: x F(x) = arg(x) + arg(x) - x + π Ejercicio opción B, Suplene Junio 07 (modelo 4) 0 [ 5 punos] Considera las marices A=, B= 0 y C= - Deermina, si exise, la mariz X que verifica que ABX C = CX 0 Considera las marices A=, B= 0 y C= - Deermina, si exise, la mariz X que verifica que ABX C = CX De ABX C = CX, enemos ABX CX = C, luego (AB C) X = C En principio la operación maricial (AB C) X = C iene senido Llamamos D = AB C = - - = = La ecuación (AB C) X = C, se reduce a D X = C germanjss@gmailcom 4

5 IES Fco Ayala de Granada Suplene Junio de 07 (Modelo 4) Germán-Jesús Rubio Luna Como de(d) = D = 6 - Adjunos 9 - ercera 0 0 fila = +(-4 + ) = - 0, exise la mariz inversa D = Adj(D ) D Calculamos D = Adj(D ) D = -; D = D ; Adj(D ) = - 5, por ano la mariz inversa es D = Adj(D ) = D - = Como exise la mariz inversa D -, muliplicando por la izquierda la expresión D X = C, enemos D - D X = D - C I X = D - C X = D - C La mariz pedida es X = D - C = = = Ejercicio 4 opción B, Suplene Junio 07 (modelo 4) x = + λ Sea r la reca que pasa por A(4,,6) y B(,0,0) y sea s la reca dada por y = λ z = - λ [ 5 punos] Deermina la posición relaiva de r y s [ 5 punos] Calcula, si exisen, los punos C de s ales que los vecores CA y CB son orogonales x = + λ Sea r la reca que pasa por A(4,,6) y B(-,0,0) y sea s la reca dada por y = λ z = - λ Deermina la posición relaiva de r y s De la reca r omamos un puno, el B(-,0,0) y un vecor direcor, el BA = (6,,6), oro es el u = (,,) Un puno D de s es D(,0,) y un vecor direcor es v = (,,-) Como los vecores u de r y v de s no son proporcionales, las reca r y s se coran o se cruzan Si de(bd, u, v) = 0, r y s se coran, con BD = d b = (4,0,) Si de(bd, u, v) 0, r y s se cruzan Adjunos Como de(bd, u, v) = F - F = 0 4 segunda = -() (6-) = -5 0, r y s se cruzan - - columna Calcula, si exisen, los punos C de s ales que los vecores CA y CB son orogonales De la reca s(d;v) omamos un puno genérico C(x,y,z) = C(+λ, λ, -λ) CA = a - c = (4--λ, -λ, 6-+λ) = (-λ, -λ, 5+λ) CB = b - c = (---λ, 0-λ, 0-+λ) = (-4-λ, -λ, -+λ) CA y CB son orogonales si y solo si su produco escalar ( ) es cero CA CB = 0 = (-λ, -λ, 5+λ) (-4-λ, -λ, -+λ) = (-λ) (-4-λ) + (-λ) (-λ) + (5+λ) (-+λ) = = λ + λ λ - λ + 4λ + 8λ - 5 = 6λ + 7λ - = 0-7 ± ± 9 λ = =, de donde λ = y λ = -/6 CA y CB son orogonales omando λ = y λ = -/6 germanjss@gmailcom 5