GUÍA DE EJERCICIOS II

Transcripción

1 Faculad de Ingeniería UCV Álgebra ineal Geomería Analíica Ciclo Básico GUÍA DE Encuenre las ecuaciones de la reca que a) iene vecor direcor v (,, ) pasa por el puno P ( 4, 5, ) b) pasa por los punos A (4,, ) B (,, 5) os vecores v (, 6, 7) v (,, 4) son los vecores direcores de las recas Encuenre un vecor direcor para la reca, si se sabe que ella es perpendicular, ano a como a a reca pasa por los punos A ( 6,, ), B (,, 7) la reca pasa por los punos C (4,,), D (,, 5) Encuenre la medida del ángulo agudo formado por 4 Encuenre las coordenadas del puno de inersección de la reca que pasa por los punos A (, 5, ) B (,, 6) con la reca que pasa por los punos C ( 5,, ) D ( 9, 5, 6) 5 Sean la reca que coniene al puno A (,, ) es paralela a la reca que pasa por B (,, 0) C ( 4,, 7) la reca que pasa por E(,, 8) F ( 0,, ) Demuesre que se coran encuenre las coordenadas del puno de inersección 6 Halle las coordenadas del puno P ( x, donde la reca, que pasa por los punos A (,, 7) B (,, 8), inerseca al plano XZ 7 Una reca pasa por los punos A (,, ) B ( 5,, ) ora pasa por el puno C ( 4,, 6) P ( x, cua coordenada x es Encuenre las oras coordenadas de P si es paralela a 8 Encuenre la ecuación caresiana del plano π que a) pasa por el puno A ( 4,, 9) es perpendicular al eje Z b) pasa por el puno A (, 5, ) iene al vecor n (, 4, ) como vecor normal c) coniene a los punos A (,, 4), B (, 5, 7) C (,, ) d) pasa por el puno A ( 6, 4, ) es perpendicular a la reca deerminada por los punos B ( 7,, ) C (, 4, 5) e) pasa por el puno A (,, 6) es paralelo al plano de ecuación π : 4 z + 0 f) es perpendicular al plano de ecuación π : 4x + z 9 0 pasa por los punos A (, 6, 4) B (, 7, 5) g) pasa por el puno A ( 4,, 5) es perpendicular a cada uno de los planos π : x + 4z 9 0 π : x + z + 0 h) coniene al eje Z pasa por el puno A (,, 6) 9 Demuesre que los cuaro punos A (,, ), B (, 5,), C ( 6, 7, 9) D (, 4, ) son coplanares 0 Encuenre la medida del ángulo agudo que forman los planos π : x + z + 0 π : x + 4z 9 0 Encuenre la medida del ángulo agudo que forma el plano π : 5x + 4 z con el plano XY Deparameno Maemáica Aplicada

2 Faculad de Ingeniería UCV Álgebra ineal Geomería Analíica Ciclo Básico Encuenre el valor de k para que los planos de ecuaciones π : kx + z 7 0 π : 4x + k 6z sean perpendiculares enre si Encuenre la disancia del puno A (, 4, ) al plano de ecuación π : x + 4z Considere el plano de ecuación π : x + z 8 0 el puno A (,, 6) Encuenre la ecuación del plano π que pasa por A es paralelo a π Encuenre la disancia del puno A al plano π 5 Encuenre la disancia enre los planos paralelos de ecuaciones π : 8x 4 + z π : 8x 4 + z Demuesre que la disancia que exise enre los planos paralelos π Ax + B + Cz + D 0, D D π : Ax + B + Cz + D 0 viene dada por d( π, π ) A + B + C : 7 Halle la ecuación caresiana del plano π que es paralelo al plano de ecuación π : x + z 9 0 esá a dos unidades de él 8 Encuenre el coeficiene k en la ecuación del plano π : kx + 6z de manera que su disancia al puno A (,, ) sea igual a unidades 9 Encuenre la ecuación caresiana del plano que pasa por el puno A (,, 4) coniene a la reca definida por la inersección de los planos de ecuaciones π : x + z 4, π : x + z 6 Encuenre además, la ecuación vecorial de 0 Encuenre las ecuaciones caresiana vecorial del plano π que coniene la reca de inersección de los planos de ecuaciones π : x + z π : 4x + z es perpendicular al plano de : x 4 z ecuación π 9 Encuenre la ecuación del plano que es perpendicular a la reca de inersección de los planos π : x + z 4 π : x + z que coniene al puno P (6, 0, ) Encuenre la ecuación caresiana del plano π que coniene la reca de inersección de los planos π : x + z π : x + + z 9 0 es paralelo a la reca que iene vecor direcor v (,, ) a disancia del plano π al puno A (,, 0) es 5/ Si el plano π coniene a la reca definida por la inersección de los planos de ecuaciones π : 4x z + 0 π : x + z 0, encuenre su ecuación caresiana 4 Encuenre la ecuación simérica de la reca que pasa por el puno A ( 7,, 5) es perpendicular a cada una de las recas cuos vecores direcores son v (4,, ) v (,, ) 5 Encuenre las ecuaciones paraméricas de la reca que pasa por el puno A (,, 4) es paralela a x 4 5 la reca de ecuación : + + z 6 Deparameno Maemáica Aplicada

3 Faculad de Ingeniería UCV Álgebra ineal Geomería Analíica Ciclo Básico 6 Encuenre la medida del ángulo agudo que forman las recas de ecuaciones x z + 9 : 4 x z + : Demuesre que la reca de inersección de los planos de ecuaciones de ecuaciones π : x + + z π : 4x + + z + 0, es paralela al plano de ecuación π : x 4z Encuenre la medida del ángulo agudo que forman las recas de ecuaciones x + z + 0 x + z 9 0 x + + z : 4 9 Encuenre el ángulo agudo que forman la reca π : x + z + 0 x 4 : + z el plano 0 Cuál es la disancia más cora enre las dos recas x + z + 0 x + + z + 0 x z 0? x z 7 0 x + z Demuesre que la reca : 6 6 encuenre la disancia que ha enre ellos el plano π : x + + 6z + 0 son paralelos Encuenre la disancia del puno A (7, 7, 4) a la reca de ecuación 6x + + z 4 0 6x z 0 0 Encuenre la disancia del puno A (,, ) a la reca de ecuación x 7 + z : 6 4 Sea la reca deerminada por la inersección de los planos π : x + z π : x + z 4 Encuenre el puno P de más cercano al puno C (, 0, ) calcule la disancia de P a C 5 Encuenre la ecuación del plano π que coniene a la reca inersección de los planos π : 4x z 6 π : x + + z 7 pasa por el puno P(0,, ) 6 Encuenre la ecuación del plano π que coniene a la inersección de los planos π : x + + z ; π : 4x + 7z 5 π : x + 8z es paralelo a la reca que pasa por los punos P(,, ) Q(,,0) 7 Sea P el puno inersección del plano π : x + 5 z la reca x : + 4 z Encuenre la ecuación del plano π que coniene la inersección de los planos π : x + z 5 π : x + z pasa por el puno P Deparameno Maemáica Aplicada

4 Faculad de Ingeniería UCV Álgebra ineal Geomería Analíica Ciclo Básico 8 Considere el plano de ecuación π : x + z + 0 los punos P (,, ) P (0, 0, ) Encuenre: a) a disancia del puno P al plano π b) a ecuación vecorial de la reca que pasa por P es perpendicular al plano π c) as coordenadas del puno P del plano π que esá más cerca de P d) a medida del ángulo que forma la reca, que pasa por P P, con la reca e) El área del riángulo cuos vérices son los punos P, P P 9 Dados los planos π, π, el puno P la reca : π : x + + 4z 5 ; π : x + z ; P (, 0,) ; : ( x, (, 4, ) + (, 0, ) : R Encuenre: a) a ecuación del plano que coniene a a P b) a disancia del puno P a la reca de inersección de los planos π π c) as ecuaciones de los planos que conienen a disan 4 unidades del puno P 40 Considere el plano de ecuación π : ( x, x) (,,0) + (,,) + s (,, ) :, s R el puno P (4, 4,4) Encuenre: a) a ecuación caresiana del plano π b) a disancia de P al plano π c) as coordenadas del puno P de inersección del plano π con la reca que pasa por P iene vecor direcor v (0,, ) d) a ecuación caresiana del plano π que coniene a la reca es perpendicular al plano π e) a medida del ángulo que forman las recas con el plano π 4 Considere la reca de ecuación vecorial : ( x, (,, ) + (,, ) : R el plano de ecuación caresiana es π : x 5 + z 0 Encuenre: a) El vecor proección orogonal del vecor direcor de sobre el normal al plano π b) a ecuación caresiana del plano π que coniene a c) a disancia del origen al plano π 4 Dados el plano de ecuación π : x + + z 5 la reca de ecuación : ( x, (, 4, ) + (, 0, ); R Encuenre: a) a medida del ángulo que forman la reca el plano π b) a ecuación del plano π que es perpendicular a π coniene a c) as coordenadas de los punos de la reca que disan 0 unidades del plano π 4 x z x + + z + Considere las recas de ecuaciones : : Encuenre: a) a disancia enre las recas b) a ecuación vecorial del plano π que coniene a pasa por el origen c) as coordenadas de los punos Q Q de que disan unidades del plano π 5 d) os punos P de ales que el volumen del eraedro definido por los vecores sea de 6 unidades cúbicas OQ, OQ, OP Deparameno Maemáica Aplicada 4

5 Faculad de Ingeniería UCV Álgebra ineal Geomería Analíica Ciclo Básico 44 a) x z + x z + Compruebe que las recas de ecuaciones : : 4 coran perpendicularmene b) Encuenre la ecuación caresiana del plano π que coniene a las recas c) Calcule la disancia del origen al plano π se 45 x z + 5 Considere la reca de ecuación : el plano de ecuación π : x + + z Encuenre: a) El puno P de inersección de la reca el plano π b) as ecuaciones paraméricas de la reca que pasa P cuo vecor direcor v iene componenes iguales posiivas v c) a medida del ángulo agudo formado por las recas d) a ecuación caresiana del plano π que pasa por el origen es paralelo a e) a disancia del plano π a las recas 46 Dada la reca de ecuación encuenre: a) El puno de inersección Q de la reca con el plano π : x z el plano de ecuación π : x + 5z 0, b) os punos P P de que disan 8 / 5 unidades del plano π c) El área del paralelogramo que deerminan los vecores OP OP, donde el puno O es el origen de coordenadas 47 x 5 + z 8 x 4 z + Considere las recas de ecuaciones : ; : el puno 5 Q (,, ) Encuenre: a) El puno P de inersección de las recas b) a ecuación caresiana del plano π que coniene a las recas c) a disancia del puno Q al plano π d) as ecuaciones paraméricas de la reca que pasa por los punos P Q 48 x z 5 Considere la reca de ecuación : el plano de ecuación π : x + 4z 9 0 Encuenre: a) a ecuación vecorial de la reca que pasa por el puno P de inersección de la reca el plano dados es orogonal a la reca paralela al plano π b) os punos Q Q de la reca que disan 4 / 9 unidades del plano π c) a ecuación caresiana del plano π que coniene a los punos Q Q la reca d) a disancia de la reca a la reca 4 que es paralela a la reca pasa por el origen Deparameno Maemáica Aplicada 5

6 Faculad de Ingeniería UCV Álgebra ineal Geomería Analíica Ciclo Básico 49 x 4 z 8 Considere las recas de ecuaciones : de ecuación π : x + + z 0 Encuenre: x + z 5 : el plano a) a disancia del puno P de inersección de las recas al plano π b) a ecuación de la reca que pasa P es perpendicular a cada una de las recas c) a ecuación del plano π que coniene a las recas d) El coseno del ángulo formado por los planos π π e) os punos Q de la reca que disan 4 unidades del plano π 50 Dadas las recas definidas por: + α : x + z α ; Encuenre: a) El valor de α para el cual son orogonales b) Para α, la disancia enre las recas αx + + z x + + z Deparameno Maemáica Aplicada 6