Funciones trigonométricas

Transcripción

1 0 Funciones rigonoméricas Tenemos en el plano R² la circunferencia C de radio con cenro (0,0. En ella disinguimos el puno (,0, que es el puno de inersección dec con el semieje de las x posiivas. Si pariendo de dicho puno en senido anihorario, marcamos sobre C un arco P C. de longiud, ése deermina un puno ( y( P( x( Figura 4 El puno ( enemos un único puno P (. Enonces P( es una función de. El puno P( deerminado por sus coordenadas P( = ( x(,y( P obviamene depende de nuesra elección de y es claro que para cada 0 en R² esá y por lo ano, cada una de esas coordenadas es una función de longiud del arco. Como sabemos, la longiud de la circunferencia C es y enonces, para cada al que 0 <, enemos un puno enc. Recíprocamene, odo puno dec es P ( para algún que cumple 0 <. Por ora pare es claro que P ( = P( 0 = (,0 y que si omamos < 4, volvemos a recorrer nuesra circunferencia. Más aún eso ocurre en cada inervalo [ k, ( k +. Es decir, cada vez que oma un valor de la forma k, el puno P ( vuelve a empezar a recorrer la circunferencia en senido anihorario y da una vuela complea cuando recorre el ciado inervalo [k, ( k +. Podemos ahora exender la definición de nuesra función P( a odos los números reales. Nos fala definir P en los < 0, en ese caso, definimos P( como el puno de C cuyo arco iene longiud, medido desde (,0 en senido horario sobrec. Veamos algunos ejemplos.

2 P = (0, P = 4 P = 4,, P = (0, (Piágoras Calcular las coordenadas de ejercicio. P es levemene más complicado, pero será un buen 3 P(/3 /3 (0,0 (,0 Figura 5 Observando la figura vemos marcado enc el arco de longiud, que es un sexo de la 3 longiud de la circunferencia. De la geomería elemenal sabemos que la cuerda de ese arco es exacamene el radio de la circunferencia. Eso nos dice que el riángulo {(0,0, (,0, P } es equiláero. Enonces la alura por el vérice P cora a la base opuesa en su 3 3 puno medio y así x 3 =. Por ora pare la longiud de la alura, que no es ora cosa 3 que y, se calcula ahora fácilmene por el eorema de Piágoras y resula y 3 3 =. Las funciones x( e y( ienen desde la anigüedad nombres propios que es úil respear, son las llamadas funciones rigonoméricas seno y coseno.

3 (4 x ( = cos ( (coseno de, y( = sen ( (seno de Asociadas a esas dos funciones básicas se definen oras cuaro funciones rigonoméricas del arco. Ellas son: angene, coangene, secane y cosecane. sen ( (5 g ( = (angene de cos ( Esa función no esá definida para aquellos que hacen cos = 0. Esos son los de la forma = ( k + con k Ζ (6 cos ( cog ( = sen ( (coangene de La coangene no esá definida para aquellos que hacen sen = 0. Esos son los de la forma =k, conk Z. (7 sec ( = cos ( (secane de (8 (8 cosec ( = sen ( (cosecane de Esas dos úlimas funciones ienen los mismos dominios que g ( y cog (, respecivamene. Las funciones g ( y cog ( ienen un ineresane significado geomérico que se ve en la figura 6. cog( g(

4 3 C A O B D Figura 6 El riángulo OBA es semejane al ODC y eso implica long ( CD sen ( = = g ( long ( OD cos ( Pero long (OD = y así long (CD = g (. Dejemos a cargo del lecor la area de verificar, de modo oalmene análogo, que el segmeno indicado en la figura es cog (. Una relación fundamenal liga a las funciones sen ( y cos (: (9 sen ( + cos ( = para odo que es consecuencia inmediaa de que, para cada circunferencia C., P ( es un puno en la De esa igualdad pueden derivarse varias oras por simple cálculo algebraico. Por ejemplo g ( + cog ( = sec (.cosec (. Esa relación vale sólo en los punos donde odas las funciones involucradas esán definidas. Veamos cómo se demuesra. sen ( cos ( sen ( + cos ( g ( + cog ( = + = = cos ( sen ( sen (.cos ( = = sec (. cosec ( sen ( cos ( Como P( esá en la circunferencia C, ninguna de sus coordenadas puede ener valor absoluo mayor que. (0 cos ( y sen (.

5 4 Resula ahora, en forma inmediaa, de (7 y (8 que ( sec ( y cosec ( para odo donde ellas esán definidas. Ora propiedad imporane y que es consecuencia inmediaa de la descripción de la función P (, es ( sen( + k = sen cos( + k = cos k Ζ, k Ζ, Además, la simple observación de la circunferencia C, nos permie ver que cos ( = cos ( (3 sen ( = sen ( g ( = g ( Las igualdades (3 nos dicen que coseno es una función par, mienras que seno angene son funciones impares. y Sin duda, el lecor puede descubrir fácilmene oras idenidades como (4 sen ( = cos (5 cos ( = sen Una fórmula muy imporane y de la cual se obienen muchas oras (en paricular, permie dar una prueba de (4 es la de cos( donde y son dos arcos dados. Para los arcos y P en C y para el arco ( el correspondiene puno P(. De la definición de la función P sigue que el arco de C enre P ( y P ( iene exacamene la misma longiud que el arco (,0 a P( (Haga un dibujo para el caso >. Esa longiud es. consideramos los punos P ( y ( es, por definición, la disancia de d ( P,P( y la longiud de la cuerda (,0 a P( es de d ((,0,P(. De la geomería elemenal sabemos que: a arcos iguales en la circunferencia C, corresponden cuerdas iguales. Enonces enemos La longiud de la cuerda enre P ( y P(

6 5 (6 d ( P(, P( = d ((,0,P( Calculemos cada una de esas disancias al cuadrado d(p(,p( = (cos ( cos ( + (sen ( sen ( = = cos ( cos ( cos ( + cos ( + sen ( sen ( sen ( + sen ( = = cos( cos( sen( sen d P(,(0, = [cos( ] + sen ( = ( = cos ( cos( + + sen ( = cos( Ahora sigue de (6 que (7 cos( = cos ( cos ( + sen ( sen (. El lecor puede ahora obener una demosración algebraica de (4 poniendo = y = en (7. Por ora pare, para obener (5 basa reemplazar en (4 en lugar de. De (7 se pueden derivar muchas fórmulas úiles. Por ejemplo cos( + = cos( ( = cos ( cos ( + sen ( sen ( de donde, por (3, obenemos (8 cos( + = cos ( cos ( sen ( sen ( De modo análogo se hace sen( + = cos( ( + = cos(( = = cos ( cos ( sen( sen ( de donde, gracias a (4 y (5, resula (9 sen( + = sen ( cos ( + cos ( sen ( Hemos mencionado de esa manera las fórmulas que, según creemos, son las más comúnmene usadas. Cualquier libro de rigonomería encierra un gran número de fórmulas y relaciones enre las disinas funciones rigonoméricas.

7 6 El lecor que ha alcanzado ese puno puede, sin mayores dificulades, leer por su cuena y adquirir un buen manejo de esos resulados. Para esas noas eso no será necesario. Usando la información que enemos sobre el seno y el coseno, el lecor puede ahora convencerse de que los gráficos de esas dos funciones son los siguienes. y = sen ( y = cos ( Figura 7 Para la angene en cambio, usando el significado geomérico descrio, no es difícil visualizar su gráfico como

8 7 Figura 8 Es de desacar que la función angene nos ayuda a dar un senido más geomérico a la pendiene de una reca, no paralela al eje y, en el plano R². Sea y = ax + b una reca en el plano R². Su pendiene es a y su ordenada al origen b y sabemos que esa reca es paralela a la reca y = ax, que pasa por el puno (0, 0. Esa úlima cora a la circunferencia C y deermina, con el eje x, un arco como indica la figura 9. P( y = a x Figura 9

9 8 El puno P ( = (cos (, sen ( esá en la reca y por lo ano sus coordenadas deben saisfacer su ecuación. Es decir sen = a cos de donde resula sen ( (30 a= = g ( cos ( Nóese que el ángulo que forma la reca y = ax + b con el eje x es el mismo que el de la reca paralela y = ax. Ese ángulo es jusamene nuesro arco ya que el radio dec es. Enonces podemos escribir lo siguiene. Proposición. La pendiene de una reca no paralela al eje y es igual a la angene del ángulo que forma con el eje x. Las funciones rigonoméricas son muy usadas en Geodesia y Asronomía, donde las mediciones direcas de disancias son difíciles y muchas veces imposibles. Veamos el ejemplo más sencillo de ese ipo de problema. Se coloca uno a una disancia d (que suponemos conocida de la base de una columna cuya alura queremos conocer. Con una regla y un ransporador (a la manera de improvisado eodolio se mide, con la mayor precisión posible, el ángulo β enre la horizonal en los ojos del observador y la reca que une el ojo del observador con el ope de la columna. Ahora enemos que, si s es la alura a los ojos del observador y h es lo que mide el reso de la columna (ver figura 0, la alura buscada es h + s. β h s d s Figura 0 Afirmamos que h=d g β, lo que es muy fácil probar. Como se ve en la figura, si la base del riángulo pequeño es, su alura es g ( β. La semejanza de los dos riángulos d h nos da =, g ( β y eso implica claramene nuesra afirmación. h β d Figura

10 En general ese procedimieno nos permie averiguar la medida de los lados de un riángulo recángulo, conociendo uno de los ángulos que no es reco y uno de los lados. Esa aplicación de las funciones rigonoméricas, es muy úil y se conoce usualmene como resolución de riángulos. Veamos cómo debemos proceder. Dado un riángulo ABC, sea α el ángulo en A. Trazando la circunferencia de radio uno con cenro en A (suponemos que la unidad es menos que long AB, obenemos el puno P de core con el lado AC (hipoenusa. Sea Q el puno que corresponde a la inersección del lado AC con la perpendicular al lado AB que pasa por P (Figura. C 9 P A Q Figura B Enonces el riángulo ABC es semejane al AQP y sabemos que long AP =. long( CB Luego long( AC long = long ( PQ ( AP = longpq = sen α longpq = sen α y Eso es lo que usualmene se expresa diciendo que el seno de α es el caeo opueso sobre la hipoenusa. Con un razonamieno análogo se iene long long ( AB ( AC = cos α long( CB y long( AB = g α o sea que cos α es caeo adyacene sobre hipoenusa y g α es caeo opueso sobre caeo adyacene. Así por ejemplo, si la hipoenusa mide 4 y el ángulo α es / 3, el caeo BC mide 4 sen α = 4 3/ = 3 y el caeo AB mide 4 cos α = 4/ =.