MATEMÁTICAS II TEMA 5 Ecuaciones de rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas Problemas propuestos

Transcripción

1 Geomería del espacio ecuaciones de recas planos; posiciones relaivas MATEMÁTICAS II TEMA Ecuaciones de recas planos en el espacio. Posiciones relaivas Problemas propuesos Ecuaciones de recas planos. Halla, en sus diferenes formas, las ecuaciones de la reca definida por el puno A(,, ) el vecor v = (,, ). Perenecen los punos P(,, ) Q(,, ) a la reca obenida?. Halla las ecuaciones de la reca s que pasa por los punos A(,, 4) B(,, ).. Halla la ecuación del plano deerminado por los punos A = (,, ), B = (,, ) C = (,, ). 4. Halla la ecuación del plano deerminado por los punos A(,, ), B(,, ) C(, 4, ). Perenecen los punos P(,, ) Q(, 4, ) al plano obenido?. Calcula b para que los punos A(,, ), B(,, b) C(,, ) deerminen un plano que conenga al puno P(,, ). Cuál es la ecuación de dicho plano? 6. Deermina la ecuación del plano que pasa por el puno A(,, ) iene por vecor normal a v = (,, ). Halla oro puno P del plano comprueba que el vecor AP es perpendicular a v. 7. Halla las ecuaciones del plano que coniene al puno P(,, ) a la reca r Halla la ecuación del plano que coniene al puno P(,, ) a la reca r. 9. Obén las ecuaciones de las recas que deerminan los ejes caresianos.. Obén las ecuaciones de los planos caresianos. Oras formas de deerminación de planos recas. Halla las ecuaciones paraméricas de la reca r inersección de los planos de ecuaciones = = 4 Indica uno de sus punos su vecor de dirección.. (Propueso en Selecividad en, Aragón) Halla la ecuación del plano paralelo a las recas de ecuaciones r, s que pasa por el puno A(,, ). José María Maríne Mediano

2 Geomería del espacio ecuaciones de recas planos; posiciones relaivas. Halla la ecuación del plano que coniene a los punos P(,, ) Q (,, ) es paralelo a la reca r. 4. Halla la ecuación del plano que pasa por el puno P (,, 4) es paralelo a las recas r r, de ecuaciones r ; r. Dada la reca la reca r el puno A(,, ), calcula a) Un vecor direcor de la reca r. b) El plano que coniene a la reca r al puno A. 6. Halla la ecuación general del plano que coniene a la reca r es paralelo a la reca r. 7. Halla la ecuación de la reca que pasa por el puno P(,, ) es paralela a r Halla ambién la ecuación del plano que conenga a ambas recas. Oros problemas (I) 8. Dibuja el riángulo de vérices los punos A(,, ), B(,, ), C(,, ). Halla la ecuación del plano que lo coniene. 9. (Propueso en Selecividad en, Casilla la Mancha) Calcula el área del riángulo cuos vérices son los punos de inersección del plano con los ejes de coordenadas.. Sean A, B C los punos de inersección del plano de ecuación 4 4 con los res ejes coordenados OX, OY OZ, respecivamene. Calcula a) El área del riángulo ABC. b) El perímero del riángulo ABC. c) Los res ángulos ineriores del riángulo ABC.. Dados los punos A(,, ) B(,, ) la reca r, halla un puno C r de forma que el riángulo ABC sea recángulo con el ángulo reco en C. José María Maríne Mediano

3 Geomería del espacio ecuaciones de recas planos; posiciones relaivas Posiciones relaivas de dos res planos. Halla la posición relaiva de los pares de planos siguienes. Si se coran, halla la ecuación de la reca que deerminan. a). b). c) 6 4. Dados los planos de ecuación k k k a) Esudia, en función del parámero k, su posición relaiva. b) Eise algún valor de k para el que los planos sean perpendiculares? 4. Halla la posición relaiva de los res planos siguienes ; ;. Si se coran, halla el puno o la ecuación de la reca que deerminan.. Halla la posición relaiva de los res planos siguienes ; ;. Si se coran, halla el puno o la ecuación de la reca que deerminan. 6. Halla la posición relaiva de los res planos siguienes 8 4 ; ;. Si se coran, halla el puno o la ecuación de la reca que deerminan. 7. Halla la ecuación del ha de planos deerminado por 4 De ellos, halla el plano que pasa por el puno P(,, 4). 8. Halla la ecuación del plano definido por el puno P(,, ) la reca s. 9. Esudia, para los diferenes valores del parámero m, la posición relaiva de los planos m m ; 4 ;. Esudia, para los diferenes valores del parámero a, la posición relaiva de los planos ; a ; ( a) a Cuando sean del mismo ha, deermina la reca común.. Halla, según los valores del parámero a, la posición relaiva de los planos dados por las ecuaciones. a Cuando sean del mismo ha, deermina la reca común. José María Maríne Mediano

4 Geomería del espacio ecuaciones de recas planos; posiciones relaivas 4 José María Maríne Mediano Posiciones relaivas de una reca un plano. Esudia la posición relaiva de la reca r el plano 6. En el caso de que se coren halla el puno común.. Sea r la reca que pasa por el puno P(,, ) iene como vecor direcor (,, ). Eise algún valor de a para el cual la reca r esá conenida en el plano a 4? 4. (Propueso en Selecividad en, Caaluña) Dados el plano la reca r. a) Calcula el puno de inersección enre el plano la reca. b) Calcula la ecuación de la reca s que esá conenida en el plano π, es perpendicular a la reca r cora la reca r.. Dada la reca r el plano m, se pide a) La posición relaiva de la reca r el plano según los valores del parámero m. b) El puno de inersección de la reca r el plano en el caso de m =. Posiciones relaivas de dos recas 6. Deermina la posición relaiva enre las recas r ; s. 7. Dadas las recas a r s 7, deermina su posición relaiva dependiendo del valor de a. 8. Dadas las recas 4 r s. a) Comprueba que son paralelas. b) Halla la ecuación general del plano que las coniene. Solución 9. Deermina la posición de las recas r s, de ecuaciones 4 r 4 s.

5 Geomería del espacio ecuaciones de recas planos; posiciones relaivas 4. Deermina la posición relaiva de las recas r s, siendo r la reca que pasa por los punos 7 P(, 8, ) Q(, 8, ) s. Si se coran, halla el puno de core. 4. (Propueso en Selecividad en, La Rioja) 4 La reca r de ecuación la reca s que pasa por los punos P(,, ) Q(a,, ) se coran en un puno. Calcula el valor de a el puno de core. 4. Demuesra que las recas r s se cruan r, s. 4 4 Esudia la posición relaiva de las recas Si deerminan un plano, halla su ecuación. r 6 s Esudia en función de los valores del parámero a, la posición relaiva de las recas r s a r, s. a Oros problemas (II) 4. Sea r la reca que pasa por los punos A(,, ) B(,, ); Halla a) Su posición relaiva. b) Si se coran, su puno de inersección. c) Si eise, el plano que las conenga. s. 46. (Propueso en Selecividad, Comunidad Valenciana) Se dan las recas r r, siendo α β parámeros reales. Calcula las coordenadas del puno de core de r r. 47. a) Halla la ecuación general del plano que pasa por los punos (,, ), (,, ) (,, ) b) Halla las ecuaciones paraméricas de la reca que pasa por los punos (,, ) (,, ). c) Deermina la posición relaiva de la reca el plano. 48. Halla la ecuación de la paralela a la reca ). r que pasa por el puno (,, José María Maríne Mediano

6 Geomería del espacio ecuaciones de recas planos; posiciones relaivas 6 José María Maríne Mediano 49. Dadas las recas de ecuaciones m r, s. Qué valor debe omar m para que ambas recas se coren?. Halla la ecuación de la reca que pasa por el puno P(,, ) cora a las recas r r. (Propueso en Selecividad en, Madrid) Halla el volumen del eraedro que iene un vérice en el origen los oros res vérices en las inersecciones de las recas r, r, r con el plano (Propueso en Selecividad en, UNED) Halla a b para que los res planos, a b conengan a una misma reca r. Deermina unas ecuaciones paraméricas de r.

7 Geomería del espacio ecuaciones de recas planos; posiciones relaivas 7 Soluciones. Coninua r. P(,, ) r; Q(,, ) r. 4. s P(,, ) π; Q(, 4, ) π.. b =. 6.. Con P(,, ) AP = (,, ) r OX. r OY. r OZ.. ; ;. p. r 7 p P(, 7, ); v r = (,, ). p a) v r = (,, ). b) s u.. a) u. b) 7. c) Â = 9,8º; Bˆ = 8,77º; Ĉ = 66,4º.. C = (, /, /); C = (,, ). 4. a) r. b) Paralelos. c) Coinciden. 7. a) Se coran para cualquier valor de k. b) k = o k =. 4. Se coran en el puno de coordenadas (,, ).. Los res planos ienen una reca en común r. 6. Los res planos no ienen ningún puno en común, se coran dos a dos. 7. k 4 ; José María Maríne Mediano

8 Geomería del espacio ecuaciones de recas planos; posiciones relaivas 8 9. Si m, ienen un único puno en común. Si m =, los planos se coran dos a dos.. Si a, se coran en un único puno. Si a =, se coran en una reca. Si a =, se coran dos a dos. 6. Si a /, r(a) =, un único puno. Si a = /, son del mismo ha r.. P(,, 4).. a = a) P(4,, ). b) s 7. a) Si m 4, se coran. Si m = 4, la reca esá conenida en el plano. b) (,, ). 6. Se cruan. 7. Se coran cuando a. En los demás casos se cruan. 8. a) v r = v s. b) 9. Se cruan. 4. M(, 8, 4). 4. a =. C(,, 6). 4. Ciero Si a se cruan. Si a =, se coran. 4. a) Paralelas. b) No. c) 46. P(,, ). 47. a) π 6. b) r. c) La reca es paralela al plano. 48. r. 49. m =.. r. u.. a = b =. r. José María Maríne Mediano