CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 5.1. Introducción 5.2. Cambios de variable 5.3. Transformación en sumas 5.4. Problemas resueltos

Transcripción

1 CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 5.. Inroducción 5.. Cambios de variable 5.3. Transformación en sumas 5.4. Problemas resuelos 5.5. Inegración por recurrencia

2 Capíulo 5 Inegración de funciones rigonoméricas sen cos sen sen cos

3 Capíulo 5 Inegración de funciones rigonoméricas 5.. Inroducción En ese capíulo raaremos el problema de la inegración de funciones racionales que conengan solamene funciones rigonoméricas. El caso más general en que dichas funciones son irracionales se verá en el próimo capíulo. A pesar de ello, algunos cambios de variables esudiados aquí pueden ser válidos ambién cuando aparezcan funciones irracionales. Para la resolución de inegrales de funciones racionales que conengan a funciones rigonoméricas, es necesario conocer algunas de las disinas relaciones más habiuales que eisen enre las funciones rigonoméricas, de las que hacemos una breve relación: ) sen cos ag sec cog cosec ) sen cos 3) sen cos sen π 4) sen cos 5) sen cosy [ sen( y) sen( y) ] sen seny cos [ cos( y ) ( y) ] cos cosy cos [ cos( y) ( y )]

4 Inegración de funciones rigonoméricas Cambios de variable Vamos a resolver inegrales de funciones racionales de funciones rigonoméricas, a las que denoaremos en general por R(, ), mediane una serie de cambios de variable que nos mosrarán que la función R(, ) es inegrable de manera sencilla. Con esos cambios de variable, pasaremos a una función inegrable de manera inmediaa o a una función racional de las esudiadas en el capíulo anerior, quedando el problema resuelo de una forma u ora. La elección del cambio de variable que resuelve una inegral del ipo raado aquí dependerá de cómo sea la función R(, ). Además, una vez elegido el cambio de variable que parezca más apropiado, deberemos obener las epresiones de y en función de esa nueva variable (ya que cualquier ora función rigonomérica se puede epresar fácilmene en érminos de esas dos) así como del érmino en función de la diferencial de la nueva variable. Veamos los diferenes cambios de variable que podremos aplicar: A) Cambio g. Ese cambio de variable siempre se puede uilizar; pero, en general, cuando se pueda realizar alguno de los oros cambios que veremos más adelane, resulará en una inegral más sencilla a resolver. Para el cálculo de y en érminos de, usamos las fórmulas del ángulo doble y la igualdad fundamenal de la rigonomería: ( / ) cos( / ) ( / ) cos ( / ) sen sen g g ( / ) ( / ) ( / ) sen ( / ) ( / ) cos ( / ) cos sen g g ( / ) ( / ) Finalmene, para calcular derivamos miembro a miembro la igualdad dada por el cambio de variable y despejamos, obeniendo que:

5 76 Inroducción al cálculo inegral d Con ese cambio la inegral original queda de la forma: d R ( sen, ) R, que resula en una inegral de una función racional del ipo de las visas en el capíulo anerior. Ejemplo I sen d d Log C Log g(/) C Noa Para los siguienes cambios de variable necesiamos recordar los concepos de simerías para funciones de dos variables, generalizados de manera naural de los análogos para una variable: f(, y) es impar en si f(, y) f(, y) f(, y) es impar en y si f(, y) f(, y) f(, y) es par en e y si f(, y) f(, y) En nuesro caso, idenificaremos a la función de dos variables como la función racional de funciones rigonoméricas, es decir, f(, y) R(, ). Cada una de esas res simerías da lugar a un cambio de variable disino. B) Si R(, ) es una función par en y, es decir, se iene que R(, ) R(, ), enonces el cambio a realizar es de la forma: g. Uilizando las relaciones enre,, y g, obenemos: g cos

6 Inegración de funciones rigonoméricas 77 g d Finalmene, derivando miembro a miembro, g A pesar de las epresiones irracionales que aparecen en la obención de las epresiones de,, en función de la nueva variable, ésas desaparecen en la inegral que resula una vez realizado el cambio de variable, debido a la simería par en,, y al ipo de operaciones (producos) que aparecen. Un caso paricular sería: I m n sen cos (m,n de igual paridad) m d m n ( ) ( ) m m n ( ) d, donde Ejemplo m n es un enero. cos I d sen d ( )( ) Esa inegral es del ipo de las esudiadas en el capíulo anerior, como cociene de polinomios en. Aparecen dos parejas de raíces complejas conjugadas simples como ceros del denominador, por lo que, aplicando el méodo de fracciones simples, resula en una descomposición del ipo: ( )( ) M N P Q donde, poniendo denominador común e igualando los numeradores que resulan, llegamos al sisema que nos proporcionará el valor de las consanes, sin más

7 78 Inroducción al cálculo inegral que igualar los coeficienes de los érminos del mismo grado a ambos lados de la igualdad: 3 : 0 MP : 0 NQ : 0 MP : NQ Resolviendo: M 0, N, P 0, Q Así, la inegral queda: d I d d d ( ) arcg ( ) arcg C ( g ) arcg C C) Si R(, ) es impar en, es decir, R(, ) R(, ) enonces: R (, ) R (, ) donde R (, ) es par en, y haciendo el cambio, llegamos a la inegral de una función racional de las esudiadas en el capíulo anerior. De manera sencilla, con ese cambio se obiene que:, d Como en el caso anerior, no aparecerán funciones irracionales en la nueva inegral, debido a la imparidad de la función. Un caso paricular, con n impar, sería:

8 Inegración de funciones rigonoméricas 79 m n m I sen cos ( ) n d m ( ) n d que es inegrable de manera sencilla, pueso que si n es impar, n es par, n y así, es enero. Ejemplo I 3 cos 3 ( ) d d ( ) Las raíces del denominador de ese cociene de polinomios son reales dobles,,, por lo que, aplicando el méodo de descomposición de facciones simples, llegamos a que: ( ) A B ( ) C D ( ) Poniendo denominador común: ( )( ) B( ) C( ) ( ) D( ) A Dando valores a la variable, los de las raíces reales disinas, y oros dos más de manera arbiraria, se llega al sisema cuya solución son los valores de las consanes a deerminar: : 4B : 4D 0: A B C D : 9 9A 3C 4 4 Resolviendo:

9 80 Inroducción al cálculo inegral A, 4 B, 4 C, 4 D 4 Así, la inegral queda de la forma: d d d d I 4 4 ( ) 4 4 ( ) 4 4 ( ) 4 Log C Log 4 ( ) ( ) ( ) C D) De forma similar al caso anerior, si R(, ) es impar en, es decir, si R(, ) R(, ), el cambio de variable a realizar será de la forma, pueso que: (, ) R sen R (, ) R (, ) donde R (, ) es par en. Así, como en el caso anerior, se obiene de manera inmediaa que: cos,, d Un caso paricular sería, con m impar: I sen m cos n ( ) n cos sen n m d m

10 Inegración de funciones rigonoméricas 8 que es inegrable de forma sencilla, pueso que, si m es impar, m es par, m y, por ano, es enero. Ejemplo I sen cos 3 ( ) 3 d d ( ) ( ) d ( )( ) d ( )( ) Las raíces del denominador son,, reales simples, y una pareja de complejas conjugadas simples. De nuevo, el méodo de fracciones simples nos proporciona la siguiene descomposición: ( )( ) A A B C D ( )( ) B( )( ) ( C D)( ) ( )( ) Dando valores a la variable, resula el sisema: : : 0: : 4B 4A 0 A B D 5A 5B 6C 3D cuya única solución es: A, 4 B, 4 C, D 0

11 8 Inroducción al cálculo inegral Por lo que, la inegral original se puede descomponer como: I d 4 d 4 d Log Log Log C Log 4 C Log 4 sen Log 4 C cos cos C co 5.3. Transformación en sumas Esos cambios de variables que hemos viso no son, obviamene, la única posibilidad que eise para resolver inegrales racionales de funciones rigonoméricas. En general, merece la pena esudiar de manera breve la función que queremos inegrar, por si la aplicación de alguna de las relaciones rigonoméricas conocidas nos permie reducir dicha función de forma sencilla a ora función cuya inegración sea mucho más rápida. Además, no odas las funciones racionales de funciones rigonoméricas aparecen en la forma en la que podemos aplicar alguno de los cambios de variable comenado. Por ejemplo, si en la función a inegrar aparecen razones rigonoméricas de ángulos disinos, un primer paso necesario consise en pasarlas odas al mismo ángulo. En ese caso, las ecuaciones que nos relacionan los producos de razones rigonoméricas de ángulos disinos con sumas de razones rigonoméricas pueden resolver el problema: a) sen ( m ) sen( n) cos[ ( m n) ] cos [( m n) ] b) sen ( m ) cos( n) sen[ ( m n) ] sen[ ( m n) ]

12 Inegración de funciones rigonoméricas 83 c) cos ( m ) cos( n) cos[ ( m n) ] cos[ ( m n) ] Nóese que, aunque las razones rigonoméricas que aparecen sumando ambién se refieren a ángulos disinos, la diferencia fundamenal esriba en que, mienras las inegrales de producos no se pueden separar, las inegrales de sumas sí pueden hacerlo en sumas de inegrales, por la linealidad de la inegral, apareciendo de esa forma los ángulos disinos en inegrales disinas, lo que, obviamene, no es ningún problema Problemas resuelos ) I { g(/) } d ( ) d d d ( ) ( ) ( ) Las raíces del denominador son reales simples; por lo ano, el méodo a uilizar será el de fracciones simples. A B ( ) A( ) B A, B d d I Log Log C Log g(/) Log g(/) C ) I g { g(/) }

13 84 Inroducción al cálculo inegral d ( )( ) d Las raíces del denominador son dos irracionales y oras dos complejas conjugadas, odas ellas simples. Si aplicamos el méodo de fracciones simples para descomponer esa función, deberemos rabajar con números irracionales. Anes de seguir adelane, probemos oro cambio de variable disino de ese general. Obsérvese que la función a inegrar es par en,, por lo que podemos inenar el cambio de variables g. d I { g } g d ( )( ) Aunque en ese caso, ambién aplicaremos el méodo de descomposición de fracciones simples, las raíces del denominador ahora son una enera, y una pareja de complejas conjugadas, odas simples. A diferencia del cambio de variable anerior, hemos salvado operar con números irracionales. ( )( ) A B C Poniendo denominador común, obenemos que: A( )(B C)( ) A A B B C C Igualando los coeficienes de los érminos del mismo grado, obenemos el siguiene sisema: cuya solución es: : 0 A B : 0 B C : C

14 Inegración de funciones rigonoméricas 85 A, La inegral original quedará como: B, C d I d Log Log arcg C 4 Log g Log g C 4 d 3) I { g(/) } d d d d 3 3 d arcg 5 C 5 3g( / ) 5 arcg 5 C 4) I { g(/) } 4d 4d ( )( ) ( )( ) d

15 86 Inroducción al cálculo inegral d ( )( ) Una vez más, las raíces del denominador nos permien aplicar el méodo de descomposición de fracciones simples: ( )( ) A B C A A B B C C Igualando los coeficienes de los érminos del mismo grado, obenemos: cuya solución es: La inegral queda como: : 0 A B : B C : 0 A C A, B, C d I d Log Log arcg C Log g( ) ( / ) Log g C cos 5) I 4 { g }

16 Inegración de funciones rigonoméricas 87 ( ) d d ( ) 4 ( ) ( ) ( ) d 3 ( ) ( ) d En ese caso, el denominador posee una pareja de raíces complejas conjugadas dobles, por lo que es necesario aplicar el méodo de descomposición de Hermie: 3 ( ) ( ) d d a b M N P Q Realizando la derivada del cociene, poniendo denominador común e igualando los coeficienes de los érminos del mismo grado, llegamos al siguiene sisema lineal que nos proporcionará el valor de las consanes: 5 : 4 0 M P 0 a M N Q : 3 : 4b a 4M N P : 0 b M 4N Q : a 4b M N P : a N Q cuya única solución resula ser:

17 88 Inroducción al cálculo inegral a 0, b, M, P, Q 5 Llevamos esos valores a la inegral original, con lo que: I ( ) 3 5 d d ( ) 3arcg Log d Log Calculemos esa nueva inegral por separado: I d d 8 d arcg C 5 Por ano, la inegral I quedará de la siguiene forma: I 3 arcg Log( ) ( ) Log arcg 5 C I ( g ) Log g g g 5 4g arcg C 5

18 Inegración de funciones rigonoméricas 89 6) I sen 3 ( cos ) sen ( ) sen sen C Log 7) I { Log Log d } d d d 3 ( ) 3Log C 8) I Log Log 3Log Log C sen ( / ) cos( 5 / ) sen3 Como las razones rigonoméricas que aparecen en la inegral esán referidas a ángulos disinos, el primer paso, anes de pensar en algún cambio de variable, debe ser inenar pasar esa epresión a ora igual donde las nuevas razones rigonoméricas esén referidas al mismo ángulo. Uilizamos para ello las fórmulas que relacionan producos con sumas de funciones rigonoméricas. sen AcosB [ sen( A B) sen( A B) ] sen( ) cos( 5 ) ( sen3 ) sen sen 3 sen ( ) 3 sen cos sen cos cos sen 3 sen sen ( 3 4sen ) ( )

19 90 Inroducción al cálculo inegral Así, enemos que: I sen3 sen3 sen3 I sen3 ( 3 4sen ) 3 4sen d d { d } du u d du 3 3 u Esa úlima inegral la descomponemos por el méodo de fracciones simples: u A u B u A ( u ) B( u) u A, B Por ano, I Log u 3 u Log u C Log C 3 3 u 3 Log C 3 3 Finalmene, 3 I Log C 4 3 3

20 Inegración de funciones rigonoméricas Inegración por recurrencia Veremos aquí una écnica general de inegración, llamada inegración por recurrencia, en el caso paricular que nos ocupa en ese capíulo, es decir, para funciones racionales que conengan a funciones rigonoméricas. Esa écnica se aplica para el cálculo de inegrales de funciones que dependan de algún parámero, epresando la inegral deseada en érminos de ora de similar enunciado en la que el parámero haya disminuido. Una vez conseguida esa relación, basará aplicar recurrencia para poder epresar la inegral original en función del parámero y de ora inegral que ya no conenga a dicho parámero. Ejemplo I m, n m n sen cos Para calcular esa inegral, omamos pares de la siguiene manera: Si m < 0 y n > 0: n u cos m dv sen du n ( n ) cos ( ) m sen v m Además, eniendo en cuena que obenemos m sen m sen ( cos ), n I m, n cos sen m m n m cos n m sen cos n sen m m n n sen m cos m n m sen m cos n cos n sen m m n m I m,n

21 9 Inroducción al cálculo inegral n m I m, n Despejando I m, n en esa igualdad, resula que: I m,n sen cos m n n m n m n I m, n Si m > 0 y n < 0: m u sen n dv cos du ( m ) m sen n cos v n Procediendo análogamene, llegamos a que: cos sen m n m m n n m I m,n I m,n Si m < 0 y n < 0, en lugar de despejar I m, n, se despejan I m, n o I m,n En cualquiera de las res posibilidades, aplicando de forma sucesiva la inegración por pares a cada nueva inegral que va apareciendo, odo se reduce a calcular I m, 0, o I 0, n. Veamos cómo se calcularían ésas úlimas: m m sen I, 0 Elegimos inegración por pares, de la siguiene manera: m u sen dv du ( m ) m sen, de modo que enemos v

22 Inegración de funciones rigonoméricas 93 m ( ) m sen m I, 0 sen m cos y, como, de nuevo, sen m cos sen m se iene que la igualdad anerior queda como: I, 0 m m ( sen ) sen sen m ( ) m ( ) m sen m sen m m cos sen ( m ) I m, 0 ( m ) I m, 0 sen m Despejando I m, 0 de esa igualdad: m sen m m I m, 0 m m I, 0 De nuevo obenemos una recurrencia, pero, a diferencia del caso anerior, ésa sólo depende de un parámero, y basará conocer el valor de I 0, 0, o de I, 0. En cualquiera de los dos casos, resulan en inegrales inmediaas, ya que: 0 C, I, 0 C I,0 Para el cálculo de llega a que:,n I 0 cos n, procediendo de manera análoga, se, n I 0 cos n cos n n n n cos n Similarmene, basará conocer el valor de I 0, 0, o de I 0,. En cualquiera de los dos casos, ambién resulan en inegrales inmediaas, ya que:

23 94 Inroducción al cálculo inegral 0 C, I 0, C I,0 Ejercicios propuesos ) Log g C ) ( ) ( ) g Log g C 3) 4) 5) g arcg g arcg 5 3 ( ) g ( ) ( ) C C C g 6) Log C 7) Log C cos cos 4 6 8) arcg( ) C