Sistemas Lineales Tema 2: Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LTI)

Transcripción

1 Sisemas Lineales Tema 2: Sisemas Lineales e Invarianes en el Tiempo (LTI). Inroducción e las propiedades básicas de los sisemas, visas en el ema anerior, la linealidad y la invarianza en el iempo juegan un papel fundamenal por varias razones: Muchos procesos físicos son LTI pueden modelarse como sisemas LTI. Poseen la propiedad de superposición (linealidad) si la enrada a un sisema LTI se puede represenar como combinación lineal de un conjuno de señales básicas (concepo de base de señales), la salida será la misma combinación lineal de las respuesas del sisema a esas señales básicas. Veremos que cualquier señal se puede represenar como combinación lineal de impulsos uniarios reardados. Eso nos permiirá caracerizar cualquier sisema LTI mediane su respuesa al impulso uniario. Esa represenación se conoce como suma de convolución (sisemas LTI discreos) o inegral de convolución (sisemas coninuos) y proporciona una gran comodidad al raar los sisemas LTI. Ejemplo: x () y () 0 2 LTI 0 2 x 2() LTI x 3() LTI 2 x 4() LTI 0 2 4

2 2. Caracerización de los sisemas LTI discreos: la suma de convolución Caracerizar un sisema: si para cada enrada podemos calcular la salida del sisema. Vamos a buscar un procedimieno análogo al álgebra de espacios vecoriales: Vecores de la base: {x, x 2, x 3, x 4 } Cualquier vecor del espacio vecorial se podrá poner como ciera combinación lineal de los vecores de la base: x = α x + α 2 x 2 + α 3 x 3 + α 4 x 4. e forma similar, si el sisema es lineal, puedo obener la salida como la misma combinación lineal de las salidas conocidas para cada uno de los vecores de la base, y i. Traaremos a coninuación de obener una base de un espacio para el espacio de las señales, de dimensión infinia. 2.. Represenación de señales discreas en érminos de impulsos Uilizaremos como base para las señales discreas el impulso uniario discreo y sus versiones desplazadas, que vale 0 en odos los punos, salvo en uno, que vale. {, n = 0, δ[n] = 0, n 0. δ[n] n Aplicando desplazamienos en el iempo: δ[n + 2] δ[n 2] n n Las señales ienen una longiud infinia, o valores en un conjuno infinio de insanes de la variable independiene. 2

3 y cambios de nivel: Kδ[n] K n podemos escribir cualquier señal x[n] como combinación lineal de impulsos desplazados: x[n] n x[ 2]δ[n + 2] x[ ]δ[n + ] n n 3 2 x[]δ[n ] x[2]δ[n 2] n n x[0]δ[n] n x[n] = x[ 2]δ[n + 2] + x[ ]δ[n + ] + x[0]δ[n] + x[]δ[n ] + x[2]δ[n 2]. En general, podemos represenar una señal discrea arbiraria como combinación lineal de impulsos desplazados δ[n k] con pesos x[k]: x[n] = x[k]δ[n k] Propiedad de selección de δ[n]. Ejemplo: escalón uniario, u[n]: { 0, n < 0, u[n] =, n 0. Expresión ya conocida. u[n] = δ[n k] Respuesa al impulso uniario discreo y represenación de la suma de convolución de sisemas LTI A parir de la propiedad de selección del impulso uniario, podemos obener la salida de un sisema LTI aprovechando las propiedades de linealidad e invarianza en el iempo. 3

4 Consideramos un sisema lineal (posiblemene variane en el iempo). Una enrada arbiraria, x[n], la podemos poner siempre como combinación lineal de impulsos desplazados: x[n] = x[k]δ[n k]. efinimos h k [n] como la salida del sisema cuando la enrada es un impulso uniario colocado en el insane n = k: δ[n k] Lineal h k [n] Mediane la propiedad de linealidad, la salida del sisema será: x[n] = x[k]δ[n k] Lineal y[n] = x[k]h k [n] Si, además de ser lineal, el sisema es invariane en el iempo: h k [n] son versiones desplazadas en el iempo de la respuesa del sisema LTI al impulso uniario colocado en n = 0: δ[n] LTI h 0 [n] = h[n] δ[n k] LTI h k [n] = h 0 [n k] = h[n k] Por ano, si el sisema es LTI, no es necesario caracerizar el sisema por una familia infinia de señales h k [n], sino sólo por una señal h[n]: x[n] = x[k]δ[n k] LTI y[n] = x[k]h[n k] A h[n] se le denomina respuesa al impulso de un sisema LTI discreo. δ[n] LTI h[n] Impulso Respuesa al impulso Un sisema LTI discreo esá compleamene caracerizado por su respuesa al impulso. A la operación: y[n] = x[k]h[n k] = x[n] h[n] 4

5 se le llama convolución discrea o suma de convolución. Para una enrada x[n] cualquiera, la salida de un sisema LTI se obiene como la convolución de la enrada con h[n]: x[n] h[n] y[n] = x[n] h[n] Propiedades de la convolución discrea La convolución discrea iene las siguienes propiedades:. El elemeno neuro de la convolución es el impulso uniario, δ[n]: x[n] δ[n] = x[k]δ[n k] = x[n]. 2. Conmuaiva: x[n] h[n] = h[n] x[n]. x[n] h[n] y[n] h[n] x[n] y[n] 3. Asociaiva: x[n] (h [n] h 2 [n]) = (x[n] h [n]) h 2 [n] = (x[n] h 2 [n]) h [n] = x[n] h [n] h 2 [n]. x[n] h [n] h 2 [n] y[n] x[n] h [n] h 2 [n] y[n] 4. isribuiva: x[n] (h [n] + h 2 [n]) = x[n] h [n] + x[n] h 2 [n]. h [n] y [n] x[n] h [n] + h 2 [n] y[n] x[n] y[n] h 2 [n] y 2 [n] Las equivalencias se cumplen cuando los pasos inermedios dan resulados finios. Por ano, la convolución discrea iene esrucura de grupo conmuaivo. 5

6 2.4. Ejemplos Ver ransparencias. Ejemplo : x[n] = δ[n] + 2δ[n ], h[n] = u[n] u[n 3]. 2 y[n] = x[k]h[n k] = x[0]h[n] + x[]h[n ] = h[n] + 2h[n ]. 2 2 h[n] /2 0 2 n y[n] 5/2 2 2h[n ] 2 /2 n 0 2 n Muchas veces es más fácil hacerlo de forma gráfica. Para ello, se represena x[k] y h[n k] como función de k, para cada valor de n. La salida para cada n se obiene muliplicando x[k]h[n k] en cada puno k y sumando los valores. Se pueden agrupar varios valores de n en inervalos cuando x[k], h[n k] y los límies del sumaorio ienen una misma expresión. Para obener h[n k]:. Se cambia la variable independiene a k: h[k]. 2. Se desplaza n muesras hacia la izquierda: h[k + n]. 3. Se realiza una inversión en el iempo (en k): h[ k + n] = h[n k]. Ejemplo 2: x[n] =α n u[n], α β, h[n] =β n u[n], 0 < α, β <. 6

7 Ejemplo 3. x[n] = {, 0 n 4 0, reso, h[n] = { α n, 0 n 6 0, reso Ejemplo 4: Ejemplo 5: x[n] = 2 n u[ n], h[n] = u[n]. x[n] = u[n] u[n 6], h[n] = u[n 2] u[n 8] + u[n ] u[n 7]. Ora forma de hacerlo, sería eniendo en cuena que: h[n] = h 0 [n 2] + h 0 [n ], donde h 0 [n] = x[n]. y[n] =x[n] h[n] = x[n] (h 0 [n 2] + h 0 [n ]) =x[n] h 0 [n 2] + x[n] h 0 [n ] = y 0 [n 2] + y 0 [n ], donde y 0 [n] = x[n] h 0 [n]. e esa forma hay que realizar menos operaciones para obener el resulado. Ejemplo 6: 2 x[n] h[n] n n Longiud de la convolución discrea Si x[n] es no nulo enre n x n n x2, y h[n] es no nulo enre n h n n h2, y[n] omará valores no nulos enre: n x + n h n n x2 + n h2. Usando ora noación: Si x[n] es no nulo enre n x n n x + N x, (longiud N x ) y h[n] es no nulo enre n h n n h + N h, (longiud N h ) y[n] omará valores no nulos enre: n x + n h n n x + n h + N x + N h 2. La longiud de la señal de salida es: N y = N x + N h. 7

8 3. Caracerización de los sisemas LTI coninuos: la inegral de convolución Al igual que en el aparado anerior, raamos de caracerizar los sisemas LTI coninuos en érminos de su respuesa al impulso uniario. x() LTI úy() 3.. Represenación de señales coninuas en érminos de impulsos La deducción es similar al caso discreo, pero algo más complicada. Aproximamos la función x() por pulsos recangulares, obeniendo ˆx(): x() ˆx() δ () k 0 ˆx() se puede poner, al igual que en el caso discreo, como una combinación lineal de pulsos rerasados: { δ () =, 0 <, 0, reso. x(0)δ () x( )δ ( ) x(0) x( ) 0 2 x(k ) x(k )δ ( k ) k (k + ) 8

9 Para cualquier insane de iempo, sólo hay un pulso no nulo. ˆx() = x(k )δ ( k ). Cuano menor sea, mejor será la aproximación. En el límie: x() = lím ˆx() = lím 0 0 x(k )δ ( k ). En el límie: Por ano, se obiene: 0 : dτ, k τ,, δ () δ(). x() = x(τ)δ( τ)dτ Propiedad de selección de δ(). Ejemplo: escalón uniario, u(): { 0, < 0, u() = u() =, > 0. Expresión ya conocida. 0 δ( τ)dτ = δ(λ)dλ. cv: τ=λ 3.2. Respuesa al impulso uniario coninuo y represenación de la inegral de convolución de sisemas LTI Al igual que en el caso discreo, las expresiones aneriores nos permien obener la salida de un sisema LTI aprovechando las propiedades de linealidad e invarianza en el iempo. Consideramos un sisema lineal (posiblemene variane en el iempo). Una enrada arbiraria, x(), la podemos aproximar mediane la señal ˆx(), que podemos poner siempre como combinación lineal de aproximaciones a la dela desplazadas: ˆx() = x(k )δ ( k ). efinimos h k () como la salida del sisema cuando la enrada es δ ( k ), colocado en el insane = k : 9

10 δ ( k ) Lineal h k () Mediane la propiedad de linealidad, la salida del sisema será: ˆx() = x(k )δ ( k ) Lineal ŷ() = Conforme 0, ˆx() x() ŷ() y(): x() = lím 0 ˆx() y() = lím 0 ŷ(). Por ano, para un sisema lineal, la salida será: y() = lím 0 x(k )h k (), y haciendo las ransformaciones indicadas aneriormene en el límie: y() = x(τ)h τ ()dτ. x(k )h k () Si, además de ser lineal, el sisema es invariane en el iempo: h τ () son versiones desplazadas en el iempo de la respuesa del sisema LTI al impulso uniario colocado en = 0: δ() LTI h 0 () = h() δ( τ) LTI h τ () = h 0 ( τ) = h( τ) Por ano, si el sisema es LTI, no es necesario caracerizar el sisema por una familia infinia de señales h τ (), sino sólo por una señal h(): x() = x(τ)δ( τ)dτ LTI y() = x(τ)h( τ)dτ A h() se le denomina respuesa al impulso de un sisema LTI coninuo. δ() LTI h() Impulso Respuesa al impulso 0

11 Un sisema LTI coninuo esá compleamene caracerizado por su respuesa al impulso. A la operación: y() = x(τ)h( τ)dτ = x() h() se le llama convolución coninua o inegral de convolución. Para una enrada x() cualquiera, la salida de un sisema LTI se obiene como la convolución de la enrada con h(): x() h() y() = x() h() Propiedades de la convolución coninua La convolución coninua, al igual que la discrea, iene las siguienes propiedades:. El elemeno neuro de la convolución es el impulso uniario, δ(): x() δ() = x()δ( τ) = x(). 2. Conmuaiva: x() h() = h() x(). x() h() y() h() x() y() 3. Asociaiva: x() (h () h 2 ()) = (x() h ()) h 2 () = (x() h 2 ()) h () = x() h () h 2 (). x() h () h 2 () y() x() h () h 2 () y() 4. isribuiva: x() (h () + h 2 ()) = x() h () + x() h 2 (). h () y () x() h () + h 2 () y() x() y() h 2 () y 2 () Las equivalencias se cumplen cuando los pasos inermedios dan resulados finios. Por ano, la convolución coninua iene esrucura de grupo conmuaivo.

12 3.4. Ejemplos Ver ransparencias. Ejemplo : x() = e a u(), a > 0, h() = u(). Ejemplo 2: Ejemplo 3: x() = {, 0 < < T 0, reso, h() = {, 0 < < T 0, reso x() = e 2 u( ), h() = u( 3). 4. Propiedades de los sisemas LTI Hemos viso que para un sisema LTI su respuesa al impulso caraceriza compleamene el sisema, por lo que sus propiedades se pueden deducir a parir de la misma. Eso no es ciero para sisemas no LTI. {, n = 0,, Ejemplo: h[n] = 0, reso. si es LTI: y[n] = x[n] h[n] = h[k]x[n k] = x[n] + x[n ] Sabemos como esán relacionadas enrada y salida exacamene. Si no es LTI, eso no es ciero. Ejemplo de sisema con esa respuesa al impulso no lineal: y[n] = (x[n] + x[n ]) 2. Por ano, para un sisema LTI podremos esudiar odas las propiedades del sisema a parir de h[n] ó h(). En primer lugar, dado que la salida se obiene mediane la convolución, los sisemas LTI ienen las propiedades de la convolución: Elemeno neuro: la salida correspondiene a un impulso uniario es la respuesa al impulso del sisema. δ[n] h[n] = h[n], δ() h() = h(). Por ano, si a un sisema se le mee como enrada un impulso uniario, a la salida obenemos la respuesa al impulso del sisema. δ[n] h[n] h[n] 2

13 δ() h() h() Conmuaiva: la salida del sisema no cambia si se inercambian enrada y respuesa al impulso. x[n] h[n] = h[n] x[n] x() h() = h() x() x[n] h[n] y[n] h[n] x[n] y[n] x() h() y() h() x() y() Eso permie inverir y desplazar la función más simple al calcular las convoluciones de forma gráfica. isribuiva: inerconexión de varios sisemas en paralelo. x[n] (h [n] + h 2 [n]) = x[n] h [n] + x[n] h 2 [n] x() (h () + h 2 ()) = x() h () + x() h 2 () h () y () x() y() x() h () + h 2 () y() h 2 () y 2 () Como consecuencia de las propiedades conmuaiva y disribuiva: (x [n] + x 2 [n]) h[n] = x [n] h[n] + x 2 [n] h[n], (x () + x 2 ()) h() = x () h() + x 2 () h(). Eso permie descomponer una convolución complicada en varias más sencillas. Asociaiva: inerconexión de varios sisemas en serie. x[n] (h [n] h 2 [n]) = (x[n] h [n]) h 2 [n]), x() [h () h 2 ()] = [x() h ()] h 2 ()). Es decir, que sobran los parénesis, pues da igual el orden en que se realicen las convoluciones: y[n] = x[n] h [n] h 2 [n], y() = x() h () h 2 (). 3

14 w[n] x[n] h [n] h 2 [n] y[n] x[n] h[n] = h [n] h 2 [n] y[n] v[n] x[n] h 2 [n] h [n] y[n] Para sisemas LTI da igual el orden en que se conecen. Eso no es ciero para sisemas no LTI, como por ejemplo: x() 2( ) ( ) 2 4x 2 (), x() ( ) 2 2( ) 2x 2 (). Esudiamos a coninuación el reso de propiedades de los sisemas 2 : Memoria: un sisema es sin memoria si la salida para cualquier insane depende sólo del valor de la enrada en ese mismo insane: y[n 0 ] = x[n 0 ] h[n 0 ] = x[k]h[n 0 k] = h[k]x[n 0 k] =... + h[ ]x[n 0 + ] + h[0]x[n 0 ] + h[]x[n 0 ] +... = h[0]x[n 0 ]. Sin memoria h[n] = 0, n 0. Por ano un sisema discreo es sin memoria si se cumple: h[n] = Cδ[n]. e forma equivalene, un sisema coninuo es sin memoria si se cumple: h() = Cδ(). En caso conrario, el sisema es con memoria. Si C =, enemos el sisema idenidad: h[n] = δ[n], h() = δ(). 2 Salvo las propiedades de linealidad e invarianza en el iempo, que las ienen los sisemas LTI por definición. 4

15 Obeniendo la salida para esos sisemas, se llega a las propiedades de selección de los impulsos uniarios, ya visas: x[n] = x[n] δ[n] = x() = x() δ() = x[n]δ[n k], x(τ)δ( τ). Como ya sabemos, δ[n] y δ() son los elemenos neuros de la convolución discrea y coninua, respecivamene. Inveribilidad: una de las definiciones de sisema inverible dice que exise un sisema inverso que colocado en cascada con el original produce una salida idénica a la enrada del sisema original. Se puede comprobar que el sisema inverso de uno LTI es LTI. y() x() h () h i () w() = x() x() LTI δ() LTI x() Por ano, usando la propiedad asociaiva, si un sisema es inveible, las respuesas al impulso de los dos sisemas cumplen: h[n] h i [n] = δ[n], h() h i () = δ(). Noa: esas expresiones permien comprobar si dos sisemas son inversos enre sí, pero no dan direcamene un méodo consrucivo de obención de sisemas inversos 3. Ejemplo: y() = x( 0 ). Reardo para 0 > 0 y adelano par 0 < 0. Como dijimos, la respuesa al impulso se obiene meiendo como enrada al sisema x() = δ(), obeniendo: h() = δ( 0 ). La salida para una deerminada enrada se obiene convolucionándola con la respuesa al impulso del sisema: y() = x() h() = x() δ( 0 ) = x( 0 ). 3 Haciendo uso de la ransformada de Fourier o de la ransformada Z, sí se obendrá un méodo consrucivo de obención de sisemas inversos. 5

16 Vemos aquí algo imporane y es que la convolución con un impulso desplazado desplaza la señal: x() δ( 0 ) = x( 0 ). Eso es fácil de demosrar: y() = = x(τ)h( τ)dτ = x(τ)δ( 0 τ)dτ = x( 0 ), x(τ)δ(( τ) 0 )dτ ya que esa úlima expresión corresponde a la propiedad de selección del impulso uniario coninuo evaluada en 0. En el caso discreo, se puede demosrar la misma propiedad: x[n] δ[n n 0 ] = x[n n 0 ]. Volviendo al ejemplo, el sisema inverso será el desplazamieno conrario: Calculando su convolución con h(): h i () = δ( + 0 ). h() h i () = δ( 0 ) δ( + 0 ) = δ(). Ejemplo: h[n] = u[n]. Obeniendo la salida para una enrada cualquiera, mediane la convolución con h[n]: y[n] = x[k]u[n k], { 0, n k < 0 k > n, u[n k] =, n k 0 k n. n y[n] = x[k]. Por ano, es el sisema sumador o acumulador, cuyo sisema inverso ya conocemos y es la primera diferencia: w[n] = y[n] y[n ]. La respuesa al impulso del sisema inverso se obiene meiendo el impulso uniario al sisema inverso: h i [n] = δ[n] δ[n ]. Comprobamos: h[n] h i [n] = u[n](δ[n] δ[n ]) = u[n] δ[n] u[n] δ[n ] = u[n] u[n ] = δ[n]. 6

17 Causalidad: el sisema es causal y la salida depende sólo de valores pasados y presenes de la enrada y anicausal si la salida depende sólo de valores fuuros de la enrada: y[n 0 ] = x[n 0 ] h[n 0 ] = x[k]h[n 0 k] = h[k]x[n 0 k] =... + h[ ]x[n 0 + ] + h[0]x[n 0 ] + h[]x[n 0 ] +... El sisema será causal si se cumple: h[n] = 0, n < 0, h() = 0, < 0. El sisema será anicausal si se cumple: h[n] = 0, n 0, h() = 0, 0. En caso de no cumplirse ninguna de esas condiciones, el sisema es no causal. Para sisemas causales, la suma e inegral de convolución quedan: n y[n] = x[k]h[n k] = h[k]x[n k], y() = x(τ)h( τ)dτ = 0 h(τ)x( τ)dτ, Las úlimas expresiones se obienen haciendo los cambios de variable k = n k y τ = τ, respecivamene. Ejemplos: Acumulador: h[n] = u[n] y su inverso: h i [n] = δ[n] δ[n ] son causales. esplazamieno: h() = δ( 0 ) es causal para 0 0 y anicausal para 0 < 0. Por analogía, eniendo en cuena que h[n] y h() se pueden considerar señales, se habla de señales causales (ambién anicausales y no causales): x[n] = 0, n < 0, x() = 0, < 0. 7

18 Esabilidad: un sisema es esable si enradas acoadas producen salidas acoadas. Si x[n] < B x, n y[n] < B y, n. Si a un sisema LTI discreo le meemos una enrada acoada, la magniud de la salida: y[n] = x[k]h[n k] = h[k]x[n k] h[k] x[n k], a+b a + b donde hemos aplicado la desigualdad riangular. Como: Si es esable: x[n k] < B x, n, k y[n] < B x h[k], n. h[k] <, es decir, si h[n] es absoluamene sumable, enonces el sisema y[n] < B x h[k] < B y, n. Por ano, un sisema LTI discreo es esable si su respuesa al impulso, h[n], es absoluamene sumable: h[k] <. e forma equivalene se obiene que un sisema LTI coninuo es esable si su respuesa al impulso, h(), es absoluamene inegrable: Ejemplos: h(τ) dτ <. esplazamieno en el iempo: h[n] = δ[n n 0 ], h() = δ( 0 ). Son sisemas esables: h[k] = δ[k n 0 ] = <. h(τ) dτ = Acumulador: h[n] = u[n]. Sisema no esable: h[k] = δ(τ 0 ) dτ = <. u[k] = =. 8

19 Inegrador: y() = x(τ)dτ. Obeniendo su respuesa al impulso (es LTI): h() = δ(τ)dτ = u(). Comprobamos que es un sisema no esable: h(τ) dτ = 0 dτ =. Respuesa al escalón uniario: al igual que la respuesa al impulso, la respuesa al escalón ambién caraceriza a los sisemas LTI, y se usa con basane frecuencia para describir el comporamieno de ese ipo de sisemas. La respuesa al escalón se denoa s[n] para el caso discreo y s() para el caso coninuo, y son las salidas cuando las enradas son escalones, u[n] y u(), respecivamene: u[n] h[n] s[n] u() h() s() Realizando las convoluciones del escalón uniario con la respuesa al impulso del sisema, es fácil obener la relación enre la respuesa al escalón y la respuesa al impulso. Para el caso discreo: s[n] = u[n] h[n] = h[n] u[n] = h[k]u[n k] = n h[k], que corresponde a la operación de sumación, y cuya operación inversa sabemos que es la primera diferencia. Por ano las relaciones buscadas son las siguienes: s[n] = Para el caso coninuo, de forma similar: s() = u() h() = h() u() = n h[k], h[n] = s[n] s[n ]. h(τ)u( τ)dτ = h(τ)dτ. que corresponde a la operación de inegración, y cuya operación inversa sabemos que es la derivación. Por ano las relaciones buscadas en el caso coninuo son: s() = h() = ds() d h(τ)dτ, = s (). 9

20 Ora forma de obener esas relaciones es, eniendo en cuena que el derivador (primera diferencia) es un sisema LTI, y aplicando la propiedad conmuaiva: u() d d δ() h() h() u() h() s() d d h() Ejemplo: x () y () LTI x 5() = x (2) y (2) y 5() LTI NO! 0 0 Para calcular la salida debemos usar únicamene desplazamienos y cambios de nivel sobre la enrada conocida, dado que sólo conocemos la salida correspondiene a x () y que el sisema es LTI. Si vamos sumando y resado sucesivas veces x () y versiones desplazadas enre sí segundo: x () 0 2 x ( ) x () x ( ) x ( 2) x () x ( ) + x ( 2) Se observa que aparece el pulso deseado en el origen correspondiene a la enrada x 5 (), cuya salida queremos obener, y un pulso que a medida que sumamos nuevas 20

21 réplicas va alejándose cada vez más de donde x 5 () es no nulo. Si sumáramos infinias réplicas de esa forma, obenemos la señal x 5 (): x 5 () = lím N N ( ) k x ( k), y como el sisema es LTI, la salida será la misma combinación lineal de salidas desplazadas: N y 5 () = lím ( ) k y ( k), N cuya represenación es: y 5() Ora forma de enfocar el problema es obener el escalón uniario, u() a parir de la enrada, y realizando las mismas operaciones a la salida, obener la respuesa al escalón, s(), que sabemos que ambién caraceriza al sisema: La respuesa al escalón uniario: cuya represenación es: u() = lím N s() = lím N N x ( 2k). N y ( 2k), s() Una vez obenido s() enemos dos opciones: Obener x 5 () en érminos de escalones y a la salida endremos la misma relación con s(), al ser el sisema LTI: x 5 () = u() u( ) y 5 () = s() s( ). 2

22 Obener la respuesa al impulso derivando la respuesa al escalón, y obener la salida mediane la convolución: h() h() = ds(), d y 5 () = x 5 () h(). 5. Sisemas descrios mediane ecuaciones diferenciales y en diferencias Una clase muy imporane de sisemas es aquella para la cual la enrada y la salida esán relacionadas mediane una ecuación diferencial (coninuos) o en diferencias (discreos) lineal y de coeficienes consanes. Ya vimos algunos ejemplos en el ema 2. Proporcionan una especificación implícia del sisema, es decir, una relación enre la enrada y la salida, en vez de una expresión explícia de la salida en función de la enrada. Para obener la relación explícia será necesario resolver la ecuación. Para caracerizar compleamene los sisemas, además será necesario especificar unas condiciones iniciales o auxiliares (carga o velocidad en = 0 en los ejemplos), de forma que podamos resolver las ecuaciones. Así, disinas condiciones iniciales darán lugar a disinas relaciones enre la enrada y la salida del sisema. La condición más habiual será la de que el sisema LTI dado por una ecuación diferencial o en diferencias sea causal, en cuyo caso la condición auxiliar es la de reposo inicial: Condición de reposo inicial LTI+Causal: Si x() = 0, 0 y() = 0, 0. Las condición auxiliar serán y( 0 ) = 0 para obener y() para > 0. Eso indica que la salida es nula hasa que la enrada deje de ser nula (como corresponde a un sisema lineal y causal). Noa: normalmene se oma 0 = 0, pero si se desplaza la enrada, se debe desplazar 0, pues si no, el sisema no sería invariane en el iempo 4. Lo que impora para que el sisema sea LTI y causal es que la salida es nula mienras la enrada lo sea. 4 Eso se veía por ejemplo en el ejercicio 2l, donde la salida era nula para < 0, independienemene de que se desplace la enrada, lo que convería al sisema en variane en el iempo. 22

23 5.. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficienes consanes Una ecuación diferencial lineal con coeficienes consanes de orden N iene la forma: N a k d k y() d k = M b k d k x() d k. El orden de la ecuación corresponde a la derivada de mayor orden de la salida. Para que el sisema sea causal y LTI, las condiciones auxiliares son las de reposo inicial. Para resolver una ecuación diferencial de orden N hacen fala N condiciones auxiliares: Si x() = 0, 0 y( 0 ) = dy( 0) d = d2 y( 0 ) d 2 = = dn y( 0 ) d N = 0. Como sabemos, la solución a ese ipo de ecuaciones es la suma de una solución paricular (o forzada) y una solución homogénea (o naural) 5 : donde: y() = y p () + y h (), y p (): oma la misma forma que la enrada (respuesa forzada). y h (): es el resulado de resolver la ecuación diferencial homogénea (respuesa naural del sisema): N d k y() a k = 0. d k Un caso especialmene sencillo es cuando N = 0. En ese caso no hace resolver la ecuación, pues ya enemos una relación explícia para la salida en función de la enrada (no son necesarias por ano condiciones auxiliares): y() = a 0 M b k d k x() d k. Ejemplo: ecuación diferencial de primer orden: dy() d + 2y() = x(). Enrada: x() = Ke 3 u(). Como hemos viso la solución se puede obener como suma de la solución paricular para la enrada más la solución homogénea: 5 En emas poseriores veremos mejores formas de resolver ecuaciones diferenciales, mediane el uso de la ransformada de Fourier y la ransformada de Laplace. 23

24 y p (): como x() = Ke 3 para > 0, planeamos una salida para > 0 similar: y() = Y e 3, > 0, Y es la consane que hay que deerminar. Susiuyendo en la ecuación diferencial para > 0: Por ano, la solución paricular es: 3Y e 3 + 2Y e 3 = K e 3 Y = K 5. y p () = K 5 e3, > 0. y h (): planeamos una solución de la forma: y h () = Ae s. Susiuyendo en la ecuación homogénea: s Ae s + 2 Ae s = 0 s = 2, A. Por ano, para > 0, la solución, a fala de deerminar la consane A, queda: y() = y p () + y h () = K 5 e3 + Ae 2, > 0. Para deerminar la consane A empleamos la condición de reposo inicial: Si x() = 0, < 0 y() = 0, < 0 y(0) = 0. Susiuyendo: y(0) = 0 = K 5 + A A = K 5. Finalmene la solución a la ecuación diferencial, salida del sisema para la enrada x() es: y() = K [ e 3 e 2] u() Ecuaciones en diferencias lineales con coeficienes consanes Una ecuación en diferencias lineal con coeficienes consanes de orden N iene la forma: N M a k y[n k] = b k x[n k]. El orden de la ecuación corresponde a la derivada de mayor orden de la salida. 24

25 Para que el sisema sea causal y LTI, las condiciones auxiliares son las de reposo inicial. Para resolver una ecuación en diferencias de orden N hacen fala N condiciones auxiliares: Si x[n] = 0, n < n 0 y[n] = 0, n < n 0. Se puede resolver de forma similar a la de las ecuaciones diferenciales, poniendo la solución como suma de una solución paricular y una solución homogénea: y[n] = y p [n] + y h [n] pero normalmene es más sencillo resolverla de ora forma 6. Reordenando la ecuación y poniéndola en forma recursiva: { y[n] = M } N b k x[n k] a k y[n k]. a 0 Esa ecuación se puede resolver de forma recursiva, pues enemos y[n] en función de valores previos de la enrada y la salida. Se ve claramene la necesidad de valores auxiliares, pues para obener y[n 0 ] hace fala conocer y[n 0 ],..., y[n 0 N]: N condiciones auxiliares. Según el orden de la ecuación en diferencias, hay dos ipos de sisemas discreos definidos mediane ecuaciones en diferencias: Sisemas FIR: N = 0. Respuesa al impulso de longiud finia. y[n] = M ( bk a 0 ) x[n k]. Es una ecuación no recursiva, ya que enemos despejado de forma explícia y[n] en función de las enradas. Además, eso se puede ver como la convolución de x[n] con h[n], donde: b n a0, 0 n M, M b k h[n] = = δ[n k] 0, reso. a 0 En ese caso, la respuesa al impulso es de longiud finia (M + ) y no hacen fala condiciones auxiliares. Sisemas IIR: N. Respuesa al impulso de longiud infinia. Con las condiciones auxiliares de reposo inicial, h[n] resula de duración infinia. 6 Realmene las mejores formas de resolver las ecuaciones en diferencias será mediane la ransformada de Fourier y la ransformada Z, que veremos en emas poseriores. 25

26 Ejemplo: y[n] y[n ] = x[n] para la enrada x[n] = Kδ[n] y condición de 2 reposo inicial. Se puede poner de forma recursiva: y[n] = x[n] + y[n ]. 2 La condición de reposo inicial, dado que x[n] = 0, n y[n] = 0, n. Como N =, necesiamos una condición inicial, que será: y[ ] = 0. Podemos obener y[n], n 0 de forma recursiva: y[0] =x[0] + y[ ] = K, 2 y[] =x[] + 2 y[0] = 2 K, y[2] =x[2] + 2 y[] = ( 2) 2 K,. y[n] =x[n] + 2 y[n ] = ( 2) n K. Por ano, y[n] = K ( n 2) u[n]. Para K = x[n] = δ[n], obenemos la respuesa al impulso del sisema, que vemos que corresponde a un sisema IIR y causal: ( ) n h[n] = u[n] Represenación mediane diagramas de bloques La represenación mediane diagramas de bloques es un méodo muy sencillo de mosrar sisemas descrios mediane ecuaciones diferenciales y en diferencias. Además permien una mejor comprensión de los mismos y su simulación mediane ordenador, o su consrucción mediane circuios digiales (en el caso discreo). 6.. Ecuaciones en diferencias N M a k y[n k] = b k x[n k]. Es necesario represenar 4 operaciones básicas: Sumador: 26

27 x[n] x[n] + y[n] y[n] Muliplicar por consane: x[n] a ax[n] Reardador (regisro o memoria): x[n] x[n ] x[n] x[n ] Z Realimenación: será necesaria para sisemas IIR: x[n] y[n] x[n] y[n] y[n ] Z y[n ] Vamos a ver la represenación para sisemas FIR e IIR: FIR: y[n] = M ( b k a 0 ) x[n k]. El caso más sencillo (M = ): y[n] = b 0 x[n] + b x[n ], se puede represenar mediane el siguiene diagrama de bloques: b 0 x[n] y[n] = b 0 x[n] + b x[n ] x[n ] b Si hay oro érmino (M = 2): y[n] = b 0 x[n] + b x[n ] + b 2 x[n 2] : 27

28 x[n] b 0 y[n] x[n ] b x[n 2] b 2 En el caso más general, para sisemas FIR: y[n] = b 0 x[n] + b x[n ] + + b M x[n M] : x[n] b 0 y[n] = M b k x[n k] b b 2 b M IIR: El caso más sencillo (N = ): Poniéndola de forma recursiva: y[n] + ay[n ] = bx[n]. y[n] = ay[n ] + bx[n]. que corresponde a un sisema realimenado, y se puede represenar mediane el siguiene diagrama de bloques: x[n] b 0 y[n] a y[n ] Si hay oro érmino (N = 2): y[n] + a y[n ] + a 2 y[n 2] = bx[n] : 28

29 x[n] b 0 y[n] a y[n ] a 2 y[n 2] y así sucesivamene. En el caso más general, para sisemas IIR: N a k y[n k] = M b k x[n k] = w[n] Igualando ambos érminos a una señal inermedia, w[n], podemos obener una ecuación inermedia para la enrada (FIR) y una para la salida (IIR): Enrada: w[n] = M b k x[n k], Salida en forma recursiva: y[n] = a 0 [w[n] ] N a k y[n k]. Su represenación podemos obenerla colocando en serie los bloques de enrada y salida: k= x[n] b 0 a 0 w[n] w[n] y[n] b a b 2 a 2 b M a N obeniendo la forma direca I (FI): 29

30 x[n] b 0 a 0 y[n] b a b 2 a 2 Forma ireca I b M a N Podemos cambiar el orden de los bloques de enrada y salida usando las propiedades conmuaiva y asociaiva de los sisemas LTI: x[n] a 0 b 0 y[n] a b a 2 b 2 a M b M a N dado que los regisros operan sobre la misma señal, podemos susiuir cada pareja por uno sólo, obeniendo la forma direca II: 30

31 x[n] a 0 b 0 y[n] a b a 2 b 2 Forma ireca II a M b M a N 6.2. Ecuaciones diferenciales N a k d k y() d k = M b k d k x() d k. Los derivadores son complicados de implemenar en la prácica y muy sensibles a errores y ruido 7. Lo que se hace es inegrar sucesivas veces y ransformar las derivadas en inegrales, que sí se pueden consruir de forma sencilla en la prácica, mediane amplificadores operacionales. donde: Inegrando N veces (suponemos N = M): (k) N α k y()d = (k) (0) [ τk y()d = M β k α k = a N k, β k = b N k, y()d = y(), [ τ2 (k) x()d, ] ] y(τ )dτ dτ k dτ k. En el caso de ecuaciones diferenciales, en lugar de regisros, los elemenos que poseen memoria serán los inegradores, que represenamos: 7 Sabemos que un derivador es un sisema no esable. 3

32 x() x(τ)dτ La condición inicial en ese caso queda clara obeniendo la inegral desde un ciero insane inicial 0 : y(τ)dτ = y( 0 ) + Vamos a ver algún caso paricular sencillo: 0 y(τ)dτ. Sisema sin realimenación: dy() dx() = b d 0 x() + b. d En forma inegral: y() = b 0 x(τ)dτ + b x(), cuya represenación será: x() b y() b 0 Sisema realimenado: ay() + dy() d = bx(). En forma inegral: y() = b x(τ)dτ a y(τ)dτ = [bx(τ) ay(τ)]dτ, cuya represenación será: x() b y() a En el caso general, hacemos lo mismo que en el caso discreo, igualando a una señal inermedia, y obeniendo una ecuación no recursiva para la enrada y recursiva para la salida: N M α k y()d = β k x()d = w(), (k) Enrada: w() = (k) M β k Salida en forma recursiva: y() = α 0 [w() Obenemos así la forma direca I: (k) x()d, N α k k= (k) y()d ]. 32

33 x() β 0 w() α 0 y() β α β 2 α 2 Forma ireca I β M α N Inviriendo el orden de conexión de lo dos bloques y agrupando cada pareja de inegradores en uno solo, obenemos la forma direca II: x() α 0 β 0 y() α β α 2 β 2 Forma ireca II α M β M α N Apéndice: Propiedades de la δ(). Operaciones: Combinación lineal: Escalado del eje de iempos 8 : aδ() + bδ() = (a + b)δ(). δ(a) = a δ(). 8 Esa propiedad se demuesra fácilmene a parir de la aproximación δ (). 33

34 δ( ) = δ(). Propiedad de muesreo (muliplicación por función): Inegración: f()δ() = f(0)δ(). f()δ( 0 ) = f( 0 )δ( 0 ). δ(τ)dτ = u(). du() = δ(). d δ()d =. erivación: δ () = dδ() d. Se obienen disinas relaciones de la derivada mediane la inegral: Inegrando por pares: δ ()f()d. u() = f() du() = f ()d, dv() = δ ()d v() = δ(). δ ()f()d = f()δ() δ()f ()d = f (0). Usando disinas funciones para f() se obienen disinas relaciones. Por ejemplo, para f() = : δ ()d = 0 = = δ()d δ () = δ(). Como es impar y δ() es par δ () debe ser impar: δ ( ) = δ (). 2. Selecividad: f()δ()d = f(0). 3. Convolución: f( 0 )δ()d = f( 0 ). δ() x() = x(). δ( 0 ) x() = x( 0 ). ooo 34