1.1 Utilizando sistemas modulares, resolver la ecuación + =.

Transcripción

1 Sisemas de la forma: Una ecuación con dos o más variables. 1.1 Uilizando sisemas modulares, resolver la ecuación + =. La ecuación 3 +5 =23 es equivalene a 3 23 ó.5, eso es, planeamos conocer el valor de en función de. Si muliplicamos la ecuación por 2 y sacamos resos respeco al módulo 5, obenemos ó.5 = 6 46 ó.5, o sea, 1 ó.5 luego, la solución de X viene deerminada por =1+5, siendo un enero arbirario. El número 2, que usamos para muliplicar a la ecuación, no es arbirario, corresponde a un coeficiene de la é. La ecuación endrá anas soluciones como valores se le asignen a, por ano es un sisema indeerminado. 1.2 Uilizando sisemas diofánicos, resolver la ecuación + =. Una ecuación de la forma ± = endrá solución si, y sólo si, el, = divide a C, eso es, d6 C. Como 13,17 =1 y 1629, la ecuación iene solución. Sea mcd (13,17) = 1= 13( + 4) + 17( 3), donde los coeficienes 4 y 3 vendrían deerminados por el, mcd( a, b) = d= a( ± s) + b( ± ). A parir del algorimo anerior, é desarrolla su propia idenidad en la que, b a mcd( a, b) = d= a( ± s) + b( ± ) = a( x+ d) + b( y d) donde son soluciones de la ecuación para un coeficiene independiene, o sea, 13(4 + 1 ) + 17( 3 1 ) = 1. Procedemos a calcular en función de : 13x= , equivalene a 4 (13x= 29) x= Los resos de respeco a 17 son: 52x= x= , que es el valor. El valor de en función de lo obenemos por susiución: =29= = = = 9 13 La solución a la ecuación: = Uilizando sisemas diofánicos, resolver la ecuación + + =. El 7,11,13 =1 divide a 47 luego, la ecuación iene solución con dos variables principales y una libre, a elección. Consideremos como variables principales y como variable libre, la ecuación se soluciona en la forma =47 13 =1, con dos parámeros: para la variable libre y para las variables principales. Como 7,11 =1= = , despejamos en función de : 1

2 7 = , equivalene a 8 7 = , o sea, = Calculamos por susiución: =47 13 = = = =3+2 7 Los valores de las variables son: x= 2 5s+ 11, y= 3+ 2s 7 y z= s. y, por ano, la ecuación iene como solución: 7(2-5s+11)+11(3+2s-7)+13(s)= Uilizando sisemas modulares, resolver la ecuación + + =. Empecemos por calcular en función de : ó.11, equivalene a ó.11. Sacamos resos respeco al módulo 11: ó ó.11 =2 1. Ahora, por susiución, calculamos en función de : ó.43, ó.43, equivalene a 5+17 ó.43 = Finalmene, por susiución, despejamos : = =11 43 = = +43s-473 = + s-11 Los valores de las variables son: x= 5+ 17s+ 43, y= + s 11 y z= 2 1 s. Y, por ano, la ecuación iene como solución: 11(5+17s+43)+43(+s-11)+23(2-1s)= Uilizando sisemas diofánicos, resolver la ecuación + + =. Como el 9,1,15 =1 y 1661, la ecuación iene solución pero, cómo? 2

3 Si 9,15 =3, 3F 61, o sea, no iene solución. Si 1,15 =5, 5F 61, ampoco iene solución, luego, sólo nos queda la opción 9,1 =1, Resolvemos en función de : 1 61 ó.9, que iene como solución 7 ó.9 =7+9. Por susiución, enemos: =61= =61 7= = 3 Despejamos en función de : ó.5, +1 1 ó.5 =4+5. Ahora, despejamos Z por susiución: =61= = = = Para las variables, los valores son x= 4+ 5, y= 7+ 9s y z= 3 6s 3 y la solución a la ecuación: 9(4+5)+1(7+9s)+15(-3-6s-3)= Comprobar si el número de soluciones de una ecuación varía según se resuelva como modular o como diofánica. Uilizar la ecuación + =. Como el 15,35 =5, la ecuación diofánica se resuelve como 3 +7 =5. Si resolvemos como ecuación modular, endrá anas soluciones como deermine el en nuesro caso, cinco soluciones. La solución diofánica se desarrolla: 3 =5+7, = = = 7 21, = 1 3. La solución: =25. Como ecuación modular, la solución es: 3 5(mód.7), equivalene a 4 ó.7 =4+7. Dando valores a, para el rango 4 35, enemos 4, 4+7, 4+14, 4+21, 4+28, eso es 4,11,18,25,32, de donde, los valores de la ecuación como modular son: 4,11,18,25,32 ó.35. Observar que las soluciones forman una progresión ariméica de razón 7, precisamene el ó. Queda por ano comprobado que el número de soluciones es disino según se uilice resolución diofánica o resolución modular. 3

4 1.7 Uilizando sisemas modulares, resolver la ecuación + =. El 175,215 =5, luego, iene soluciones en la forma 35 2 ó.43. Como 35 2 ó.43 es equivalene a 34 ó.43, la solución general es 34,77,12,163,26 ó Uilizando sisemas modulares, resolver la ecuación + =. El 117,153,171 =9, luego, la ecuación iene soluciones. La ecuación =171 es equivalene ó.17 y iene como solución 13 8 ó.17 =8+17. y la solución general: x 8,25,42,59,76,93,11,127,144( mód.153). 1.9 Uilizando sisemas modulares, resolver la ecuación + + =. Se raa de un sisema homogéneo del que podemos planear la siguiene solución: ó.5, 11 7 ó.5, 2 ó.5, 3 ó.5, = ó.7, 5 5 ó.7, ó.7, = +7. Por susiución, despejamos : == = 28 35, = 4 5. La solución de la ecuación es, 5( + s 7 ) + 7( 4s 5 ) + 11(3 s) = 1.1 Uilizando sisemas modulares, resolver la ecuación + + =. El 1,14,21 =1, 1, luego, la ecuación iene solución. Despejamos en función de : 14y+21 ó.1, 4 + = ó.1, = 4. Susiuimos ese valor en la ecuación general: == Dividimos el resulado por 2: 4

5 = 2 Despejamos en función de : = = 5 42 ó.7, ó.7, =+7, Despejamos por susiución: == Dividimos el resulado por 14: = = = 2 7 =42 35, =6 5. La solución de la ecuación resula ser: 1(+ 7 ) + 14(+ 6s 5 ) + 21( 4 s) = 1.11 Resolver la ecuación + ó.. La ecuación ó.13 es equivalene a =3. Resolvemos con libre y principales: 5 = ,3(5 = , = = = = La solución para ecuación diofánica es: 5(2+ 3s+ 7 ) + 7( 1 4s 5 ) + 13s= 3 La solución modular se consigue ransformando la solución diofánica al módulo 13. Para, al ser =2+3 posiiva, no procede ninguna ransformación. Para, al ser = 1 4 negaiva, debemos ransformar respeco al módulo 13, eso es, = y la solución modular: 5(2+ 3 s) + 7(12+ 9 s) 3( mód.13). Si comparamos las dos soluciones, diofánica y modular, observaremos que, mienras la primera iene infinias soluciones, la segunda iene sólo rece, exacamene anas como el módulo uilizado. Eso se debe a que esamos operando denro de un anillo Z n, en ese caso Z, que 13 genera anas soluciones como números componen su sisema compleo de resos, respeco a Z n, eso es, { 1,2,3,4,,1,11,13 1}. Veamos: = X=5(2+3s) Y=7(12+9s)

6 5. 2. Sisemas de la forma: Dos ecuaciones con res o más variables. 2.1 Resolver el sisema: 3x+ 2y+ 7z= 74 2x+ 5y+ 4z= 79 Si resamos de la segunda muliplicada por 3 la primera muliplicada por 2, obenemos 11y 2z = 89 y el 11,2 = 1, 1689, luego, la ecuación iene solución. 11 = 89+2, = 1+2, = = = 78+22, = Comprobamos que =89. Por susiución despejamos : = =74 3 = = = La solución al sisema es: x= , y= 1+ 2, z= Ora solución más abreviada puede ser: x = , y = 9 2 y z = Resolver el sisema: 5x+ 4y+ 2z= 37 x+ y+ z= 12 Si resamos de la primera ecuación la segunda muliplicada por 2, obenemos la ecuación 3x+ 2y= 13. El 3,2 =1 y 1613, luego, la ecuación iene solución ó.2, 1 ó.2, =1+2. Por susiución despejamos : = =13 2 = =1 6, =5 3. Despejamos Z con los valores obenidos: = =37 2 = =12+2, =6+. Por lo que la solución al sisema es x= 1+ 2, y= 5 3, z=

7 2.3 Resolver el sisema: 3x+ 4y 5z+ 6u= 3 2x+ 3y+ 4z 5u= 7 por ano, el sisema iene solu- 3 4 Se raa de una mariz que iene un menor = 1, ción en la forma x + z u =. 2 3 y 7 4z+ 5u 3+ 5z 6u 4 3(3+ 5z 6 u) 4(7 4z+ 5 u) x= = = z 38u 7 4z+ 5u z 6u 3(7 4z+ 5 u) 2(3+ 5z 6 u) y= = = 15 22z+ 27u 2 7 4z+ 5u 1 Por ano, la solución al sisema es: x= s 38, y= 15 22s+ 27, z= s, u=. 2.4 Resolver el sisema: 1x+ 9y+ 7z= 47 3x+ 2y+ z= 11 Resolvemos mediane marices en la forma x z =. 3 2 y 11 z Si recordamos que la inversa de una mariz 2 2 x z x ecuación de la mariz será = = y z y= La solución obenida es x= ( 5+ 5 ) /7, y= ( ) /7, z= z 7 1 a b = c d 31 11z 7. d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc enonces, la Si resamos la primera ecuación de la segunda muliplicada por 7, obenemos: = =47 =11 +5 =3 11 =3+5, =+5 5 = = 55, =6 11 Despejamos por susiución en la segunda ecuación: =11 = = =

8 Eliminados los números racionales, la solución es x= + 5, y= 6 11, z= Resolver el sisema: 3x+ 7y+ 5z= 29 4x+ 9y 3z= El menor = 1, 4 9 luego, la ecuación endrá solución como 3 x+ 7 y= 29 5 z. 4x+ 9y= 37+ 3z Mediane la uilización de marices: { 29 5z 7 9(29 5 z) 7(37+ 3 z) 2 66z x= = = = 2+ 66z 37+ 3z { z 3(37+ 3 z) 4(29 5 z) 5+ 29z y= = = = 5 29z z 1 1 siendo la solución con denominadores: x= ( 43 )/23, y= ( 18 ) /23, z=. Si resamos la primera ecuación muliplicada por 3 de la segunda muliplicada por 5, obenemos =272, que podemos resolver como ecuación diofánica: 66 =272 29, 33 =136 29, 4 =13 29, = = = , = La solución diofánicas es: x= 2+ 66, y= 5 29, z=. 2.6 Resolver el sisema: 2 4 Si el menor = 6, x+ 4y+ 5z= 35 7x+ 11y+ 2z= 47 la ecuación iene solución como 2 x+ 4 y= 35 5 z. 7x+ 11y= 47 2z { 35 5z 4 11(35 5 z) 4(47 2 z) z x= = = 47 2z { z 2(47 2 z) 7(35 5 z)( z y= = = z 6 6 La solución por marices es: x= ( )/6, y= ( )6, z=. Haciendo operaciones, enconramos la solución sin racionales: 8

9 x = , y = y z = Resolver el sisema homogéneo: 4x+ 7y+ 2z= 5x+ 3y+ 7z= Como el menor forma: 4 7 = 23, 5 3 la solución mediane marices vendrá deerminada en la 4 7 x 2 z =, 5 3 y 7z 1 x 4 7 2z 2z x= = y 5 3 7z 7z y= z z La solución al sisema mediane marices será: x= ( 43 )/23, y= ( 18 ) /23, z=. Quiamos racionales y obenemos, x = 43, y = 18 y z = Resolver el sisema homogéneo: 6x+ 7y+ 2z 3u= 5x+ 6y+ 4z+ 4u= 6 7 El menor = 1, 5 6 por ano, habrá solución como 6 x+ 7 y= 2 z+ 3 u. 5x+ 6y= 4z 4u x z+ u =. 5 6 y 7z 4u 1 x 6 7 2z 3u + x= 16z+ 46 u. y 5 6 7z 4u y= 14z 39u La solución al sisema mediane marices será: x= 16s+ 46 +, y= 14s 39, z= s, u=. Ora solución puede ser: x = 6s 2, y = 14s + 3, z = s 3 y u = 9

10 2.9 Resolver el sisema homogéneo: x+ 2y+ 3z= 5x+ y+ z= 2x+ y+ z= La mariz principal iene como De = = pero = 9, 5 1 luego, su rango es x 2y 3 z dos y podemos buscar su solución como + =, 5x y sisema resoluble mediane la = : z 5 5z x= = ; Y= = z x y La solución podemos escribirla como = = = de donde, haciendo operaciones x=, y= 5, z= Resolver el sisema modular: 5x+ 6y+ 2z 11( mód.13) 7x+ 5y+ 3z 5( mód.13) Empecemos por resolver el sisema, 5 x+ 6 y+ 2 z= 11. 7x+ 5y+ 3z= 5 Si muliplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2, la diferencia que obenemos es +8 =23. =23+8 =7+8 En función de, 8 = =16 8s luego, =2 Por susiución, despejamos. 3 = = 54 51, = = = 36 34, = El sisema diofánica endrá anas soluciones como valores se asignen a s, eso es, 5(7+ 8 s) + 6(2 s) + 2( s) = 11 7(7+ 8 s) + 5(2 s) + 3( s) = 5 Para el sisema modular, si enemos en cuena que el módulo 13 es equivalene al anillo Z y que sus raíces serán y solamene, basa con ransformar los valores de de en función de 13 para obener los valores de,,. El valor de se ransforma en =7+8. El valor de se ransforma en =2+12. El valor de se ransforma en =8+9. Ahora confeccionamos la abla con los valores del anillo: 1

11 = X= Y= Z= que fácilmene se pueden comprobar aplicando dicho valores a los coeficienes del sisema planeado. Observar que para 13 se repien las soluciones Resolver el sisema modular: 5x+ 4y 6z+ 5 ( mód.17) 9x 1y+ 5z 3 ( mód.17) Dado que en las dos ecuaciones que componen el sisema exisen signos negaivos, ransformaremos el sisema en función del ó 17: 5x+ 4y+ 11z 12( mód.17) 9x+ 7y+ 5z 13( mód.17) y resolveremos, como en el caso anerior, la ecuación 5x+ 4y+ 11z= 12 9x+ 7y+ 5z= 13. La diferencia de la primera ecuación por 9 y la segunda por 5 es +74 =43, de la que obenemos para =43+74 y para =. Susiuyendo esos valores en las dos ecuaciones, resula para : 5 = = , = = = , = La solución diofánica es 5( ) + 4( ) + 11( ) = 12 9( 32 57) + 7( ) + 5( ) = 13. Transformamos los valores de la diofánica al anillo Z : Diofánica x= y= z= Modular x= y= 9+ 6 z= 16 y obenemos los valores del sisema: = X= Y= Z=

12 Por ejemplo, para =5: = ó = ó Sisemas de la forma: Tres ecuaciones con cuaro o más variables. 3.1 Resolver el sisema: 3x+ 5y + z 2u= 1 3x+ 4y 4z+ 11u= 2 2x+ 3y z+ 3u= 1 La segunda ecuación esá formada por la diferencia enre la primera y veces la ercera, luego, podemos considerar una la solución en la forma x+ y= + z u. 3x+ 5y= 1 z+ 2u 1 3 Como de= = 1, 3 5 podemos planear la solución como sigue: 1+ z 3u z 21u x= = = 2+ 8z 21u 1 z+ 2u z 3u 1 5z+ 13u y= = = 1 5z+ 13u 3 1 z+ 2u 1 La solución general al sisema planeado es: x= 2+ 8s 21 y= 1 5s+ 13 z= s u= 3.2 Resolver el sisema: x+ 2y + 3z+ 2u= 5 2x+ 3y 2z+ 3u= 8 3x+ 5y+ z+ 5u= 13 El sisema planeado iene dos menores disinos de cero = y = La primera ecuación queda anulada ya que es diferencia de la y la, por lo ano, la mariz iene rango dos y la solución viene deerminada al resolver: 2x+ 3y= 8+ 2z 3u 3x+ 5y= 13 z 5u en donde, son variables principales y, son variables libres, la solución: 12

13 x= 1+ 13s y= 2 8s z= s u= 3.3 Resolver el sisema: 2x+ 3y+ 4z+ 2u+ 3v+ 5w= 27 3x+ 5y+ 2 z u+ v+ 3w= 34 2x+ 3y+ 3z+ 2u+ 5 v+ w= El menor = 1, 3 5 por lo que en principio, el rango es 2. A parir de ese menor orlamos con los de ercer orden, = 1, que, al no haber menores de orden supe rior, el rango es. Tomando,, como variables principales y el reso como libres, resol vemos en la forma 2x+ 3y+ 4z= 27 2u 3v 5w 3x+ 5y+ 2z= 34 + u v 3w 2x+ 3y+ 3z= 25 2u 5v w 27 2u 3v 5w u + 4v 4w x = 34 + u v w 5 2 = = 5 13u 4v + 4 w. 25 2u 5v w u 3v 5w 4 3 8u 23v + 23w y = u v w 2 = = 3+ 8u + 23v 23 w u 5v w u 3v 5w 2 2v + 4w z = u v 3w = = 2 + 2v 4 w u 5v w La solución al sisema propueso sería: x= 5-13r-4s+ 4 y= 3+ 8r+ 23s-23 z= s -4 u= r v= s w= Hemos uilizado la regla de Pierre Sarrús ( ), regla prácica uilizada para calcular deerminanes de ercer orden. El deerminane es igual a la suma de los producos de los riplees de elemenos siuados sobre la paralela a la diagonal principal disminuida de la suma de los 13

14 producos de los riplees de elemenos siuados sobre una paralela a la diagonal no principal, por ejemplo: a1 b1 c1 = a2 b2 c2 = ( a1b 2c3 + a2b3 c1 + a3bc 1 2) ( a3b 2c1 + a2bc a1b 3c2). a b c Resolver el sisema: 3 x+ y+ 4z+ 5u+ 4v= 8 2 x+ y+ 3z 2u+ 3v= 6 5x+ 2y+ 8z+ u+ 7v= El deerminane de = 1. La mariz, por ano, iene solución con,, como va x+ y+ 4 z= 8 5u 4v riables principales y, como libres, en la forma 2x+ y+ 3 z= 6+ 2u 3 v. 5x+ 2y+ 8z= 15 u 7v Luego la solución es: x= 1-9s y= 1+ 14s z= s u= s v= 3.5 Resolver el sisema: 3 x+ y+ 5z 3u+ 4v= 23 5 x+ 2y+ 7z+ 6u v= 38 3x+ y+ 6z+ 2u+ v= 24 Si resamos la ercera ecuación de la segunda, obenemos, =1, de la que podemos despejar = Si resamos la segunda muliplicada por de la ercera muliplicada por, obenemos: Si resamos resula de donde =6. ( = = = 3 y=3 53u+35v 14

15 Susiuyendo en alguna de las ecuaciones los valores obenidos, despejamos x que resula: = Por ano, la solución al sisema es x= 5+ 27s 18 y= 3 53s+ 35 z= 1 5s+ 3 u= s v= 3.6 Resolver el sisema homogéneo: 8 x+ 2y+ 5z+ u+ 3v= 3 x+ y+ 2z+ 4u 2v= 4x+ y+ 3z 5u+ 3v= Si resamos la por ocho de la por cuaro y dividimos por cuaro, enemos, 11 3 =, de la que despejamos =11 3. Si resamos la por cuaro de la por res, enemos = que resado de 11 3 =, resula =, de donde despejamos = Por susiución, en cualquiera de las ecuaciones enemos para = Cambiando las variables libres,, por los parámeros,, la solución al sisema homogéneo, es x= 2s 2 y= 2s+ 14 z= 11s 3 u= s v= 3.7 Resolver el sisema homogéneo: 5 x+ 2y+ 7z+ u v= 2 x+ y+ 3z 2u+ 3v= 5x+ 2y+ 8z+ 4u+ 5v= Si resamos la de la, resula =, de donde obenemos = 3 6. Resamos la por cinco de la por dos, = cuya diferencia con = es de =, que nos proporciona el valor de = Por susiución, el valor para resula, = y, la solución al sisema propueso x= 2s+ 13 y= 15s 11 z= 3s 6 u= s v= 15

16 3.8 Resolver el sisema modular: 3 x+ 5y 7z+ 4u 2( mód.13) 4x 2y+ 3z+ 5u 1( mód.13) 5x+ 3y+ 6z 2u 3( mód.13) Se raa de una ecuación diofánica a resolver en. La ecuación principal iene como deerminane = = 262, por lo que el sisema puede ener solución en la for ma 3x+ 5y 7z= 2 4u 4x 2y+ 3z= 1 5 u. 5x+ 3y+ 6z= 3+ 2u Aplicando procedimienos expuesos en supuesos aneriores, las soluciones serán u u u x=, y=, z=, siendo el valor de =. Para eviar los números racionales, podemos resolver mediane eliminación como sigue: La segunda ecuación por de la primera por : =5. La primera por de la ercera por : =1. La diferencia de ambas: =129. De esa ecuación resula para =19 33 y para = Si susiuimos esos valores en la primera diferencia, obenemos = Ahora, por susiución en cualquiera de las ecuaciones, resolvemos para = , con lo cual hemos eliminado los números racionales. Conocida la solución diofánica, procedemos a calcular los valores para la modular: x= 5+ 3 y= 9+ 9 u= z= 3.9 Resolver el sisema modular: 5x 3y+ 8z+ 3u 5( mód.17) 7x+ 11y+ 3z 9u 4( mód.17) 6x+ 9y 2z+ 1u 7( mód.17) El deerminane de = = 365. La mariz endrá solución como x 3 y+ 8z= 5 3u 7x+ 11y+ 3z= 4+ 9 u. 6x+ 9y 2z= 7 1u 16

17 Operando como en casos aneriores, obenemos los valores para u x=, u u y=, z= Para eliminar los números racionales, ransformamos esos resulados resolviendo las siguienes ecuaciones: = =66: = , = = = = 215: = , = = 265: = Conocidos los valores para el sisema diofánico, calculamos los del anillo Z : x= y= u= z= 3.1 Resolver el sisema modular: x 4y 3z+ u 1( mód.19) 3x+ y 3z+ u 2( mód.19) 2x+ 5y 7z+ 3u 3( mód.19) Como el discriminane de = 91, la mariz endrá solución en la forma x 4 y 3z= 1 u 3 x+ y 3z= 2 u 2x+ 5y 7z= 3 3u que, haciendo operaciones, enconramos u x=, u y=, u z=. 91 Uilizando cualquiera de los méodos aplicados úlimamene, obenemos oros resulados equivalenes para el sisema algebraico, no racionales, =3+1, = 1 4, =1+ 39, = En cuano al sisema modular, enemos x= y= u= z= 17

18 5. 4. Algunas aplicaciones 4.1 Codificar el mensaje: HOLA, LLEGARE TARDE, uilizando la siguiene mariz C= Vamos a empezar por asignar a cada elemeno a codificar una lera, en nuesro caso, los signos serán los de espacio y el alfabeo español de 27 leras A B C D E F G H I 1 J K L M N Ñ O P Q R 2 S T U V W X Y Z El mensaje: HOLA, LLEGARÉ TARDE, iene 16 leras y dos espacios, un oal de 18 signos. H O L A L L E G A R E T A R D E Para codificar los 18 caraceres, a parir de una mariz de 3 x 3, vamos a uilizar ora mariz de 3 x 3, muliplicándolas C = = C = El mensaje codificado resula: = [4,-12,16,13,-14,-46,14,-26,11] [-13,12,39,-2,2,59,2,-39,3] 4.2 Descodificar mensaje:4,-12,16,13,-14,-46,14,-26,11,-13,12,39,-2,2,59,2,-39,3. Para descodificar el mensaje anerior deberemos calcular la inversa de la mariz que ha servido de base codificadora, en nuesro caso: D = = y muliplicarla por los números del mensaje divididos en marices de 3 x 3, así 18

19 D = = D = = 21 1 El código raducido resula: H L A L L E G A R E T A R D E 4.3 Codificar en 3H el mensaje ME GUSTA VIAJAR, uilizando la mariz: C = La noación de que se va a codificar en 3H (3 x 1) con una mariz de 3 x 3, significa que la codificación será en bloques de 3 elemenos en horizonal. Empecemos por dar valor numérico al mensaje: M E G U S T A V I A J A R Para codificar uilizamos 6 marices de 3 x 1 juno con la de 3 x 3: C = = C = = Así sucesivamene, hasa conseguir para el mensaje una codificación de -41,-54,-18,-12,-167,-49,-45,-66,-22,-75,-1,-33,-61,-19, Descodificar mensaje: -41,-54,-18,-12,-167,-49,-45,-66,-22,-75,-1,-33,-61,-19,-3. Calculamos la inversa de la mariz base de la codificación 19

20 D = = y procedemos de forma inversa 1 1 D = = D = = y así sucesivamene, hasa conseguir saber que el mensajes es M E G U S T A V I A J A R 4.5 Conésele, con 3V, que 27,38,-51,51,54,-75,-21,18,,2,27,38,-52. El primero es D = = el reso lo dejo en vuesras manos. BIBLIOGRAFIA CASTELEIRO VILLALBA, José M., Inroducción al Álgebra Lineal, ISBN: QUIROGA, Anonia, Inroducción al Álgebra Lineal, ISBN: KOSHY, Thomas, Elemenary Number Theory wih Aplicaions, ISBN: MERINO,L. y SANTOS, E., Álgebra Lineal, ISBN: QUEYSANNE, Michel, Álgebra Básica, ISBN: APOYO INTERNET hp://mahworld.wolfram.com/diophanineequaion.hml hp://es.wikipedia.org/wiki/sisema_de_ecuaciones_lineales hp:// hp:// hp:// (programa de maemáicas) hp:// 2