CÁLCULO DE INTEGRALES. Solución: Todas ellas se resuelven por partes y la fórmula del método es

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1 CÁLCULO DE NTEGRALES.-Calcula las siguienes inegrales: a) d ; b) sen d ; c) Ld ; e Todas ellas se resuelven por pares y la fórmula del méodo es u. dv u. v v. du a) e d. u du d dv e. d v e d e e e d e e +C b) = sen. d u du d dv sen. d v sen d cos cos cos d cos sen C c) Ld u L dv d. L du d v d.. d. L d=. L C.-negra las siguienes funciones racionales: a) d ; b) 6 d 6 c) d ; d) d a) La primera es inmediaa ya que el numerador es eacamene la derivada del denominador, por ano, d L 6 C 6 b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador:

2 6 6 d d. L 6 C c) La ercera la descomponemos en dos inegrales: d d d arcg L( ) C d) La cuara se resuelve realizando previamene la división. Y podemos realizarla por Ruffini Hecha la división se obiene de cociene + y de reso d ( ) d L C.-Calcula las siguienes inegrales: a) d ; b) cosd veces: a) e d u dv e e Las dos se resuelven aplicando el méodo de inegración por pares dos du d d v e d e e e d ; e (*) donde e d Hacemos nuevamene u du d dv e d v e d e e e d e e Y volviendo nuevamene a la epresión (*) obenemos el resulado final: e e e C b) cosd u dv cosd du d v cosd cosd sen sen send. Aplicamos nuevamene el méodo de inegración por pares: u ; dv = send.

3 du d; v = send sen d cos sen d cos cosd cos cosd cos sen 9 7 sen cos sen C 9 7.-negra la siguiene función racional: = d 6 Como no puede obenerse en el numerador la derivada del denominador, uilizaremos el méodo de descomposición en fracciones simples, ya que el denominador iene raices reales. 6 0 A B A B 6 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Como los numeradores son iguales los denominadores ambién lo serán: A( ) B( ) Para =, 7 = A; Para =, = B (A se le han dado los valores de las raices del denominador.). Ahora procedemos de la siguiene manera: 7 7L--L- 6 = d d d.-calcula por el méodo más adecuado las siguienes inegrales: a) ; ( ) d b) d 6 Solución a) La primera la resolvemos por un sencillo cambio de variable: d d d d ( ) d C

4 b) La segunda es una inegral en la que el numerador puede ransformarse en la derivada del denominor: 6 6 d d L C La función f()=+ iene infinias primiivas que difieren en una consane. Cuál de esas funciones oma el valor 8 para =? ( ). d C. C 8 C. La función buscada es: F ( ) Como oma el valor 8 para = resula: 7.-Halla una función cuya derivada sea f ( ) 7 para =. y que se anule Buscamos la inegral indefinida de f() que es: 7 ( 7 ). d C Como se anula para = enemos: 7.. C 0 y se obiene que C= - /6, por ano, la función buscada es 7 F ( ) 6 8.-Halla la función G al que G"()=6+; G(0)= y G()=0 Nos dan la segunda derivada por lo que enemos que inegrar dos veces: G' ( ) (6 ) d C G( ) ( C) d C D De G(0)= resula: D=, (después de susiuir la por 0.) De G()=0 obenemos: +/+C+=0,(después de susiuir la por ) por lo que C = -/. La función que buscamos es la siguiene: G( ) 9.-Dada la función f()=6 halla la primiiva que pasa por el puno A(,).

5 Hallamos la inegral indefinida: que es el conjuno de odas sus primiivas. Ahora buscamos la que pasa por el puno (,): 6 d C. C lo que indica que C=, por ano, la primiiva buscada es F ( ) 0.-Resolver la inegral d sen Es impar en sen por lo que hacemos el cambio cos= con lo que -sen.d=d. Enonces: sen. d sen.sen. d sen.sen.sen. = ( cos )( cos ).sen. d ( ).( d) d = = ( ). d ( ) C = C cos cos co C.- Calcula por el méodo más adecuado la siguiene inegral: cos. d cos cos cos ( cos ). cos ( cos )( cos ). d d cos ( cos ) cos cos cos sen =. d d cos sen cos d sen cos sen sen = d d = d cos d sen d = cg C sen d = sen cos Resolvemos ahora la inegral d haciendo el cambio sen= ; cosd=d y sen cos d enonces d d sen sen

6 .-Resuelve la inegral siguiene: d 9 La descomponemos en dos inegrales. En la primera podemos buscar en el numerador la derivada del denominador y en la segunda buscamos el arco angene d d 9 9 d d L( 9) 9 9 d 9 d d Haciendo el cambio /7= resula =7 y por ano d=7d por lo que.7d d arcg arcg 7 7.-Calcula por el méodo más adecuado la inegral siguiene: ( L) d Solución El méodo más adecuado es el de susiución o cambio de variable: L d = d ( L) ( L) d ( L). d d C C.-Resuelva la inegral ( ) e d Se resuelve por pares: u du d dv e d v e d e ( ) e d ( ) e e d ( ) e e C.-Resuelve la siguiene inegral por pares: cos d

7 u cos dv cos d du sen d v cos d sen cos d cos cos d sen cos sen cos ( cos ) d sen d sen cos d cos d sen cos sen cos sen cos C 6.-Resuelve la siguiene inegral por pares: L ( ) d Solución u L( ) dv d L du d v. d L( ) d Dividiendo enre + se obiene - de cociene y de reso, por ano, L ( ) d. Finalmene se obiene L L C 7.-Resuelve la siguiene inegral rigonomérica: sen g d cos sen g sen sen d d cos cos cos La primera la ponemos de forma que el numerador sea la derivada del denominador: sen sen d d L cos cos cos Para la segunda hacemos un cambio de variable: sen d cos cos= ; -send=d

8 d d cos 8.-Resuelve la siguiene inegral: 8 d Las raíces del denominador son imaginarias. En ese caso se procede de la siguiene manera: ( ) ; es decir, denificando coeficienes se obiene: =; =. 8 8 Enonces resula: d d d ( ) ( ) 8 d Si hacemos el cambio planeada, 8 se obiene que d d d d arcg arcg C y llevandolo a la inegral d 9.-Resuelve la siguiene inegral: ( ) Esamos en el caso en que el denominador iene raíces múliples. Las descomposición enemos que hacerla de la siguiene forma: ( ) A B C ( ) D (Si la raiz múliple fuese de orden, llegariamos con las fracciones hasa ) ( ) A( ) B( ) C (donde hemos realizado la suma indicada) ( ) ( ) Si los numeradores son iguales, los numeradores ambién lo serán, por ano, A( ) B( ) C.

9 Para calcular los valores de A, B y C damos a los valores de 0, y oro valor cualquiera, por ejemplo,. De ese modo obenemos A=, B= y C=. Enonces: d d d d L L ( ) d ( ) ( ) ( ) L L C L L C 0.-Resuelve la siguiene inegral: d Soloción: El cambio a realizar en ese ipo de inegrales es d cos. d; Enonces: cos. cos. d Hacemos (sen) cos d. (*) cos d y la resolvemos por pares: sen ( sen ) cos cos u; cos. d dv; sen. d du; v cos. d sen sen.cos sen. d sen.cos ( cos ) d sen.cos d sen.cos Es decir, se. cos ; y por ano, Resulado que llevado a (*) nos da (sen.cos ). Si deshacemos el cambio de variable: sen ; Finalmene queda: y de la relación sen cos, sale que cos arcsen C cos. d

10 EJERCCOS PROPUESTOS..- Resolver la inegral: d sen (ndicación: Muliplica y divide por sen) Sol : L(cos ) L cos C d.- Resuelve sen (ndicación: muliplica y divide por el conjugado del denominador) Sol : g C cos a.- Halla el valor de la siguiene inegral: a d Sol. Buscando el arco seno resula: a. arcsen C a.- Resuelve la inegral siguiene: d Sol: Se hace el cambio.. m( índices) 6 m c y se obiene 6 6 6L 6 C.- Resuelve: 7 6 d Sol: Eliminamos el érmino en haciendo el cambio =b/. Después buscamos el arco seno y se obiene arcsen C 6.- Demosrar que d L a C a Sol: Hágase el cambio a

11 7.- Comprueba que d L C d 8.- Resuelve: 8 0 Sol. arcg 9.- Uilizando el cambio de variable e e e =, calcula e Sol. e L( e ) d sen 0.- Calcula la siguiene inegral: d sen cos sen cos (ndicación: Susiuye el por, después la descompones en suma de dos inegrales y cada una de ellas se resuelve por cambio de variable) Sol. L(cos ) L( sen).- Resuelve: d e Sol. L( e ) L( e ) C