Relación de ejercicios. Ecuaciones diferenciales

Transcripción

1 Relación de ejercicios. Ecuaciones diferenciales Abraham Rueda Zoca Ejercicio 1. [ punos] Resolver la ecuación diferencial: x = 2 + x + x 2 2. Solución. Veamos que se raa de una ecuación homogénea. Si desarrollamos el cociene del lado derecho de la ecuación queda x = 2 + x + x 2 = 1 + x ( x ) 2 ( x ) 2 + = F, donde F (z) = 1+z+z 2. Aplicando el procedimieno para ese ipo de ecuaciones, hacemos el cambio de variable u = x, de donde x = u. Derivando, y usando la regla para la derivada de un produco, enemos x () = u() + u (). (1) Por oro lado, usando la ecuación diferencial, enemos que ( x ) x () = F = F (u()) = 1 + u() + u() 2. (2) Por ano (1) y (2) conducen a la ecuación u() + u () = 1 + u() + u() 2 u () = 1 (1 + u()2 ). (3) Es claro que (3) es una ecuación de variables separadas, al y como esperábamos por eoría, la cual procedemos a resolver. Para ello, pasamos al miembro de la izquierda odos los érminos en u(): u () 1 + u() 2 = 1. Inegrando, enemos que arc g(u()) = Tomando angene u () 1 + u() 2 d = u() = an(k + ln( )), 1 d = ln( ) + k. lo que resuelve la ecuación (3). Recordemos, no obsane, que u nacía del cambio de variable u = x. Deshaciendo el cambio enemos que x() = u() = an(k + ln( )), lo cual concluye el ejercicio. 1

2 Ejercicio 2. [ punos] Resolver el problema de valores iniciales: x x = 3 x(1) = 1. () Solución. En ese caso se raa de una ecuación lineal. Para resolverla, primero buscamos solución de la ecuación homogénea 1 x x = 0. (5) Ésa se resuelve de forma sencilla despejando Inegrando enemos ln( x() ) = x = x x x = 1. x () x() d = 1 d = ln( ) + k, donde k es una ciera consane. Tomando exponenciales: x() = C, donde C = e k es una consane posiiva. Noemos que no buscamos solución de la ecuación homogénea sino de la ecuación complea. Para ello, aplicamos el méodo de variación de las consanes. Para ello, el procedimieno nos dice que busquemos una solución de la ecuación complea de la forma x() = C(), donde C es ahora una función de a la que permiimos omar cualquier valor real (no sólo posiivo). Así, x() = C() x () = C () + C(). Si ahora imponemos que x sea solución de la ecuación complea llegamos a que C () + C() 1 C() = 3, de donde C () = 2 C() = k Por ano, la solución de la ecuación es x() = k + 3. Para acabar con el ejercicio, imponemos la condición inicial, es decir, x(1) = 1 para despejar k. Tenemos 1 = x(1) = k k = Noemos que podemos dividir por x porque esa función no es idénicamene nula por la condición inicial. 2

3 En consecuencia la solución del problema de valores iniciales planeado y, por ano, del ejercicio es: x() = Ejercicio 3. [2 punos] Dos susancias químicas A y B se unen para formar una susancia C. Inicialmene, se ienen 0 g de A y 50 g de B. Además, se sabe que por cada gramo de B se usan dos gramos de A. Se observa que hay 10 g de C ranscurridos 5 minuos. Calcular la canidad de susancia C que se habrá formado ras 20 minuos. Hipóesis: 1. La ley de la Conservación de la Masa de Lavoisier dice que la canidad de susancia C es igual a la suma de la canidad de susancia A y de susancia B. 2. La rapidez con la que se forma la susancia C es proporcional al produco de la canidad de A y B que no han reaccionado. Solución. Comenzamos por definir funciones y consanes que serán de uilidad: y() denoará a la canidad de susancia C (en gramos) en el insane (medido en minuos). a() denoará a la canidad de susancia A (en gramos) que ya se ha uilizado en el insane (en minuos). b() denoará a la canidad de susancia B (en gramos) que ya se ha uilizado en el insane (en minuos). α = a(0) = 0 denoa a la canidad de susancia de A que había en el insane inicial. β = b(0) = 50 denoa a la canidad de susancia de B que había en el insane inicial. Buscaremos relaciones enre las canidades aneriores haciendo uso de las hipóesis. Por un lado, de la Ley de la Conservación de la Masa de Lavoisier deducimos que Del enunciado: deducimos que y() = a() + b(). (6) Además, se sabe que por cada gramo de B se usan dos gramos de A. Combinando (6) y (7) deducimos que y() = a() + b() = 3b() a() = 2b(). (7) 3 { b() = y(), 3 a() = 2y() 3.

4 Finalmene, aplicaremos la segunda hipóesis. Como a() denoa a la canidad de susancia de A empleada en el insane, la susancia que no ha reaccionado será igual a la inicial menos la que ha reaccionado, es decir, α a(). Análogamene, la canidad de susancia de B que no ha reaccionado será β b(). Esa hipóesis esablece que la rapidez de formación de susancia C, denoada por y (), cumple la ecuación y () = k(α a())(β b()). Usando la relación exisene enre a, b e y deducimos que ( y () = k α 2y() ) ( β y() ) = k (3α 2y())(3β y()) Susiuyendo α y β por su valor llegamos a y () = k (120 2y())(150 y()), 9 la cual es una ecuación en variables separadas que nos disponemos a resolver. Tenemos que y () k (120 2y())(150 y()) d = k d = C, donde k y C se hallaran usando la condición inicial y la observación ranscurridos 5 minuos. Primero, enemos que resolver la inegral de la izquierda. Para resolverla necesiamos aplicar écnicas propias de las inegrales racionales, así que buscamos una descomposición en fracciones simples del siguiene ipo 1 (120 2x)(150 x) = A 120 2x + B 150 x Evaluando en x = 60 y x = 150 enemos x = 60 90A = 1 A = = A(150 x) + B(120 2x). x = B = 1 B = Por ano y () (120 2y())(150 y()) d = 1 y () y() d = 1 2y () y() d y () 150 y() d (ln(150 y()) ln(120 2y())) 180 ( ) y() 180 ln, 120 2y() y() 150 y() d

5 donde en la úlima igualdad se han usado propiedades de la función logarimo. Además, noemos que hemos escrio que 150 y() = 150 y() y que 120 2y() = 120 y(). La razón es que, si enemos en cuena (6) y (7) enemos que y() (6) = a() + b() (7) = a() + a() 2 = 3 2 a() 3 0 = 60, 2 donde el hecho de que a() 0 es evidene de la hipóesis de que se pare de 0g de A. Enonces 150 y() 120 2y() 0, y lo anerior se sigue. Si resumimos, hemos llegado a que ( ) y() 180 ln = k 120 2y() 9 + C, luego Tomando exponenciales ( ) 150 y() ln = 20k + 180C y() 150 y() 120 2y() = κe20k, donde hemos denoado por κ = e 180C por comodidad. Anes de despejar y(), usaremos la fórmula anerior para hallar más cómodamene los valores k y κ. Primero, usamos que en el insane = 0 no hay susancia C, es decir, que y(0) = 0. Imponiendo eso en la ecuación anerior nos queda = κe0 = κ, luego κ = 5. Por ora pare, como en el insane = 5 hay 10 gramos de C, se iene que y(5) = 10. Eso impone la condición 150 y(5) 120 2y(5) = = 5 e100k. Usando sencillas propiedades del logarimo deducimos que k = ln(28) ln(25) 100. Usaremos eso más arde para calcular el valor y(20), objeivo del ejercicio, pero anes calculemos una expresión explícia de y(). De la idenidad enemos 150 y() 120 2y() = κe20k 150 y() = 120κe 20k 2y()κe 20k, de donde y() = 120κe20k κ 150e 20k =. 2κe 20k 1 2κ e 20k En forma sinéica, eniendo en cuena que 120κ = 150, la expresión se sineiza y() = e 20k 5. 2 e 20k 5

6 Por ano, la canidad de susancia C formada ras 20 minuos de reacción será y(20) = e ln(28) ln(25) 5 e, ln(28) ln(25) 2 dejando al esudiane curioso la búsqueda de una aproximación para esa canidad. 6