Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales

Transcripción

1 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Velocidad de Variación: Cuando una canidad z varía con el iempo, la velocidad con la que lo hace se puede represenar como z v, siendo v una velocidad promedio. Si queremos saber la velocidad en ciero insane enonces aplicamos el límie a la expresión anerior, cuando. En oras palabras, la velocidad insanánea de variación de z con el iempo se expresa como la derivada: dz z lim. Si esa velocidad de variación de z es proporcional a la canidad presene de z, enonces podemos planear la ecuación diferencial: dz kz Donde k es una consane de proporcionalidad y es el iempo. De esa forma si decimos, por ejemplo, que la rapidez con que cambia la emperaura de un cuerpo es proporcional a la emperaura del mismo, planeamos la ecuación: dt kt Donde T es la emperaura del cuerpo y es el iempo. Si resolvemos la ecuación diferencial anerior obenemos un modelo, con el que podremos predecir el comporamieno del fenómeno físico en cuesión, y más aún, si esamos en condiciones de conrolar una de las variables, enemos la posibilidad de lograr efecos deseados sobre la ora. Ejemplo : Deermine las ecuaciones de movimieno recilíneo uniforme de una parícula: Cuando una parícula se mueve en línea reca y a velocidad consane se dice que iene un movimieno recilíneo uniforme. La velocidad se expresa a su vez como el cambio de posición respeco al iempo, con lo que podemos esablecer la ecuación: x v

2 Donde x represena la posición de la parícula respeco a una referencia arbiraria. Si queremos obener la velocidad insanánea de la parícula enonces la ecuación anerior se escribe como: dx v Esa es una ecuación diferencial que se resuelve con el méodo de separación de variables, como se indica enseguida: dx v v dx v dx v x x v x x x v x La úlima expresión consiuye el modelo maemáico del movimieno recilíneo uniforme de una parícula, y con él enemos la posibilidad de predecir el comporamieno del fenómeno. Por ejemplo, si la parícula pare de x my viaja con una velocidad consane de 2 m s podemos predecir la posición de la misma cuando ha ranscurrido un iempo de 3 minuos: Para ener unidades compaibles converimos el iempo dado en minuos a 6 s segundos: 3 min 8 s. Después susiuimos los daos en el min modelo. x v x x 2 m s 8 s m x 37 m. Así lo podemos hacer para cualquier insane. x x Ejemplo 2: Deermine las ecuaciones de movimieno uniformemene acelerado de una parícula: Cuando una parícula se mueve en línea reca y con aceleración consane se dice que iene un movimieno uniformemene acelerado. La aceleración se expresa como el cambio de velocidad respeco al iempo, con lo que podemos esablecer la ecuación: v a La aceleración insanánea se expresa como: dv a Nuevamene enemos una ecuación que se resuelve por separación de variables:

3 dv a a dv a dv a v v a v v v a v Con la úlima ecuación podemos predecir la velocidad de la parícula en cualquier insane. dx Por ora pare sabemos que v. Susiuyendo eso en la ecuación de velocidad enconrada enemos lo siguiene: dx v a v a v dx a v dx a v v v x x x a v x x a v x x a v x 2 2 Con esa expresión predecimos la posición de la parícula en cualquier insane. En resumen las ecuaciones del movimieno uniformemene acelerado son:. Velocidad: v a v 2. Posición: x a v x 2 2 Ejemplo 3: Un cuerpo cuya emperaura es de 25 C se ha colocado en un ermosao manenido a C. Sabiendo que la velocidad de enfriamieno de un cuerpo es proporcional a la diferencia enre la emperaura del cuerpo y la emperaura del medio ambiene deermine cuáno ardará el cuerpo en enfriarse hasa C, si en 2 min se enfría hasa 2 C. De acuerdo al enunciado del problema podemos esablecer la siguiene ecuación diferencial: dt k T Ta Donde: T es la emperaura del cuerpo en grados Celsius T es la emperaura del medio ambiene a k es la consane de proporcionalidad en es el iempo en s dt Pero Ta kt. Se procede a resolver la ecuación diferencial por separación de variables: s

4 dt dt dt kt k k T T lnt k c T e T C e k c k A coninuación se deben susiuir las condiciones iniciales para enconrar las consanes: Si T 25º C : T C e 25 C 25 C Al susiuir ese resulado en el modelo obenemos la siguiene ecuación: e k T 25e Pero ambién enemos la condición que si han ranscurrido 2 min la emperaura del cuerpo ha descendido hasa 2 C. k2 2k 2 4 T 25e 2 25e e 2k ln k. 223 k k. 6 2 Nuevamene susiuimos el valor de k en la solución de la ecuación diferencial: k T 25e T 25e. 6 Finalmene calculamos el iempo requerido para que el cuerpo se enfríe hasa C: T 25e 25 e e e ln min. 6 Como conclusión podemos afirmar que el cuerpo se enfría hasa C cuando ranscurren 82 minuos ( hora 22 minuos) desde que inicia el proceso. Ejemplo 4: Un disco que gira en un líquido rearda su velocidad angular a causa de la fricción. Se sabe que esa disminución de velocidad es proporcional a la velocidad misma. Deerminar a qué velocidad girará el disco cuando han ranscurrido 4 minuos, si cuando giraba a 2 rpm y cuando min gira a 8 rpm. Si la variación de la velocidad angular es proporcional a la velocidad angular, la ecuación diferencial quedaría expresada de la siguiene forma:

5 d k Donde: es la velocidad angular en rad s. k es la consane de proporcionalidad en es el iempo en s. s. Se procede enonces a resolver la ecuación diferencial: d d d k k k ln k c c e C e Susiuimos las condiciones iniciales: 2 rpm : k C e 2 C e C 2 2 e min 8 rpm k k 8 k 2 2 e 8 2 e e e k ln k Por lo que el modelo que describe el fenómeno queda de la siguiene forma: 2 e 2 e. 455 Si 4 min enonces: e e. rpm. Podemos afirmar que ranscurridos 4 minuos de que inicia el proceso, la velocidad angular del disco es de 23.7 rpm. Ejemplo 5: Durane un proceso de fermenación, la velocidad del incremeno del fermeno acivo es proporcional a la canidad exisene. Si la canidad inicial es de g y al cabo de una hora alcanza.2g a cuános gramos llegará 5 horas después de comenzar el proceso? Si la velocidad del incremeno del fermeno acivo es proporcional a la canidad exisene, podemos esablecer la siguiene ecuación diferencial: df kf

6 Donde: F es la canidad de fermeno acivo en gramos. k es la consane de proporcionalidad en s. es el iempo en s. Resolvemos la ecuación: df df df kf k k lnf c F F F C e Susiuyendo condiciones iniciales: F g : F. 2g k F C e C e C F e F e. e k ln. k. k() F e Calculamos para un iempo de cinco horas: F e F e F e F 2. 49g Podemos esablecer que al cabo de 5 horas la canidad de fermeno acivo será de 2.49g. Ejemplo 6: Una susancia radiaciva se descompone con una velocidad proporcional a la canidad presene. Si en 6 años desaparece la miad de la canidad inicial, hallar la canidad perdida en 3 años. Si la velocidad con que se descompone la susancia radiaciva es proporcional a la canidad presene podemos esablecer la siguiene ecuación diferencial: dq kq Donde: Q es la canidad de susancia en gramos. k es la consane de proporcionalidad en es el iempo en s. s. Resolviendo la ecuación diferencial:

7 dq dq dq kq k k lnq c Q Q QC Susiuimos las condiciones iniciales: Q Q e k Q C e Q C e C Q Q Q e 6 Q. 5Q k6 5. Q 6k e 5. e e Q Q Q Q Q k ln. 5 k k k e. 4 5 Q Q e Calculamos ahora para un iempo de 3 años: Q Q e Q Q e Q Q. 878 Q. 878Q Para obener la canidad perdida en porcenaje procedemos de la siguiene manera: Q. 878Q 2. 9% Q En 3 años se pierde el 2.9% de la canidad original de la susancia radiaciva. Ejemplo 7: Un culivo iene ciera canidad de bacerias. Cuando han ranscurrido 6 min la canidad se incremenó en 5%. Si el crecimieno de las bacerias es proporcional a la canidad exisene calcule el iempo necesario para riplicar la canidad inicial de los microorganismos. Si el crecimieno de las bacerias es proporcional a la canidad exisene podemos esablecer la siguiene ecuación diferencial: db kb

8 Donde: B es la canidad de bacerias. k es la consane de proporcionalidad en es el iempo en s. s. Resolviendo la ecuación diferencial llegamos al siguiene resulado: B C e Susiuyendo condiciones iniciales: B B B B e Si ranscurren 6 min la canidad de bacerias crece en 5%, es decir después de 6 min a la canidad original hay que sumar la miad de dicha canidad: B B. 5B. 5 B Susiuyendo nuevamene en la ecuación: k k 6 6k B B e. 5 B B e e. 5 6 k ln k k B B e La canidad final debe ser de 3 veces la canidad original, por lo que B 3B : e e e B B 3B B ln min Para que se riplique la canidad de bacerias deberá ranscurrir 2 horas y 42.6 minuos. Ejemplo 8: Un depósio coniene 4 liros de salmuera, habiendo 8kg de sal en la solución. Se inroduce en el depósio y a razón de 2 liros por minuo, agua salada cuya composición es de kg de sal por liros; con la misma velocidad sale del depósio la salmuera. Si mediane un agiador se maniene uniforme la mezcla, hállese la canidad de sal que hay en el anque al cabo de una hora. 2 l/min 4 l. de Salmuera 2 l/min

9 La ecuación diferencial que define la variación de la canidad de sal en el anque es: dm M M E S Donde: M : Canidad de sal en el anque en cualquier insane en kg. M : Canidad de sal que enra en el anque, en kg/min. E M : Canidad de sal que sale del anque, en kg/min. S Canidad de sal que enra por minuo: M E l kg kg 2 2 min l min l M kg M kg Canidad de sal que sale por minuo: Ms 2 min 4 l 2 min Susiuyendo M E y M S en la ecuación diferencial: Procedemos a resolver esa ecuación: dm ME M dm S 2 M 2 dm dm dm 2. 5M 2. 5M 2. 5M 2 ln 2. 5M c ln 2. 5M. 5 c 2. 5M e. 5M 2 C e. 5 c C e M M 4 C e Susiuimos las condiciones iniciales: M 8 kg e 8 4 e 8 4 M C C C C 4 8 C 4 La solución paricular de la ecuación diferencial será: M 4 C e M 4 4 e M 4 4e Calculamos para un iempo de 6 minuos: e 4 4 e M M M M M M 42 kg La canidad de sal en el anque después de 6 minuos es de 42 kilogramos.

10 Ejercicios. Esablezca un modelo maemáico que permia predecir el número de habianes en un país en función del iempo. Considere que los índices de naalidad y moralidad son aproximadamene consanes y que no hay migración de la población. Consruya las curvas de crecimieno para los casos donde la naalidad es mayor a la morandad y viceversa. Si en 99 la población era de 87 millones de habianes y en el año 2 de 5 millones, cuános habianes exisirán en el año 25? Sol: millones de habianes. 2. Una goa de agua se evapora con una velocidad proporcional a la superficie. Encuenre el radio de la goa en función del iempo si inicialmene la goa enía un radio de 5mm y ranscurrido un minuo su radio es de 3.5mm. Qué iempo ardará en secarse la goa? Sol: 2 segundos. 3. Se coloca una canidad de mil pesos a un inerés del 2% anual con la condición de que los inereses podrán sumarse al capial en cualquier momeno. Cuános años ranscurrirán para que se doble la inversión inicial? Sol: 5.8 años. 4. Se suela un paquee en un plano inclinado como se muesra. Si el coeficiene de fricción cinéico es k. 25 obenga una ecuación que defina la posición del paquee respeco al iempo y ora que defina la velocidad. Deermine ambién: a) la disancia recorrida por el paquee después de 2 segundos, b) la velocidad alcanzada para segundo, c) la aceleración del paquee. Sol: x 5. 56m v a m s m 2 s x 2 kg 3 5. Denro de un recipiene que coniene 3 kg de sal disuela en liros de agua, se viere agua pura a razón de 3 liros por minuo, y la solución bien mezclada sale a razón de 2 liros por minuo. Hallar la canidad de sal que hay en el recipiene al cabo de una hora. Sol:.72 kg.

11 UNIVERSIDAD DEL MAR MATEMÁTICAS II ALUMNO: TAREA # Fecha de enrega: 9 de Abril. Una esfera meálica que al comenzar un experimeno enía 2 C, se enfría hasa C por un chorro de agua. A los 8 minuos la esfera se había enfriado hasa 9 C. Considerando que la velocidad de enfriamieno es proporcional a la diferencia enre la emperaura del cuerpo y la del agene refrigerane, hallar: a) cuáno iempo ardará la esfera en enfriarse hasa 7 C? b) cuál será la emperaura de la esfera a los 3 minuos de haber empezado el enfriamieno? 2. En una reacción química la susancia A se ransforma en ora susancia a una velocidad proporcional a la canidad de A exisene. Si en un principio había 4g de A y una hora mas arde 2g, en qué iempo se habrá ransformado el 9% de A? 3. Suponga que la variación de la presión amosférica con la aliud es proporcional a la presión misma. Si la presión a nivel del mar es de.33 kg/cm 2 y a 224m sobre el nivel del mar de.78 kg/cm 2 obenga el modelo que esablezca la presión en función de la alura. Cuál será la presión amosférica en la cumbre del volcán Popocaépel (h=5465m)? 4. Se ha analizado un hueso fosilizado y se enconró que conenía la cenésima pare de la canidad original de carbono 4. Deermine la edad del fósil si la vida media del C-4 es de 56 años. 5. Un anque que almacena agua iene una pequeña fuga en el fondo. Si el agua escapa con una rapidez proporcional a la presión y que durane el primer día se fuga el 5%, cuál será el iempo necesario para que se vacíe la miad del depósio? 6. La población de ciera ciudad aumena proporcionalmene a la misma. Si en 4 años aumena de 4 mil a 9 mil habianes, cuál será la población al cabo de 6 años?