EJEMPLO 3 Edad de un fósil

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1 3. MODELOS LINEALES MODELOS LINEALES REASO DE MATERIAL Ecuación diferencial como modelo maemáico en la sección.3. Leer nuevamene Solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden, página 55 en la sección 2.3. INTRODUCCIÓN En esa sección resolvemos algunos de los modelos lineales de primer orden que se presenaron en la sección.3. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO El problema con valores iniciales dx d kx, x( 0) x 0, () donde k es una consane de proporcionalidad, sirve como modelo para diferenes fenómenos que ienen que ver con crecimieno o decaimieno. En la sección.3 vimos que en las aplicaciones biológicas la razón de crecimieno de cieras poblaciones (bacerias, pequeños animales) en coros periodos de iempo es proporcional a la población presene en el iempo. Si se conoce la población en algún iempo inicial arbirario 0, la solución de la ecuación () se puede uilizar para predecir la población en el fuuro, es decir, a iempos 0. La consane de proporcionalidad k en la ecuación () se deermina a parir de la solución del problema con valores iniciales, usando una medida poserior de x al iempo 0. En física y química la ecuación () se ve en la forma de unareacción de primer orden, es decir, una reacción cuya razón, o velocidad, dx d es direcamene proporcional a la canidad x de susancia que no se ha converido o que queda al iempo. La descomposición, o decaimieno, de U-238 (uranio) por radiacividad en Th-234 (orio) es una reacción de primer orden. () = 0 e = 2.7 FIGURA 3.. Tiempo en que se riplica la población. EJEMLO Crecimieno de bacerias Inicialmene un culivo iene un número 0 de bacerias. En h se deermina que el número de bacerias es Si la razón de crecimieno es proporcional al número de bacerias () presenes en el iempo, deermine el iempo necesario para que se riplique el número de bacerias. SOLUCIÓN rimero se resuelve la ecuación diferencial (), susiuyendo el símbolo x por. Con 0 0 la condición inicial es (0) 0. Enonces se usa la observación empírica de que () para deerminar la consane de proporcionalidad k. Observe que la ecuación diferencial d d k es separable y lineal. Cuando se pone en la forma esándar de una ED lineal de primer orden, d d k 0, se ve por inspección que el facor inegrane es e k. Muliplicando ambos lados de la ecuación e inegrando se obiene, respecivamene, d d [e k ] 0 y e k c. or ano () ce k. En 0 se iene que 0 ce 0 c, por ano () 0 e k. En se iene que e k, o e k 3 2. De la úlima ecuación se obiene k n , por ano () 0 e ara deerminar el iempo en que se ha riplicado el número de bacerias, resolvemos e para. Enonces n 3, o ln h. Vea la fi gura 3...

2 84 CAÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE RIMER ORDEN y ek, k > 0 crecimieno ek, k < 0 crecimieno FIGURA 3..2 Crecimieno (k 0) y decaimieno (k 0). Observe en el ejemplo que el número real 0 de bacerias presenes en el iempo 0 no iene que ver en el cálculo del iempo que se requirió para que el número de bacerias en el culivo se riplique. El iempo necesario para que se riplique una población inicial de, digamos, 00 o de bacerias es de aproximadamene 2.7 horas. Como se muesra en la fi gura 3..2, la función exponencial e k aumena conforme crece para k 0 y disminuye conforme crece para k 0. Así los problemas que describen el crecimieno (ya sea de poblaciones, bacerias o aun de capial) se caracerizan por un valor posiivo de k, en ano que los problemas relacionados con decaimieno (como en la desinegración radiaciva) ienen un valor k negaivo. De acuerdo con eso, decimos que k es una consane de crecimieno (k 0) o una consane de decaimieno (k 0). VIDA MEDIA En física la vida media es una medida de la esabilidad de una susancia radiaciva. La vida media es, simplemene, el iempo que arda en desinegrarse o ransmuarse en oro elemeno la miad de los áomos en una muesra inicial A 0. Mienras mayor sea la vida media de una susancia, más esable es la susancia. or ejemplo, la vida media del radio alamene radiacivo Ra-226 es de aproximadamene 700 años. En 700 años la miad de una canidad dada de Ra-226 se ransmua en radón, Rn-222. El isóopo más común del uranio, U-238, iene una vida media de años. En aproximadamene 4.5 miles de millones de años la miad de una canidad de U-238 se ransmua en plomo 206. EJEMLO 2 Vida media del pluonio Un reacor de cría conviere uranio 238 relaivamene esable en el isóopo pluonio 239. Después de 5 años, se ha deerminado que 0.043% de la canidad inicial A 0 de pluonio se ha desinegrado. Deermine la vida media de ese isóopo, si la razón de desinegración es proporcional a la canidad que queda. SOLUCIÓN SeaA() la canidad de pluonio que queda al iempo. Como en el ejemplo, la solución del problema con valores iniciales da d ka, A(0) A 0 es A() A 0 e k. Si se ha desinegrado 0.043% de los áomos de A 0, queda %. ara enconrar la consane k, usamos A 0 A(5), es decir, A 0 A 0 e 5k. Despejando k se obiene k 5 n or ano A() A 0 e Ahora la vida media es el valor del iempo que le corresponde a A() 2 A 0. Despejando se obiene 2A 0 A 0 e o 2 e De la úlima ecuación se obiene ln ,80 años. FECHADO CON CARBONO Alrededor de 950, el químico Willard Libby invenó un méodo que uiliza al carbono radiacivo para deerminar las edades aproximadas de fósiles. La eoría del fechado con carbono, se basa en que el isóopo carbono 4 se produce en la amósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nirógeno. La razón de la canidad de C-l4 con el carbono ordinario en la amósfera parece ser consane y, en consecuencia, la canidad proporcional del isóopo presene en odos los organismos vivos es igual que la de la amósfera. Cuando muere un organismo cesa la absorción del C-l4 sea por respiración o alimenación. Así, al comparar la canidad proporcional de C-4 presene, por ejemplo en un fósil con la razón consane que hay en la amósfera, es posible obener una esimación razonable de la edad del fósil. El méodo se basa en que se sabe que la vida media del C-l4 radiacivo es de aproximadamene años. or ese rabajo, Libby obuvo el remio Nobel de química en 960. El méodo de Libby se

3 ha uilizado para fechar los muebles de madera en las umbas egipcias y las envoluras de lino de los rollos del Mar Muero y la ela del enigmáico sudario de Turín. EJEMLO 3 Edad de un fósil Se encuenra que un hueso fosilizado coniene la cenésima pare de la canidad de C-4 enconrada en la maeria viva. Deermine la edad del fósil. SOLUCIÓN El puno de parida es, de nuevo, A() A 0 e k. ara deerminar el valor de la consane de decaimieno k, usamos el hecho de que 2A0 A(5600) o 0 A0e. 2 A De 5600k 5600k ln 2 ln 2, obenemos k (n 2)/ , por ano A() A 0 e Con A() A0 enemos 000A0 A0e, por lo que ln 000 ln 000. Así la edad del fósil es aproximadamene ln MODELOS LINEALES años. En realidad, la edad deerminada en el ejemplo 3 esá en el límie de exaciud del méodo. Normalmene esa écnica se limia a aproximadamene 9 vidas medias del isóopo, que son aproximadamene años. Una razón para esa limiane es que el análisis químico necesario para una deerminación exaca del C-l4 que queda, presena obsáculos formidables cuando se alcanza el puno de A. También, en ese méodo se necesia desruir gran pare de la muesra. Si la medición se realiza indirecamene, basándose en la radiacividad exisene en la muesra, es muy difícil disinguir la radiación que procede del fósil de la radiación de fondo normal.* ero recienemene, con los aceleradores de parículas los cienífi cos han podido separar al C-l4 del esable C-2. Cuando se calcula la relación exaca de C-l4 a C-2, la exaciud de ese méodo se puede ampliar hasa a años. Hay oras écnicas isoópicas, como la que usa poasio 40 y argón 40, adecuadas para esablecer edades de varios millones de años. A veces, ambién es posible aplicar méodos que se basan en el empleo de aminoácidos. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO En la ecuación (3) de la sección.3 vimos que la formulación maemáica de la ley empírica de Newon del enfriamieno/calenamieno de un objeo, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden dt, d k(t T m) (2) donde k es una consane de proporcionalidad, T() es la emperaura del objeo para 0, y T m es la emperaura ambiene, es decir, la emperaura del medio que rodea al objeo. En el ejemplo 4 suponemos que T m es consane. EJEMLO 4 Enfriamieno de un pasel Al sacar un pasel del horno, su emperaura es 300 F. Tres minuos después su emperaura es de 200 F. Cuáno iempo le omará al pasel enfriarse hasa la emperaura ambiene de 70º F? *El número de desinegraciones por minuo por gramo de carbono se regisra usando un conador Geiger. El nivel mínimo de deección es de aproximadamene 0. desinegraciones por minuo por gramo. El fechado con poasio-argón se usa en el regisro de maeriales ales como minerales, piedras, lava y maeriales exraerresres como rocas lunares y meeorios. La edad de un fósil se puede esimar deerminando la edad del esrao en que se enconraba la roca.

4 86 CAÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE RIMER ORDEN T T = T() a) (min) b) FIGURA 3..3 La emperaura de enfriamieno del pasel iende a la emperaura ambiene. SOLUCIÓN En la ecuación (2) idenifi camos T m 70. Debemos resolver el problema con valores iniciales dt k(t 70), T(0) 300 (3) d y deerminar el valor de k al que T(3) 200. La ecuación (3) es ano lineal como separable. Si separamos las variables dt, T 70 kd se obiene ln T 70 k c, y así 70 c 2 e k. Cuando 0, T 300, así c 2 da c or ano T e k. or úlimo, la medición de T(3) 200 conduce a e 3k 3, o k ln Así T() e (4) Observamos que la ecuación (4) no iene una solución fi nia a T() 70 porque T() 70. No obsane, en forma inuiiva esperamos que el pasel se enfríe al ranscurrir un inervalo razonablemene largo. Qué an largo es largo? or supueso, no nos debe inquiear el hecho de que el modelo (3) no se apegue mucho a nuesra inuición física. Los incisos a) y b) de la fi gura 3..3 muesran claramene que el pasel esará a la emperaura ambiene en aproximadamene una media hora. La emperaura ambiene en la ecuación (2) no necesariamene es una consane, pudiera ser una función T m () del iempo. Vea el problema 8 de los ejercicios 3.. MEZCLAS Al mezclar dos fl uidos a veces surgen ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras en la sección.3, supusimos que la razón con que cambia la canidad de sal A () en el anque de mezcla es una razón nea da d Renra R sale. (5) En el ejemplo 5 resolveremos la ecuación (8) de la sección.3. EJEMLO 5 Mezcla de dos soluciones de sal Recordemos que el anque grande de la sección.3 conenía inicialmene 300 galones de una solución de salmuera. Al anque enraba y salía sal porque se bombeaba una solución a un fl ujo de 3 gal/min, se mezclaba con la solución original y salía del anque con un fl ujo de 3 gal/min. La concenración de la solución enrane era 2 lb/gal, por consiguiene, la enrada de sal era R enra (2 lb/gal) (3 gal/min) 6 lb/min y salía del anque con una razón R sale (A 300 lb/gal) (3 gal/min) A l00 lb/min. A parir de esos daos y de la ecuación (5) obuvimos la ecuación (8) de la sección.3. ermíanos pregunar: si había 50 lb de sal disuelas en los 300 galones iniciales, cuána sal habrá en el anque pasado un gran iempo? SOLUCIÓN ara enconrar la canidad de sal A() en el anque al iempo, resolvemos el problema con valores iniciales da d 00 A 6, A(0) 50. Aquí observamos que la condición adjuna es la canidad inicial de sal A(0) 50 en el anque y no la canidad inicial de líquido. Ahora como el facor inegrane de esa

5 3. MODELOS LINEALES 87 A A = 600 (min) a) 500 A (lb) b) FIGURA 3..4 Libras de sal en el anque como una función del iempo. E FIGURA 3..5 Circuio en serie LR. E FIGURA 3..6 Circuio en serie RC. L R R C ecuación diferencial lineal es e /00, podemos escribir la ecuación como d. d [e/00 A] 6e /00 Inegrando la úlima ecuación y despejando A se obiene la solución general A() 600 ce /00. Conforme 0, A 50, de modo que c 550. Enonces, la canidad de sal en el anque al iempo esá dada por A() e /00. (6) La solución (6) se usó para consruir la abla de la fi gura 3..4b. En la ecuación (6) y en la fi gura 3..4a ambién se puede ver, que A() : 600 conforme :. or supueso que eso es lo que se esperaría inuiivamene en ese caso; cuando ha pasado un gran iempo la canidad de libras de sal en la solución debe ser (300 ga)(2 lb/gal) 600 lb. En el ejemplo 5 supusimos que la razón con que enra la solución al anque es la misma que la razón con que sale. Sin embargo, el caso no necesia ser siempre el mismo; la salmuera mezclada se puede sacar con una razón r sale que es mayor o menor que la razón r enra con la que enra la ora salmuera. or ejemplo, si la solución bien mezclada del ejemplo 5 sale con una razón menor, digamos de r sale 2 gal/min, enonces se acumulará líquido en el anque con una razón de r enra r sale (3 2) gal/min gal/min. Después de minuos ( gal/min) ( min) gal se acumularán, por lo que en el anque habrá 300 galones de salmuera. La concenración del fl ujo de salida es enoncesc() A (300 ) y la razón con que sale la sal es R sale c() r sale, o R A 300 lb/gal 2A. (2 gal/min) 300 lb/min sale or ano, la ecuación (5) se conviere en da 6 2A da. d 300 o 2 d 300 A 6 Debe comprobar que la solución de la úlima ecuación, sujea A(0) 50, es A() ( )(300 ) 2. Vea el análisis siguiene a la ecuación (8) de la sección.3, del problema 2 en los ejercicios.3 y en los problemas 25 a 28 de los ejercicios 3.. CIRCUITOS EN SERIE ara un circuio en serie que sólo coniene un resisor y un inducor la segunda ley de Kirchhoff esablece que la suma de la caída de volaje a ravés del inducor (L(di d)) más la caída de volaje a ravés del resisor (ir) es igual al volaje aplicado (E()) al circuio. Vea la fi gura or ano obenemos la ecuación diferencial lineal para la corriene i(), L di Ri E(), (7) d donde L y R son consanes conocidas como la inducancia y la resisencia, respecivamene. La corriene i() se llama, ambién respuesa del sisema. La caída de volaje a ravés de un capacior de capaciancia C es q() C, donde q es la carga del capacior. or ano, para el circuio en serie que se muesra en la fi gura 3..6, la segunda ley de Kirchhoff da Ri q E(). (8) C ero la corriene i y la carga q esán relacionadas por i dq d, así la ecuación (8) se conviere en la ecuación diferencial lineal q E(). (9) R dq d C

6 88 CAÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE RIMER ORDEN 0 EJEMLO 6 Circuio en serie Una baería de 2 vols se coneca a un circuio en serie en el que el inducor es de henry 2 y la resisencia es de 0 ohms. Deermine la corriene i, si la corriene inicial es cero. SOLUCIÓN De la ecuación (7) debemos resolver 2 d di 0i 2, sujea a i(0) 0. rimero muliplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el facor inegrane es e 20. Enonces susiuyendo d d [e20 i] 24e 20. Inegrando cada lado de la úlima ecuación y despejando i se obiene i() 6 ce. Ahora i(0) implica que 0 6 c 6 5 o c 5.. or ano la respuesa es i() e. 20 De la ecuación (4) de la sección 2.3, podemos escribir una solución general de (7): i() e (R/L) e. (R/L) E()d ce (0) (R/L) L En paricular, cuando E() E 0 es una consane, la ecuación (l0) se conviere en 2 a) i() E 0. R ce (R/L) () Observamos que conforme :, el segundo érmino de la ecuación () iende a cero. A ese érmino usualmene se le llama érmino ransiorio; los demás érminos se llaman pare de esado esable de la solución. En ese caso, E 0 R ambién se llama corriene de esado esable; para valores grandes de iempo resula que la corriene esá deerminada an sólo por la ley de Ohm (E ir). 0 0 FIGURA 3..7 El crecimieno poblacional es un proceso discreo. b) c) COMENTARIOS La solución () 0 e del problema con valores iniciales del ejemplo describe la población de una colonia de bacerias a cualquier iempo 0. or supueso, () es una función coninua que oma odos los números reales del inervalo 0. ero pueso que esamos hablando de una población, el senido común indica que puede omar sólo valores posiivos. Además, no esperaríamos que la población crezca coninuamene, es decir, cada segundo, cada microsegundo, ec., como lo predice nuesra solución; puede haber inervalos de iempo [, 2 ], en los que no haya crecimieno alguno. Quizá, enonces, la gráfi ca que se muesra en la fi gura 3..7a es una descripción más real de que la gráfi - ca de una función exponencial. Usar una función coninua para describir un fenómeno discreo con frecuencia es más conveniene que exaco. Sin embargo, para cieros fi nes nos podemos senir saisfechos si el modelo describe con gran exaciud el sisema, considerado macroscópicamene en el iempo como se mues - ra en las fi guras 3..7b y 3..7c, más que microscópicamene, como se muesra en la fi gura 3..7a.

7 3. MODELOS LINEALES 89 EJERCICIOS 3. Crecimieno y decrecimieno. Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presenes en el iempo. Si la población inicial 0 se duplicó en 5 años, En cuáno iempo se riplicará y cuadruplicará? 2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema es de 0000 después de res años. Cuál era la población inicial 0? Cuál será la población en 0 años? Qué an rápido esá creciendo la población en 0? 3. La población de un pueblo crece con una razón proporcional a la población en el iempo. La población inicial de 500 aumena 5% en 0 años. Cuál será la población pasados 30 años? Qué an rápido esá creciendo la población en 30? 4. La población de bacerias en un culivo crece a una razón proporcional a la canidad de bacerias presenes al iempo. Después de res horas se observa que hay 400 bacerias presenes. Después de 0 horas hay bacerias presenes. Cuál era la canidad inicial de bacerias? 5. El isóopo radiacivo del plomo b-209, decae con una razón proporcional a la canidad presene al iempo y iene un vida media de 3.3 horas. Si al principio había gramo de plomo, cuáno iempo debe ranscurrir para que decaiga 90%? 6. Inicialmene había 00 miligramos de una susancia radiaciva. Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la razón de decaimieno, en cualquier momeno, es proporcional a la canidad de la susancia presene al iempo, deermine la canidad que queda después de 24 horas. 7. Calcule la vida media de la susancia radiaciva del problema a) El problema con valores iniciales da d ka, A(0) A 0 es el modelo de decaimieno de una susancia radiaciva. Demuesre que, en general, la vida media T de la susancia es T (ln 2) k. b) Demuesre que la solución del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A() A 0 2 /T. c) Si una susancia radiaciva iene la vida media T dada en el inciso a), cuáno iempo le omará a una canidad inicial A 0 de susancia decaer a A? Cuando pasa un rayo verical de luz por un medio ransparene, la razón con que decrece su inensidad I es proporcional a I(), donde represena el espesor, en pies, del medio. En agua limpia de mar, la inensidad a 3 pies debajo de la superfi cie es 25% de la inensidad inicial I del rayo incidene. Cuál es la inensidad del rayo a 5 0 pies debajo de la superfi cie? 0. Cuando el inerés es compueso coninuamene, la canidad de dinero aumena con una razón proporcional a Las respuesas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-3. la canidad presene S al iempo, es decir, ds d rs, donde r es la razón de inerés anual. a) Calcule la canidad reunida al fi nal de 5 años cuando se deposian $5 000 en una cuena de ahorro que rinde el 5 3 % de inerés anual compueso coninuamene. 4 b) En cuános años se habrá duplicado el capial inicial? c) Uilice una calculadora para comparar la canidad obenida en el inciso a) con la canidad S 5000( que se reúne cuando el inerés se compone (0.0575))5(4) 4 rimesralmene. Fechado con carbono. Los arqueólogos uilizan piezas de madera quemada o carbón vegeal, enconradas en el lugar para fechar pinuras prehisóricas de paredes y echos de una caverna en Lascaux, Francia. Vea la fi gura Uilice la información de la página 84 para precisar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se deerminó que 85.5% de su C-l4 enconrado en los árboles vivos del mismo ipo se había desinegrado. FIGURA 3..8 inura rupesre en las cuevas de Alamira, España. 2. El sudario de Turín muesra el negaivo de la imagen del cuerpo de un hombre que parece que fue crucifi cado, muchas personas creen que es el sudario del enierro de Jesús de Nazare. Vea la fi gura En 988 el Vaicano concedió permiso para fechar con carbono el sudario. Tres laboraorios cienífi cos independienes analizaron el paño y concluyeron que el sudario enía una anigüedad de 660 años,* una anigüedad consisene con su aparición hisó- FIGURA 3..9 Ejemplar de uno de las decenas de libros que se han escrio sobre la cereza de la anigüedad del sudario de Turín. *Algunos erudios no esán de acuerdo con ese hallazgo. ara más información de ese fascinane miserio vea la página del Sudario de Turín en la página hp://

8 90 CAÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE RIMER ORDEN rica. Usando esa anigüedad deermine qué porcenaje de la canidad original de C-4 quedaba en el paño en 988. Ley de Newon enfriamieno/calenamieno 3. Un ermómero se cambia de una habiación donde la emperaura es de 70 F al exerior, donde la emperaura del aire es de 0 F. Después de medio minuo el ermómero indica 50 F. Cuál es la lecura del ermómero en min? Cuáno iempo le omará al ermómero alcanzar los 5 F? 4. Un ermómero se lleva de una habiación hasa el ambiene exerior, donde la emperaura del aire es 5 F. Después de minuo, el ermómero indica 55 F y después de 5 minuos indica 30 F. Cuál era la emperaura inicial de la habiación? 5. Una pequeña barra de meal, cuya emperaura inicial era de 20 C, se deja caer en un gran anque de agua hirviendo. Cuáno iempo ardará la barra en alcanzar los 90 C si se sabe que su emperaura aumenó 2 en segundo? Cuáno iempo ardará en alcanzar los 98 C? 6. Dos grandes anques A y B del mismo amaño se llenan con fl uidos diferenes. Los fl uidos en los anques A y B se manienen a 0 C y a 00 C, respecivamene. Una pequeña barra de meal, cuya emperaura inicial es 00 C, se sumerge denro del anque A. Después de minuo la emperaura de la barra es de 90 C. Después de 2 minuos se saca la barra e inmediaamene se ransfi ere al oro anque. Después de minuo en el anque B la emperaura se eleva 0 C. Cuáno iempo, medido desde el comienzo de odo el proceso, le omará a la barra alcanzar los 99.9 C? 7. Un ermómero que indica 70 F se coloca en un horno precalenado a una emperaura consane. A ravés de una venana de vidrio en la puera del horno, un observador regisra que el ermómero lee 0 F después de 2 minuo y 45 F después de minuo. Cuál es la emperaura del horno? 8. Al iempo 0 un ubo de ensayo sellado que coniene una susancia química esá inmerso en un baño líquido. La emperaura inicial de la susancia química en el ubo de ensayo es de 80 F. El baño líquido iene una emperaura conrolada (medida en grados Fahrenhei) dada por T m () 00 40e 0., 0, donde se mide en minuos. a) Suponga que k 0. en la ecuación (2). Anes de resolver el VI, describa con palabras cómo espera que sea la emperaura T() de la susancia química a coro plazo. Y a largo plazo. b) Resuelva el problema con valores iniciales. Use un programa de grafi cación para razar la gráfi ca de T() en diferenes inervalos de iempo. Las gráfi cas concuerdan con sus predicciones del inciso a)? 9. Un cadáver se enconró denro de un cuaro cerrado en una casa donde la emperaura era consane a 70 F. Al iempo del descubrimieno la emperaura del corazón del cadáver se deerminó de 85 F. Una hora después una segunda medición mosró que la emperaura del corazón era de 80 F. Suponga que el iempo de la muere corresponde a 0 y que la emperaura del corazón en ese momeno era de 98.6 F. Deermine cuánas horas pasaron anes de que se enconrara el cadáver? [Sugerencia: Sea que 0 denoe el iempo en que se enconró el cadáver.] 20. La razón con la que un cuerpo se enfría ambién depende de su área superfi cial expuesa S. Si S es una consane enonces una modifi cación de la ecuación (2) es, dt d ks(t T m), donde k 0 y T m es una consane. Suponga que dos azas A y B esán llenas de café al mismo iempo. Inicialmene la emperaura del café es de 50 F. El área superfi cial del café en la aza B es del doble del área superfi cial del café en la aza A. Después de 30 min la emperaura del café en la aza A es de 00 F. Si T m 70 F, enonces cuál es la emperaura del café de la aza B después de 30 min? Mezclas 2. Un anque coniene 200 liros de un líquido en el que se han disuelo 30 g de sal. Salmuera que iene g de sal por liro enra al anque con una razón de 4 L/min; la solución bien mezclada sale del anque con la misma razón. Encuenre la canidad A() de gramos de sal que hay en el anque al iempo. 22. Resuelva el problema 2 suponiendo que al anque enra agua pura. 23. Un gran anque de 500 galones esá lleno de agua pura. Le enra salmuera que iene 2 lb de sal por galón a razón de 5 gal/min. La solución bien mezclada sale del anque con la misma razón. Deermine la canidad A() de libras de sal que hay en el anque al iempo. 24. En el problema 23, cuál es la concenración c() de sal en el anque al iempo? Y al iempo 5 min? Cuál es la concenración en el anque después de un largo iempo, es decir, conforme :? ara qué iempo la concenración de sal en el anque es igual a la miad de ese valor límie? 25. Resuelva el problema 23 suponiendo que la solución sale con una razón de 0 gal/min. Cuándo se vacía el anque? 26. Deermine la canidad de sal en el anque al iempo en el ejemplo 5 si la concenración de sal que enra es variable y esá dada por c enra () 2 sen( 4) lb/gal. Sin razar la gráfi ca, infi era a qué curva solución del VI se parecería. Después uilice un programa de grafi cación para razar la gráfi ca de la solución en el inervalo [0, 300]. Repia para el inervalo [0, 600] y compare su gráfi ca con la que se muesra en la fi gura 3..4a. 27. Un gran anque esá parcialmene lleno con 00 galones de fl uido en los que se disolvieron 0 libras de sal. La sal-

9 3. MODELOS LINEALES 9 muera iene 2 de sal por galón que enra al anque a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada sale del anque a razón de 4 gal/min. Deermine la canidad de libras de sal que hay en el anque después de 30 minuos. 28. En el ejemplo 5, no se dio el amaño del anque que iene la solución salina. Suponga, como en el análisis siguiene al ejemplo 5, que la razón con que enra la solución al anque es de 3 gal/min pero que la solución bien mezclada sale del anque a razón de 2 gal/min. Esa es la razón por la cual la salmuera se esá acumulando en el anque a razón de gal/min, cualquier anque de amaño fi nio erminará derramándose. Ahora suponga que el anque esá desapado y iene una capacidad de 400 galones. a) Cuándo se derramará el anque? b) Cuánas libras de sal habrá en el anque cuando comienza a derramarse? c) Suponga que el anque se derrama, que la salmuera coninúa enrando a razón de 3 gal/min, que la solución esá bien mezclada y que la solución sigue saliendo a razón de 2 gal/min. Deermine un méodo para enconrar la canidad de libras de sal que hay en el anque al iempo 50 min. d) Calcule la canidad de libras de sal en el anque conforme:. Su respuesa coincide con su inuición? e) Uilice un programa de grafi cación para razar la gráfi ca de A() en el inervalo [0, 500). Circuios en serie 29. Se aplica una fuerza elecromoriz de 30 V a un circuio en serie LR con 0. henrys de inducancia y 50 ohms de resisencia. Deermine la corriene i(), si i(0) 0. Deermine la corriene conforme :. 30. Resuelva la ecuación (7) suponiendo que E() E 0 sen v y que i(0) i Se aplica una fuerza elecromoriz de 00 vols a un circuio en serie RC, en el que la resisencia es de 200 ohms y la capaciancia es de l0 4 farads. Deermine la carga q() del capacior, si q(0) 0. Encuenre la corriene i(). 32. Se aplica una fuerza elecromoriz de 200 V a un circuio en serie RC, en el que la resisencia es de 000 ohms y la capaciancia es de farads. Deermine la carga q() en el capacior, si i(0) 0.4 amperes. Deermine la carga y la corriene en s. Encuenre la carga conforme :. 33. Se aplica una fuerza elecromoriz E() 20, , 20 a un circuio en serie LR en el que la inducancia es de 20 henrys y la resisencia es de 2 ohms. Deermine la corriene i(), si i(0) Suponga que un circuio en serie RC iene un resisor variable. Si la resisencia al iempo esá dada por R k k 2, donde k y k 2 son consanes posiivas, enonces la ecuación (9) se conviere en (k k2) dq. d C q E() Si E() E 0 y q(0) q 0, donde E 0 y q 0 son consanes, muesre que q() k E0C (q0 E0C). Modelos lineales adicionales k k2 /Ck2 35. Resisencia del aire En la ecuación (4) de la sección.3 vimos una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa que cae sujea a una resisencia del aire proporcional a la velocidad insanánea es m dv mg kv, d donde k 0 es una consane de proporcionalidad. La dirección posiiva se oma hacia abajo. a) Resuelva la ecuación sujea a la condición inicial v(0) v 0. b) Uilice la solución del inciso a) para deerminar la velocidad límie o erminal de la masa. Vimos cómo deerminar la velocidad erminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.. c) Si la disancia s, medida desde el puno en el que se suela la masa se relaciona con la velocidad v por ds d v(), deermine una expresión explícia para s(), si s(0) Qué an alo? (Sin resisencia del aire) Suponga que una pequeña bala de cañón que pesa 6 libras se dispara vericalmene hacia arriba, como se muesra en la fi gura 3..0, con una velocidad inicial de v pies/s. La respuesa a la preguna Qué ano sube la bala de cañón?, depende de si se considera la resisencia del aire. a) Suponga que se desprecia la resisencia del aire. Si la dirección es posiiva hacia arriba, enonces un modelo para la bala del cañón esá dado por d 2 s d 2 g (ecuación (2) de la sección.3). ueso que ds d v() la úlima ecuación diferencial es la FIGURA 3..0 Deerminación de la alura máxima de la bala de cañón del problema 36. nivel del suelo mg

10 92 CAÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE RIMER ORDEN misma que la ecuación dv d g, donde se oma g 32 pies/s 2. Encuenre la velocidad v() de la bala de cañón al iempo. b) Uilice el resulado que se obuvo en el inciso a) para deerminar la alura s() de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo. Deermine la alura máxima que alcanza la bala. 37. Qué an alo? (Resisencia lineal del aire) Repia el problema 36, pero esa vez suponga que la resisencia del aire es proporcional a la velocidad insanánea. Esa es la razón por la que la alura máxima que alcanza la bala del cañón debe ser menor que la del inciso b) del problema 36. Demuesre eso suponiendo que la consane de proporcionalidad es k [Sugerencia: Modifi que ligeramene la ED del problema 35.] 38. aracaidismo Una paracaidisa pesa 25 libras y su paracaídas y equipo junos pesan oras 35 libras. Después de salar del avión desde una alura de pies, la paracaidisa espera 5 segundos y abre su paracaídas. Suponga que la consane de proporcionalidad del modelo del problema 35 iene el valor k 0.5 durane la caída libre y k 0 después de que se abrió el paracaídas. Suponga que su velocidad inicial al salar del avión es igual a cero. Cuál es la velocidad de la paracaidisa y qué disancia ha recorrido después de 20 segundos de que saló del avión? Vea la fi gura 3... Cómo se compara la velocidad de la paracaidisa a los 20 segundos con su velocidad erminal? Cuáno arda en llegar al suelo? [Sugerencia: iense en función de dos diferenes VI.] la resisencia del aire es 0.5v la resisencia del aire es 0 v caída libre el paracaídas se abre = 20 s FIGURA 3.. Cálculo del iempo que arda en llegar al suelo del problema Evaporación de una goa de lluvia Cuando cae una goa de lluvia, ésa se evapora mienras conserva su forma esférica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evapora la goa de lluvia es proporcional a su área superfi cial y que se desprecia la resisencia del aire, enonces un modelo para la velocidad v() de la goa de lluvia es dv 3(k/ ). d (k/ ) r0 v g Aquí r es la densidad del agua, r 0 es el radio de la goa de lluvia en 0, k 0 es la consane de proporcionalidad y la dirección hacia abajo se considera posiiva. a) Deermine v() si la goa de lluvia cae a parir del reposo. b) Vuelva a leer el problema 34 de los ejercicios.3 y demuesre que el radio de la goa de lluvia en el iempo es r() (k r) r 0. c) Si r pies y r pies, 0 segundos después de que la goa cae desde una nube, deermine el iempo en el que la goa de lluvia se ha evaporado por compleo. 40. oblación fl ucuane La ecuación diferencial d d (k cos ), donde k es una consane posiiva, es un modelo maemáico para una población () que experimena fl ucuaciones anuales. Resuelva la ecuación sujea a (0) 0. Uilice un programa de grafi cación para razar la gráfi ca de la solución para diferenes elecciones de Modelo poblacional En un modelo del cambio de población de () de una comunidad, se supone que, d d db d dd d donde db d y dd d son las asas de naalidad y morandad, respecivamene. a) Deermine () si db d k y dd d k 2. b) Analice los casos k k 2, k k 2 y k k Modelo de cosecha consane Un modelo que describe la población de una pesquería en la que se cosecha con una razón consane esá dada por d d k h, donde k y h son consanes posiivas. a) Resuelva la ED sujea a (0) 0. b) Describa el comporamieno de la población () conforme pasa el iempo en los res casos 0 h k, 0 h k y 0 0 h k. c) Uilice los resulados del inciso b) para deerminar si la población de peces desaparecerá en un iempo fi nio, es decir, si exise un iempo T 0 al que (T) 0. Si la población desaparecerá, enonces deermine en qué iempo T. 43. ropagación de una medicina Un modelo maemáico para la razón con la que se propaga una medicina en el orrene sanguíneo esá dado por dx r kx, d donde r y k son consanes posiivas. Sea x() la función que describe la concenración de la medicina en el orrene sanguíneo al iempo. a) Ya que la ED es auónoma, uilice el concepo de esquema de fase de la sección 2. para deerminar el valor de x() conforme :.

11 3. MODELOS LINEALES 93 b) Resuelva la ED sujea a x(0) 0. Dibuje la gráfi ca de x() y compruebe su predicción del inciso a). En cuáno iempo la concenración es la miad del valor límie? 44. Memorización Cuando se considera la fala de memoria, la razón de memorización de un ema esá dada por da, d k (M A) k2a donde k 0, k 2 0, A() es la canidad memorizada al iempo,m es la canidad oal a memorizarse y M A es la canidad que fala por memorizar. a) ueso que la ED es auónoma, uilice el concepo de esquema de fase de la sección 2. para deerminar el valor límie de A() conforme :. Inerpree el resulado. b) Resuelva la ED sujea a A(0) 0. Dibuje la gráfi ca de A() y compruebe su predicción del inciso a). 45. Marcapasos de corazón En la fi gura 3..2 se muesra un marcapasos de corazón, que consise en un inerrupor, una baería, un capacior y el corazón como un resisor. Cuando el inerrupor S esá en, el capacior se carga; cuando S esá en Q, el capacior se descarga, enviando esímulos elécricos al corazón. En el problema 47 de los ejercicios 2.3 vimos que durane ese iempo en que se esán aplicado esímulos elécricos al corazón, el volaje E a ravés del corazón saisface la ED lineal de. d RC E a) Suponga que en el inervalo de iempo de duración, 0, el inerrupor S esá en la posición como se muesra en la fi gura 3..2 y el capacior se esá cargando. Cuando el inerrupor se mueve a la posición Q al iempo el capacior se descarga, enviando un impulso al corazón durane el inervalo de iempo de duración 2 : 2. or lo que el inervalo inicial de carga descarga 0 el volaje en el corazón se modela realmene por la 2 ecuación diferencial defi nida por ramos. de d 0, 0 E,. RC 2 inerrupor Q S R E 0 C corazón FIGURA 3..2 Modelo de un marcapasos del problema 45. Al moverse S enre y Q, los inervalos de carga y descarga de duraciones y 2 se repien indefi nidamene. Suponga que 4 s, 2 2 s, E 0 2 V, E(0) 0, E(4) 2, E(6) 0, E(0) 2, E(2) 0, ec. Deermine E() para b) Suponga para ilusrar que R C. Uilice un programa de grafi cación para razar la gráfi ca de la solución del VI del inciso a) para Caj a deslizándose a) Una caja de masa m se desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulou con la horizonal como se muesra en la fi gura Deermine una ecuación diferencial para la velocidad v() de la caja al iempo para cada uno de los casos siguienes: i) No hay fricción cinéica y no hay resisencia del aire. ii) Hay fricción cinéica y no hay resisencia del aire. iii) Hay fricción cinéica y hay resisencia del aire. En los casos ii) y iii) uilice el hecho de que la fuerza de fricción que se opone al movimieno es mn, donde m es el coefi ciene de fricción cinéica y N es la componene normal del peso de la caja. En el caso iii) suponga que la resisencia del aire es proporcional a la velocidad insanánea. b) En el inciso a), suponga que la caja pesa 96 libras, que el ángulo de inclinación del plano es u 30, que el coefi ciene de fricción cinéica es 3 4, y que la fuerza de reardo debida a la resisencia del aire es numéricamene igual a v. Resuelva la ecuación diferencial para cada uno de los res casos, suponiendo 4 que la caja inicia desde el reposo desde el puno más alo a 50 pies por encima del suelo. movimieno θ fricción W = mg 50 pies FIGURA 3..3 Caja deslizándose hacia abajo del plano inclinado del problema Coninuación de caja deslizándose a) En el problema 46 sea s() la disancia medida hacia abajo del plano inclinado desde el puno más alo. Uilice ds d v() y la solución de cada uno de los res casos del inciso b) del problema 46 para deerminar el iempo que le oma a la caja deslizarse compleamene hacia abajo del plano inclinado. Aquí puede ser úil un programa para deerminar raíces con un SAC.

12 94 CAÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE RIMER ORDEN b) En el caso en que hay fricción (m 0) pero no hay resisencia del aire, explique por qué la caja no se desliza hacia abajo comenzando desde el reposo desde el puno más alo arriba del suelo cuando el ángulo de inclinación u saisface a an u m. c) La caja se deslizará hacia abajo del plano conforme an u msi a ésa se le proporciona una velocidad inicial v(0) v 0 0. Suponga que 3 4 y u 23. Compruebe que an u m. Qué disancia se deslizará hacia abajo del plano si v 0 pie/s? d) Uilice los valores 3 4 y u 23 para aproximar la menor velocidad inicial v 0 que puede ener la caja, para que a parir del reposo a 50 pies arriba del suelo, se deslice por odo el plano inclinado. Después encuenre el iempo que arda en deslizarse el plano. 48. Qué sube... a) Es bien conocido que el modelo que desprecia la resisencia del aire, inciso a) del problema 36, predice que el iempo a que arda la bala de cañón en alcanzar su alura máxima es el mismo iempo d que arda la bala de cañón en llegar al suelo. Además la magniud de la velocidad de impaco v es igual a la velocidad inicial i v0 de la bala de cañón. Compruebe ambos resulados. b) Después, uilizando el modelo del problema 37 que considera la resisencia del aire, compare el valor de a con d y el valor de la magniud de v i con v 0. Aquí puede ser úil un programa para deerminar raíces con un SAC (o una calculadora grafi cadora). 3.2 MODELOS NO LINEALES REASO DE MATERIAL Ecuaciones (5), (6) y (0) de la sección.3 y problemas 7, 8, 3, 4 y 7 de los ejercicios.3. Separación de variables de la sección 2.2. INTRODUCCIÓN Terminamos nuesro esudio de ecuaciones diferenciales de primer orden simples con el análisis de algunos modelos no lineales. f() r FIGURA 3.2. La suposición más simple para f() es una reca (color azul). K DINÁMICA OBLACIONAL Si () es el amaño de una población al iempo, el modelo del crecimieno exponencial comienza suponiendo que d d k para ciera k 0. En ese modelo, la asa específi ca orelaivade crecimieno, defi nida por d>d () es una consane k. Es difícil enconrar casos reales de un crecimieno exponencial durane largos periodos, porque en ciero momeno los recursos limiados del ambiene ejercerán resricciones sobre el crecimieno de la población. or lo que para oros modelos, se puede esperar que la razón () decrezca conforme la población aumena de amaño. La hipóesis de que la asa con que crece (o decrece) una población sólo depende del número presene y no de mecanismos dependienes del iempo, ales como los fenómenos esacionales (vea el problema 8, en los ejercicios.3), se puede enunciar como: d>d d f() o f(). (2) d Esa ecuación diferencial, que se adopa en muchos modelos de población de animales, se llama hipóesis de dependencia de densidad. ECUACIÓN LOGÍSTICA Supóngase que un medio ambiene es capaz de sosener, como máximo, una canidad K deerminada de individuos en una población. La canidad K se llama capacidad de suseno del ambiene. Así para la función fen la ecuación (2) se iene que f(k) 0 y simplemene hacemos f(0) r. En la fi gura 3.2. vemos res funciones que saisfacen esas dos condiciones. La hipóesis más sencilla es que f() es lineal, es decir, f() c c 2. Si aplicamos las condiciones f(0) r y f(k) 0, enemos