1. Modelos matemáticos ISAAC NEWTON ( ) GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ ( )

Transcripción

1 . Modelos maemáicos ISAAC NEWTON (64-77) GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (646-76)

2 EDs como modelos maemáicos Suposiciones Se expresan las suposiciones en érminos de ecuaciones diferenciales Formulación maemáica Si es necesario, se modifican las suposiciones o se aumenan la resolución del modelo Se resuelven las EDs Se comprueban las predicciones del modelo con hechos conocidos Se muesran las predicciones del modelo. Por ejemplo, gráficamene Se obiene la solución

3 Modelos lineales Crecimieno y decaimieno dx kx, x( 0) x 0 k > 0 es una consane de crecimieno, y k > 0 es una consane de decaimieno.

4 Dinámica Poblacional (Thomas Malus 798) Si P() represena la población en el iempo, enonces dp/ P dp/ = kp donde k > 0 es una consane de proporcionalidad. Desinegración Radiaciva Si A() represena la canidad de susancia radiaciva resane en el iempo, enonces da/ A da/ = ka donde k < 0 es una consane de proporcionalidad. Una sola ED puede servir como un modelo maemáico para muchos fenómenos.

5 Crecimieno de bacerias P 0 : canidad inicial de bacerias = P(0) P() = 3/ P(0) Deermine el iempo necesario para que se riplique el número de bacerias. Solución: Como dp/ = k, dp/ k = 0, enemos P() = ce k, usamos P(0) = P 0 luego c = P 0 y P() = P 0 e k Como P() = 3/ P(0), enonces P() = P 0 e k = 3/ P(0). Por ano, k = ln(3/) = Ahora P() = P 0 e = 3P 0, = ln3/ =.7.

6 Período de semidesinegración del pluonio Un reacor conviere U-38 en el isóopo pluonio 39. Después de pasar 5 años, 0.043% de la canidad inicial A 0 del pluonio se ha desinegrado. Calcule el período de semidesinegración de ese isóopo. Solución: Sea A() la canidad de Pluonio en el iempo. La ED es da ka, A(0) A 0 La solución es A() = A 0 e k. Si 0.043% de A 0 se han desinegrado, queda %. Enonces, A 0 = A(5) = A 0 e 5k, luego k = (ln )/5 = Sea A() = A 0 e = ½ A 0 En ese caso enemos T ln años.

7 Un hueso fosilizado coniene /000 de la concenración de C-4 que se encuenra en la maeria viva. Deermine la edad del fósil. Solución: Sabemos que el período de semidesinegración p del C-4 es 5600 años. Enonces A 0 / = A 0 e 5600k, k = (ln )/5600 = Fechado con carbono T ln years. A() = A 0 /000 = A 0 e

8 La ley de Newon del enfriamieno/calenamieno Si T() represena la emperaura de un cuerpo en el iempo y T m la emperaura del medio, enonces la rapidez con que un cuerpo se enfría o caliena es proporcional a la diferencia enre la emperaura del cuerpo T() y la emperaura del ambiene T m : dt/ T - T m dt/ = k(t - T m ) donde k es una consane de proporcionalidad, el coeficiene de ransmisión de calor que depende del maerial. a) Verificar que la solución general de la ED es: T ( ) Ta ( T0 T ) e a K b) Si K = 0. C/seg. Cuáno iempo ardará en enfriarse una aza de café hirviendo si la emperaura ambiene es de T a =5 C? c) Dibujar la familia de curvas solución para diferenes emperauras iniciales T 0 de la aza de café.

9 La emperaura de un pasel es 300F. Tres minuos más arde su emperaura es 00F. Cuáno arda el pasel en alcanzar una emperaura ambiene de 70F? Solución: Se hace la idenificación T m = 70, luego dt dx k ( T 70), T (0) 300 y T(3) = 00. T T dt 70 ( ) k, ln 70 c e k T 70 k c

10 Para T(0) = 300, c = 30 Para T(3) = 00, e 3k = 3/3, k = Así T() = e A parir de (5), sabemos que sólo para =, T() = 70. Eso significa que necesiamos un período de iempo razonablemene largo para llegar a T = 70.

11 Propagación de una enfermedad Si x() represena el número de personas que se han conagiado de una enfermedad e y() el número de personas que odavía no, enonces dx/ = kxy donde k es una consane de proporcionalidad. Por la descripción anerior, imagínese una comunidad con una población fija n, si se inroduce en esa comunidad una persona infecada, enemos x + y = n +, y dx/ = kx(n + x)

12 Reacciones Químicas Observe al siguiene reacción: CH 3 Cl + NaOH CH 3 OH + NaCl Si asumimos que x() es la canidad de CH 3 OH a impo, y son las canidades de los reacivos, enonces la velocidad de reacción es dx/ = k( -x)( -x)

13 Reacciones Químicas dx a M M N X b M N N X (8) o dx k( X )( X ) (9)

14 La reacción química se describe como dx enonces k( 50 X )(40 X ) Por separación de variables y fracciones parciales: Para X(0) = 30, 0k = 0.58, finalmene ln dx 50 X X X X k 0k c c e 0 ó X X 0.58 e X ( ) e

15 Mezclas Si A() represena la canidad de sal en el anque en iempo, enonces da/ = velocidad de enrada velocidad de salida = R enrada -R salida Tenemos R enrada = 6 lb/min, R salida = A()/00 (lb/min), enonces da/ = 6 A/00 ó da/ + A/00 = 6

16 dx 00 x 6, x(0) 50 Cuána sal queda d en el depósio ras pasar un período de iempo /00 /00 /00 largo? [ e x] 6e, x( ) 600 ce Solución: Como Para x(0) = 50, enemos x() = e -/00 Cuando el iempo es basane grande, x() = 600.

17 Drenaje de un Tanque Basándonos en la Ley de Torricelli, si V() represena el volumen de agua en el anque en iempo : dv A h gh Como V() = A w h, enonces: dh A A h w gh

18 Circuios en Serie A parir de la Segunda Ley de Kirchhoff enemos: d q L R dq q C donde q() es la carga y dq()/ = i() es la inensidad de corriene. E( )

19 Circuios en serie L di Ri E() Ri C q E( ) R dq C q E( )

20 Supongamos E() = Vol, L = ½ Henry R = 0 Ohm. Deermine i() donde i(0) = 0. Solución: Luego di d [ e 0i 0 i], 4e i(0) 0 0 L di Ri E() i( ) 6 5 ce 0 Para i(0) = 0, c = -6/5, enonces i() = (6/5) (6/5)e -0.

21 Una solución general de es Cuando E() = E 0 es una consane, la solución se conviere en donde al primer érmino se conoce como la pare de esado esable, y el segundo ermino es un L R L R L R ce E e L e i ) / ( ) / ( ) / ( ) ( ) ( L R o ce R E i ) / ( ) ( E() Ri di L

22 Modelos no lineales Dinámica de poblaciones Si P() represena el de una población en el iempo, la rapidez de crecimieno relaivo (o específico), esá definida por dp / P Cuando la rapidez de crecimieno solo depende de la canidad presene, la ED es dp / dp f ( P) or Pf ( P) que se llama hipóesis P de dependencia de de densidad.

23 Ecuación logísica Si K es la capacidad de sopore, enemos f(k) = 0, y simplemene se permie que f(0) = r. La siguiene figura muesra res funciones que saisfacen esas dos condiciones.

24 Suponemos que f (P) = c P + c. Empleando las condiciones, enemos c = r, c = r/k. Luego nuesra ec. pasa a ser, lo mismo que dp dp P r a la que se conoce como ecuación logísica, su solución se llama función logísica y su gráfica, curva logísica. r K P( a bp) P

25 Solución de la ecuación logísica dp A parir P( a bp) b/a ln P dp a a bp ln P ln a ac ( a b) P ras una simplificación, enemos Si P(0) = P 0 a/b, enonces c = P 0 /(a bp 0 ) P( ) a ace bc e P( ) bp 0 a bc ac e ap0 ( a bp 0 a ) e a

26 Gráfica de P() De (5), enemos la gráfica como en la Fig..47. Cuando 0 < P 0 < a/b, Fig..47(a). Cuando a/b<p 0 < a/b, Fig..47(b).

27 Teniendo en cuena conclusiones previas, imagínese un campus de 000 esudianes, en ese caso enemos la ED Deermine x(6). dx Solución: Idenificamos a = 000k, b = k, de (5) kx( 000 x), x(0) e x( ) 000k

28 Como x(4) = 50, -000k = , así x() = 000/( + 999e ) e x( ) x( 6) e 5 76 sudens

29 Modificación de la ecuación logísica dp P( a bp) h dp P( a bp) h dp P( a bln P) que se conoce como ED de Gomperz.

30 Observación: En cuano al ejemplo, P() es una función coninua. Sin embargo, eso debería esar descarado eniendo en cuena que el modelo maemáico no es real. Fig..4.

31 Fig..4

32 Caída de los cuerpos A parir de la primera ley de Newon enemos m d s mg ó d s g Problema de valor inicial d s g, s(0) s, s'(0) v 0 0

33 Caída de los cuerpos y la resisencia del aire Tenemos la ED: m dv mg kv y puede escribirse como: m d s mg k ds m d s k ds mg

34 Deslizamieno de cadena Tenemos: L d x 3 x x 0 ó d x 64 L

35 Cables suspendidos dy/dx = W/T

36 Modelos Lineales: PVI m d x k( s x ) mg kx mg ks cero kx

37 Movimieno armónico simple o libre no amoriguado d x x 0 donde = k/m. La solución general es x( ) c cos c sin Período T = /, frecuencia f = /T = /.

38 Forma alernaiva para x() Podemos escribir la solución ambién como x() = A sen( + ) donde A A c c, y es la fase, c sin A c an c c cos A Asin cos Acos sin ( Asin )cos ( Acos )sin c c cos A sin c cos c sin x( ) A A

39

40 Movimieno libre amoriguado d x m dx kx es una consane de amoriguamieno posiiva. Luego x () + (/m)x + (k/m)x = 0 puede ponerse como d x dx x donde = /m, = k/m La ecuación auxiliar es m +m + = 0, y las raíces son 0 m, m

41 > 0. Sea enonces Se dice que es sobreamoriguado. Caso : ) ( ) ( e c c e e x, h

42 Caso : = 0. Luego x( ) e ( c c ) Se dice que es críicamene amoriguado.

43 < 0. Sea enonces Se dice que es subamoriguado. Caso 3:, h i m i m, ) sin cos ( ) ( c c e x Alernaiva: ) sin( ) ( Ae x, c c A an c c

44 Movimieno forzado con amoriguamieno ) ( f dx kx x d m ) ( F x dx x d m k m m f F /, /, )/ ( ) (

45 Inerpree y resuelva 5 d x. (6) Solución: Inerpreación: m = /5, k =, =., f() = 5 cos 4 La masa se libera inicialmene desde el reposo ½ abajo de la posición de equilibrio Solución: dx x dx x c 6 Ejemplo 6 5 cos dx 3 4, 0x x(0) 0 ( ) e ( c cos c, sin x(0) ) 0

46 Ejemplo 6 () Suponiendo x p () = A cos 4 + B sen 4, enemos A = 5/0, B = 50/5, enonces 3 x( ) e ( c cos c sin ) Usando x(0) = /, x (0) = 0 x( ) 3 e 38 cos cos c = 38/5, c = 86/5, 86 sin cos sin 5 50 sin (8)

47 Términos Transiorio y de Esado Esable Gráfica de (8) se muesra en la Fig 3.9. x c () se desvanece cuando : érmino ransiorio x p () permanece cuando : érmino de esado esable

48 Fig 3.9

49 Ejemplo 7 La solución de d x dx x(0) 0, x 4 cos x(0) x sin, es Fig x( ) ( x ) e sin sin ransiorio esado esable

50 Fig 3.30

51 Ejemplo 8 Resolver d x x F0 sin, x(0) 0, x(0) 0 donde F 0 es una consane y. Solución: x c = c cos + c sen Sea x p = A cos + B sen, ras la susiución, A = 0, B = F 0 /( ), x p F0 ( ) sin

52 Como x(0) = 0, x (0) = 0, enonces Así (30) F c c x x x p c sin sin cos ) ( 0 ) ( / 0, 0 F c c, ) sin sin ( ) ( ) ( 0 F x Ejemplo 8 ()

53 Resonancia Pura Cuando =, consideramos el caso. (3) cos sin cos sin lim ) ( ) sin sin ( lim ) ( sin sin lim ) ( F F d d d d F F x F F cos sin 0 0

54 Cuando, los desplazamienos se vuelven largos De hecho, x( n ) cuando n = n/, n =,,.. Como se muesra en la Fig 3.3, se dice que es una resonancia pura.

55 Fig 3.3

56 Circuios LRC en Serie La siguiene ecuación es la ED de movimieno forzado con amoriguamieno: Si i() denoa la corriene en Fig 3.3, enonces Como i = dq/, enemos d x m di L d q L dx Ri q C R dq kx q C E( ) f ( ) E( ) (3) (33) (34)

57 Fig 3.3

58 Ejemplo 9 Hallar q() en la Fig 3.3, donde L = 0.05 henry, R = 0 ohm, C = 0.00 farad, E() = 0, q(0) = q 0 coulombs, y i(0) = 0 ampere. Solución: Usando los daos: q 0q 000q 0, q 40q 4000q 0 4 Como se ha descrio anes, 0 q ) e ( c cos 60 c sin 60) ( Usando q(0) = q 0, i(0) = q (0) = 0, c = q 0, c = q 0 /3 q( ) q0 0 0 e sin(60.49) 3

59 Encuenre al solución de esado esable q p () y la coriene de esado esable, when E() = E 0 sen. Solución: Sea q p () = A sen + B cos, Ejemplo 0 0 0, R C C L L R C C L L R E B C L E A

60 Si Si Usando el méodo similar, obenemos So Observación: X y Z se denominan reacancia y impedancia, respecivamene., C L X C C L L X, R X Z R C C L L Z ) /( ), /( 0 0 Z R E B Z X E A Z R E Z X E q p cos sin ) ( 0 0 Z X Z R Z E q i p p sin cos ) ( ) ( 0 Ejemplo 0 ()

61 3.9 Modelos Lineales: PVF Deflexión de una viga Momeno de flexión M(x) en un puno x a lo largo de la viga esá relacionado con la carga por unidad w(x) mediane la ecuación d M w( x) dx () Además, M(x) es proporcional a la curvaura de la curva elásica M(x) = EI () donde E, I son consanes.

62 Del cálculo, enemos y, donde deflexión y(x) es pequeña. Finalmene enemos Enonces d M dx EI d dx y EI 4 d y 4 dx (3) EI 4 d y 4 dx w( x) (4)

63 Terminología Exremos de la viga Condiciones en la fronera emporados y = 0, y = 0 libres y = 0, y = 0 apoyados simplemene o y = 0, y = 0 abisagrados Fig 3.4

64 Fig 3.4

65 Ejemplo Una viga de longiud L se fija en ambos exremos. Hallar la deflexión de la viga si una carga consane w 0 esá uniformemene disribuida a lo largo de su longiud, eso es, w(x)= w 0, 0 < x < L Solución: 4 d y De (4) enemos EI w 4 0 dx Exremos emporados significa y( 0) 0, y(0) 0, y( L) 0, y( L) 0 Tenemos m 4 = 0, y c (x) = c + c x + c 3 x + c 4 x 3, y w0 4 y p x 4EI

66 Ejemplo () Enonces y w 4EI ( x) c cx c3x c4x x Usando las condiciones de la fronera, enemos c = 0, c = 0, c 3 = w 0 L /4EI, c 4 = w 0 L/EI 0 w0l 3 w0 4 w0 x ( x ) w L y( x) x x x L 4EI EI 4EI 4EI Eligiendo w 0 = 4EI y L =, enemos Fig 3.4.

67 Fig 3.4

68 Ejemplo y" y 0, y(0) 0, y( L) Resolver Solución: Caso : = 0 y = c x + c, y(0) = c = 0, y(l) = c L = 0, c = 0 luego y = 0, solución rivial. Caso : <0, =, > 0 Escogiendo y = c Ch x + c Sh x y(0) = 0, c = 0; y(l) = 0, c = 0 luego y = 0, solución rivial. 0

69 Ejemplo () Caso 3 : > 0, =, > 0 Escogiendo y = c cos x + c sen x y(0) = 0, c = 0; y(l) = 0, c sin L= 0 Si c = 0, y = 0, solución rivial. Así que c 0, sen L = 0, L = n, = n/l n n L, n,, 3, Así, y = c sen (nx/l) es una solución para cada n.

70 Tomando c =, para cada: L, 4 9, L L, la función correspondiene: sin x L, Ejemplo (3) sin x L Observación: n = (n/l), n =,, 3, se conocen como valores propios. y n = sen (nx/l) se llaman funciones propias., 3 sin x L,

71 Pandeo de una Columna Verical Delgada En cuano a la Fig 3.43, la ED es EI d y dx d y Py, EI Py 0 dx (5) donde P es una fuerza compresiva verical consane aplicada en la pare superior de la columna.

72 Fig 3.43

73 Ejemplo 3 En cuano a la Fig 3.43, cuando la columna se fija con bisagras en ambos exremos, hallar la deflexión. Solución: El PVF es d y EI Py 0, y(0) 0, y( L) 0 dx Inuiivamene, si la carga P no es suficienemene grande, no hay deflexión. La preguna es: para qué valores de P el PVF posee soluciones no riviales?

74 Ejemplo 3 () Escribiendo = P/EI, vemos y y 0, y(0) 0, y( L) 0 es idénica al ejemplo. Del Caso 3, las curvas de deflexión son y n = c sen (nx/l), que corresponden a los valores propios n = P n /EI = n /L, n =,, 3, Desde el puno de visa físico, solo para P n = EIn /L, la columna experimena flexión. Llamamos a esas P n las cargas críicas y la más pequeña P = P = EI /L se llama la carga de Euler, y y = c sen(x/l) se conoce como primer modo de pandeo. Fig 3.44

75 Fig 3.44

76 Cuerda Roaoria La ED simple y + y = 0 (6) ocurre una y ora vez como un modelo maemáico. Fig 3.45.

77 No se puede mosrar la imagen en ese momeno. Fig 3.45

78 enemos F = T sen T sen (7) Cuando y son pequeños, sen an, sen an Como an,an son angenes de las recas que conienen a los vecorest y T, enonces an = y (x + x), an = y (x) Así (7) pasa a ser F T[ y( x x) y( x)] (8) Porque F = ma, m = x, a = r. Con x pequeño, obenemos r = y.

79 Así F ( x) y (9) Al igualndo (8) = (9), enemos T[ y( x x) y( x)] ( x) y y( x x) y( x) (0) T y x Para x cercano a cero, enemos d y d y T y, T y 0 dx dx () Y las condiciones en la fronera son y(0) = y(l) = 0.

80 3.0 Modelos No Lineales Resores no lineales El modelo d x m F( x) cuando F(x) = kx se dice que es lineal. Sin embargo, d x 3 m kx 0, d x 3 m kx kx 0 es un resore no lineal. Oro modelo d x kx 0 m dx 0 dx () () (3)

81 Resores Duros y Suaves F(x) = kx + k x 3 se dice que es duro si k > 0; y es suave, si k < 0. Fig Fig 3.50

82 Ejemplo Las EDs d x d x x x x x 0 (4) y (5) son casos especiales de(). Fig3.5 muesra la gráfica obenida de un programa de solución numérica

83 Fig 3.5

84 Péndulo No Lineal El modelo de un péndulo simple se represena en la Fig 3.5. De la figura, enemos la aceleración angular a = s = l, la fuerza Luego F ma d g l d ml sin 0 (6)

85 Fig 3.5

86 Linealización Como sin 3 3! 5 5! Si empleamos solo los dos primeros érminos, d / Si es pequeño, ( g/ l) d ( g/6l) g 0 l 3 0 (7)

87 Ejemplo Fig 3.53 muesra algunos resulados con condiciones iniciales diferenes obenidos con un programa de solución numérica. Podemos observar que si la velocidad inicial es basane grande, el péndulo se saldrá de los límies.

88 Fig 3.53

89 Cables Telefónicos Recordando (7) de la Sec.3 y Fig.6 dy/dx = W/T, puede modificarse como dy dx ws T (8) donde es la densidad y s es la longiud del arco. Como la longiud s es s x 0 dy dx dx (9)

90 enonces ds dx dy dx (0) Al derivar (8) con respeco a x y usando (0), obenemos d y dx w T ds dx, d y dx w T dy dx ()

91 Ejemplo 3 De la Fig.6, obenemos y(0) = a, y (0) = 0. Sea u = y, la ecuación () se conviere en du du u, dx dx T u T Así w sinh u x c T Ahora y (0) = u(0) = 0, sinh - 0 = 0 = c Como u = sinh(x/t ) = dy/dx, enonces dy T dx sinh x, y cosh x c T w T Usando y(0) = a, c = a (T /) T y cosh x a T T

92 Movimieno de un Cohee De la Fig 3.54, enemos m d s Mm d s M k, k y y () cuando y = R, kmm/r = Mg, k = gr /M, enonces d s g R y (3)

93 Fig 3.54

94 Masa Variable Suponiendo que la masa es variable, F = ma debería modificarse como F d (mv) (4)

95 Ejemplo 4 Una cadena uniforme de 0 pies de largo se enrolla sin ensión sobre el suelo. Un exremo de ella cadena se jala vericalmene hacia arriba por medio de una fuerza de 5 libras. La cadena pesa libra por pie. Deermine la alura del exremo sobre el nivel del suelo en el insane. Solución: Sea x() = la alura v() = dx/ (velocidad) W = x = x (peso) m = W/g = x/3 (masa) F = 5 W (fuerza nea)

96 Ejemplo 4 () Enonces d x v 3 Como v = dx/ x, es de la forma F(x, x, x ) = 0 Como v = x, y dv dv 5 luego (5) pasa a ser d x x dx dv dx x v 60 3x 3x 60 dx dv v dx dx dv xv v 60 3x (5) (6) (7)

97 Ejemplo 4 (3) Escribiendo (7) como (v +3x 60) dx + xv = 0 (8) (8) puede muliplicarse por un facor de inegración para ransformarse en exaca, donde podemos enconrar que le facor de inegración es es (x) = x (compruébese). Luego f Use el méodo de la Sec..4 / x xv 3x 60x, f / v xv x v 3 x x (9) Como x(0) = 0, enonces c = 0. Resolviendo (9) = 0, para v= dx/> 0, obenemos dx c x 3

98 Ejemplo 4 (4) Compruebe que x / c (0) Usando x(0) = 0 de nuevo,, elevamos al cuadrado ambos lados de (0) y resolvemos para x c 3 0 / x ( ) 5 ()

99 3. Resolución de Sisemas de Ecuaciones Lineales Muelle conecado/sisema de masas De la Fig 3.58 y la Ley de Newon m x k m x k x ( x k ( x x ) x ) ()

100 Fig 3.58

101 Méodo de Solución Considere dx/ = 3y, dy/ = x ó Dx 3y = 0, x Dy = 0 () Enonces, muliplicando la primera por D, la segunda por 3, y eliminando la y, se obiene D x 6x =0 6 6 x( ) ce ce Un méodo similar puede proporcionar (3) y 6 ( ) c3e c 4 e 6 (4)

102 Volviendo las ecuaciones originales, dx/ =3y ras la simplificación, enemos (5) 0 ) 3 6 ( ) 3 6 ( e c c e c c , 3 6 c c c c

103 Ejemplo Resolver Dx + (D + )y = 0 (D 3)x y = 0 (6) Solución: Muliplicando la primera por D 3, la segunda por D, y resando, [(D 3)(D + ) + D]y = 0 (D + D 6)y = 0 luego y() = c e + c e -3 (7)

104 Ejemplo () Usando el méodo similar, x()= c 3 e + c 4 e -3 (8) Susiuyendo (7) y (8) en la primera ecuación de (6), (4c + c 3 )e + ( c 3c 4 )e 3 = 0 Luego 4c +c 3 = 0 = c 3c 4 c 3 = c, c 4 = ⅓c 3 3 x( ) c e ce, y( ) ce ce 3

105 Ejemplo Resolver x 4x + y = x + x + y = 0 (9) Solución: (D 4)x + D y = (D + )x + Dy = 0 (0) Eliminando x, [( D ) D ( D 4) D] y ( D ) ( D 4)0 3 enonces ( D 4D) y, y m = 0, i, i y p y c c c cos c3 sin A 3 B C, Sea podemos obener A = /, B = ¼, C = /8.

106 Ejemplo () Así y y c y 3 c c cos c3 sin 4 Méodo similar para obener x() [( D 4) Enonces m= i, i, p D( D )] x Sea x p () = A + B + C, luego podemos obener A = /4, B = 0, C = /8 x c c4 cos c5 sin, ( D 4) x 8 ()

107 Así () Usando la segunda ecuación de (9), enemos Ejemplo (3) 8 4 sin cos 5 4 c c x x x p c 0 )cos ( )sin ( c c c c c c ) 4 /5( ), /5( c c c c c c c c c y c c c c x 8 4 sin cos ) ( 8 4 )sin 4 ( 5 )cos (4 5 ) (

108 Ejemplo 3 En (3) de Sec..9, enemos D x 5 5 D x 5 50 x x 0 0 Juno con las condiciones iniciales dadas, podemos usar el mismo méodo para obener x y x, no mencionados aquí.

109 Ejemplo 4 Resolver con x Solución: x" 0x 4x x x" 4x 4 ( 0) 0, x' (0), x(0) 0, x' 0 0 (0) ( D 4x 0) x ( D 4x 4) x 0 0 (3) Luego ( ( D )( D ) x 0, D )( D ) x 0

110 Ejemplo 4 () Usando el mismo méodo, enemos x ( ) 0 sin 3 5 sin 3 x ( ) 5 sin 3 0 sin 3 (4)

111 Fig 3.59