Modulo I: Oscilaciones (9 hs)
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- Elena Fidalgo Acosta
- hace 8 años
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1 Modulo I: Oscilaciones (9 hs. Movimieno rmónico Simple (MS. Oscilaciones amoriguadas 3. Oscilaciones forzadas y resonancia 4. Superposición de MS. Cinemáica y dinámica del MS. Sisema muelle-masa.3 Péndulos.4 Energía de un MS.5 Oscilaciones enorno a un puno de equilibrio esable Bibliografía: Tipler y Mosca, Capíulo 4 // Masoller, FII
2 Ejemplos de Movimienos Oscilaorios Periódicos (MOP // Masoller, FII
3 Movimieno rmónico Simple (MS y Movimieno Circular Uniforme (MCU Un MS es la proyección sobre un eje de un MCU ( cos( y( sin( ( // Masoller, FII 3
4 . Cinemáica y dinámica de un MS ( cos( = posición (o desplazamieno, m = ampliud (m = frecuencia angular (rad/s = fase inicial en = (rad = + fase a iempo (rad ( cos( sin( ' ' / // Masoller, FII 4
5 Velocidad y aceleración cos( ( sin( ( cos( ( a v cos( ( a // 5 Masoller, FII La aceleración es proporcional y opuesa a la posición (desplazamieno Condiciones iniciales =: sin( ( cos( ( v v /( an / v v
6 Frecuencia y período MS es un movimieno periódico f = frecuencia (Hz=/s T = período (s ( ( T Ecuación del movimieno de un MS: T f ( cos( sin( a / // Masoller, FII 6
7 Movimieno Oscilaorio Periódico Todo MS es un MOP, pero no odo MOP es un MS Ejemplo de un MOP que NO es un MS El movimieno verical de una peloa que se deja caer desde una alura h y que choca elásicamene conra el piso, reboando y volviendo a subir hasa su alura inicial, para luego volver a caer y reboar conra el piso, ec. // Masoller, FII 7
8 Represenación gráfica // 8 Masoller, FII cos( cos( / cos( ( sen cos( cos( ( / cos( sin( ( cos( ( a v La aceleración es proporcional y opuesa a la posición (desplazamieno
9 MS & MCU sin( ( cos( ( ( y // 9 Masoller, FII Un MS es la proyección sobre un eje de un MCU
10 Dinámica del MS La ecuación del movimieno de un MS es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden a d d Cuya solución es: a ( cos( Si conocemos las condiciones iniciales (posición y velocidad podemos calcular y : ( cos( v / v( v sin( an v /(? Depende de la fuerza que da origen al MS // Masoller, FII
11 . Sisema muelle-masa Ley de Hooe + Ley de Newon F ma a fuerza recuperadora ( / m frecuencia consane / m ( cos( // Masoller, FII
12 Muelle-masa verical Posición de equilibrio: muelle esirado mg y y mg / F ma y' d y' m y' d / m y mg (y =desplazamieno respeco a la posición de equilibrio (Igual que muelle-masa horizonal // Masoller, FII
13 Ejemplo: Movimieno de un boe sobre las olas Un boe se balancea arriba y abajo. El movimieno verical del boe viene dado por y (.m cos s 6 (a Deerminar la ampliud, frecuencia angular, consane de fase, frecuencia y período del movimieno. (b Donde se encuenra el boe cuando =s? (c Deerminar la velocidad y la aceleración en cualquier iempo. (d Calcular los valores iniciales de la posición, la velocidad y la aceleración del boe. // Masoller, FII 3
14 Ejemplo: parícula sujea a un muelle Una parícula de masa g esá sujea de un muelle de consane 8 N/m alargado inicialmene una longiud de 5 cm. Si en el insane inicial la parícula iene una velocidad 3 cm/s hacia el origen, calcular la frecuencia, periodo, ampliud y fase inicial del movimieno. Deerminar su posición en cualquier iempo. ( cos( f T / m 3 rad/s.477 Hz.94 s f v / an v /( (.5 (..5 m an /5.97 rad // Masoller, FII 4
15 // Masoller, FII 5 X Ejemplo: asociación de muelles en serie F F F F F F consane de muelle equivalene eq eq F eq Ejercicio: Si parimos un muelle de consane por la miad, Qué consane elásica endrá cada uno de los rozos? Respuesa: F F
16 .3 Péndulos Péndulo de Foucaul // Masoller, FII 6
17 Péndulo simple ma F mgsin m L celeración angencial proimación: sin pequeñas oscilaciones ( g / L g / L ( cos( No depende de m T L / g // Masoller, FII 7
18 Péndulo físico (péndulo compueso Sólido-rígido plano que gira en orno a un eje fijo I o = momeno de inercia del SR respeco al eje I o = M (M = masa del SR, = radio de giro I M o e o I o MgD sin celeración angular ( MgD / Io proimación de pequeñas oscilaciones: MgD / I o ( cos( sin I = M no depende de M T I / o MgD // Masoller, FII 8
19 ( cos( ángulo inicial (rad: fase inicial (rad: cos( velocidad angular (rad/s sin( aceleración angular (rad/s cos( MgD / I frecuencia angular (rad/s // Masoller, FII 9 g / Péndulo simple L Péndulo físico
20 Ejercicio: disco que oscila Con qué periodo oscilará un disco de radio R y masa M que gira en un plano verical alrededor de un eje horizonal que pasa por su periferia? I o I cm Teorema de Seiner MR I o 3 MR MgD / I o D R T I o / MgR I disco cm MR T 3R g // Masoller, FII
21 I Péndulo de orsión SR unido a un barra someida a una orsión. = consane de orsión M o M o / I o ( o / I // Masoller, FII
22 Momeno de inercia de una barra (Masa M, longiud L respeco al cenro de masas (cm y respeco al eremo de la barra (O: Solución: Problemas T 3 3 L g ML I cm ML I O 3 Problema : Un alambre homogéneo de masa m y longiud L se dobla por la miad formando un codo de 6º. Si se coloca el codo sobre un eje horizonal de forma que el alambre realiza oscilaciones en un plano verical, cuáno valdrá el periodo del movimieno? Problema : Una barra de masa m y longiud L esa unida a un muelle de consane y ariculada por su puno medio como muesra la figura. Si la barra esá en equilibrio en la posición indicada, deerminar el periodo de las pequeñas oscilaciones. Solución: T m 3 // Masoller, FII
23 F.4 Energía de un MS La fuerza elásica de un muelle es una fuerza conservaiva por lo que iene una energía poencial: du d Energía poencial elásica Energía cinéica K F mv U U E C U= en =: K C Energía mecánica U // 3 Masoller, FII
24 // Masoller, FII 4 Conservación de la energía mecánica de un MS masa - muelle U K E sin( ( cos( ( v / m E ( sin ( cos m mv K U Energía mecánica:
25 Represenación gráfica de U, K y E en función del iempo ( cos( U U( cos ( v( sin( K / m mv K( m sin sin cos ( cos( sin ( cos( ( ( U, K oscilan con frecuencia angular (período = T/ // Masoller, FII 5
26 Represenación gráfica de U, K y E en función de la disancia a la posición de equilibrio U E K E U K // Masoller, FII 6
27 Conservación de la energía y ecuación del movimieno del MS Cuando la fuerza es conservaiva podemos deducir la ecuación del movimieno de la conservación de la energía mecánica Ejemplo : sisema masa-muelle E K U mv ce Derivando mva v m Ejemplo : péndulo físico E K U I o mgdcos ce Derivando I o mgd(sin Energía cinéica de roación Energía graviaoria Pequeñas oscilaciones sin I o mgd // Masoller, FII 7
28 .5 Oscilaciones enorno a un puno de F du d Punos de equilibrio de una fuerza conservaiva: F( eq = Eremos (máimos o mínimos de U( Tipos de punos de equilibrio: equilibrio esable du d eq : esable B: inesable C: neuro // Masoller, FII 8
29 Movimieno cerca de un mínimo local ( Desarrollo de Taylor: aproimamos U( cerca del mínimo por una parábola U( U( du d ( d U d (... du d U d d ( es un mínimo d U du d U U( ( F ( d d d F ( ma El movimieno es un MS en orno a con frecuencia angular / m // Masoller, FII 9
30 Ejemplo Una parícula de masa m se encuenra en un campo de fuerzas unidimensional donde la energía poencial viene dada por la epresión 3 U( 3 (a (b Enconrar los punos de equilibrio y esudiar su esabilidad Calcular el período de las pequeñas oscilaciones de la parícula en orno al mínimo de energía poencial du d 6 6 du d 6eq 6eq eq d U d 6 d U d d U d 8 8 T m/8 // Masoller, FII 3
31 Pregunas VF. En un MS la energía cinéica de la parícula es proporcional a la elongación al cuadrado.. Si en un MS, v es la velocidad de la parícula y a y su aceleración y elongación respecivamene, se cumple que: v a 3. La frecuencia de un MS disminuye si aumena su ampliud. 4. Una parícula no puede realizar un MS alrededor de un mínimo de energía poencial ya que la fuerza es nula. 5. La energía cinéica y la energía poencial de un MS esán desfasadas π radianes enre si. 6. La energía mecánica de un MS es proporcional a su ampliud al cuadrado. 7. Toda parícula someida a una fuerza conservaiva realiza un MS. 8. Si una parícula realiza un MS y en el insane inicial se encuenra en el origen, su fase inicial es nula. 9. l corar un muelle en dos rozos, la consane elásica de cada rozo será mayor que la consane del muelle original. // Masoller, FII 3
32 Ejemplo Un proyecil de masa m que se mueve a la velocidad v o impaca conra un bloque de masa M y se incrusa denro del bloque. El bloque esá unido a un muelle de consane, fijado a la pared. El bloque y el muelle se encuenran apoyados en una superficie horizonal lisa. Si elegimos = el insane del impaco y = la posición inicial del bloque, describir a el movimieno poserior del bloque y b la fuerza máima que realiza el muelle sobre la pared. ( sin /( M m ( M m v mv ( m M v mv ( M F ma m // Masoller, FII 3
33 Ejemplo Movimieno verical de una peloa que se deja caer desde una alura h y que choca elásicamene conra el piso, reboando y volviendo a subir hasa su alura inicial, para luego volver a caer y reboar conra el piso, ec. Calcular: (a la posición de la peloa a iempo, y( (b el período del movimieno mgh dy g( h y mgy m d y y y h dy g( h y g( h y g( h // Masoller, FII 33 d y( h dy d g g( h y / d a b g y a b a T / h / T depende de la ampliud (h del movimieno g
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