= = f=440 Hz, v=143 m/s A=0.75 mm. b) Las posiciones de los nodos están en x=0,λ/2,2λ/2 :

Transcripción

1 15.7 Una de las cuerdas de una guiarra esá en el eje cuando esá en equilibrio. El eremo 0 el puene de la guiarra esá fijo. Una onda senoidal incidene iaja por la cuerda en dirección a 143 m/s con ampliud A0.75 mm frecuencia f440 Hz. Esa onda se refleja del eremo fijo en 0 la superposición de las ondas incidene reflejada forma una onda esacionaria. a Obenga la ecuación que da el desplazamieno de un puno de la cuerda en función de la posición el iempo. b Encuenre los punos de la cuerda que no se mueen. c Calcule la ampliud la elocidad ransersal máima la aceleración ransersal máima en los punos de máima oscilación. ω 2πf k 2π λ 2π 440Hz 2πf 2πω ω 2π 2760rad / s 2760rad / s 143m / s 19.3rad / m f440 Hz 143 m/s A0.75 mm A sinksinω [ OE msin19.3rad / m sin2760rad / s msin19.3rad / m ]sin2760rad / s b Las posiciones de los nodos esán en 0λ/22λ/2 : λ f 143m / s 440Hz 0.325m m0.325m...

2 c El desplazamieno máimo es m dos eces la ampliud de la onda incidene. Ese máimo se da en los aninodos que esán a medio camino enre nodos adacenes m m. Para una parícula en cualquier puno de la cuerda: AOE sink ω cos ω 3 [1.510 msin19.3rad / m ][2760rad / scos2760rad [4.15m / ssin19.3rad / m ]cos2760rad / s / s ] En un aninodo sin19.3 rad/s±1 el alor de la elocidad ransersal aría enre 4.15 m/s m/s. La aceleración es: 2 a AOE sink ω sin ω 4 2 [ m / s sin19.3rad / m ]sin2760rad / s En los aninodos el alor de la aceleración ransersal aría enre m/s m/s 2.

3 MODOS NORMALES EN UNA CUERDA Consideremos ahora una cuerda de longiud finia L sujea rígidamene en AMBOS eremos como las cuerdas en guiarras iolines piano... La onda esacionaria en la cuerda en ese caso debe ener un nodo en ambos los eremos. Dos nodos adacenes esán separados media longiud de onda λ/2 así que la longiud de la cuerda debe ser λ/2 2λ/2 3λ/2 o en general un numero enero de medias longiudes de onda: L λ n n Cuerda fija en ambos eremos Despejando λ de esa ecuación denoando los posibles alored de λ con λ n : λ n n n Si esa relación no eise la onda no es esacionaria

4 A la serie de posibles longiudes de onda esacionaria λ n corresponde una serie de posibles frecuencias de onda esacionaria f n cada una relacionada con su longiud de onda por f n /λ n. La frecuencia más pequeña f 1 corresponde a la longiud de onda más grande n1 λ: f 1 FRECUENCIA FUNDAMENTAL 2 3 Las oras frecuencias de onda esacionaria son: f 2 f3.. f n n nf1 n Esas frecuencias se llaman ARMÓNICOS la serie es la serie armónica.

5 Un MODO NORMAL de un sisema oscilane es un moimieno en el que odas las parículas del sisema se mueen senoidalmene con la misma frecuencia. Ha un numero infinio de modos normales cada uno con su frecuencia parón de ibración caracerísicos. Aquí se muesran los primeros 3 parones de modo normal: f 1 λ/ n1 f 2 2λ/ n2 f 3 3λ/ n3

6 15.36 Un afinador de pianos esira un alambre de piano de acero con una ensión de 800 N. El alambre iene 0.4 m de longiud una masa de 3 g. a Calcule la frecuencia de su modo fundamenal de ibración. b Deermine el número del armónico más alo que podría oír una persona que capa frecuencias de hasa Hz. 1 τ µ 1 τl m m m kg a f 408Hz Hz 408Hz b 24. 5

7 ONDAS SONORAS El SONIDO es una onda longiudinal en un medio. El sonido puede iajar en aire por cualquier gas líquido o sólido. En una onda longiudinal senoidal odas las parículas del fluido oscilan con un MAS en una dirección paralela a la dirección de la onda. Las parículas se agrupan: compresión Las Las parículas parículas se se agrupan: separan: compresión epansión Las parículas se separan: epansión Acos k ω Onda sonora en dirección + Las ondas sonoras se pueden describir en érminos de ariaciones de presión en punos diferenes. El oído humano funciona deecando ales ariaciones de presión. El oído humano es sensible a las ondas en el ineralo de frecuencias de 20 a Hz gama audible pero ambién se usa el érmino sonido para frecuencias maores ulrasónicas menores infrasónicas

8 OÍDO: una onda sonora que enre en el canal audiio ejerce una presión sobre un lado del ímpano; el aire del oro lado comunicado con el eerior por la rompa de Eusaquio esá a la presión amosférica. La diferencia de presión muee il ímpano. S 1 2 Sea p la flucuación de presión insanánea en una onda sonora en cualquier puno en el insane. p es la canidad en que la presión difiere de la + Dirección de propagación presión amosférica p a. Para er el ínculo enre p el desplazamieno en una onda sonora consideremos el cilindro de la figura. Si no esá presene una onda sonora el cilindro iene longiud olumen VS. Si esá presene una onda en el insane el eremo del cilindro que esaba en se desplaza en 1 el que esaba en + se desplaza en 2 +. Si 2 > 1 el olumen del cilindro aumena causando una disminución de presión. Si 2 < 1 el olumen diminue la presión aumena. La flucuación de presión depende de la diferencia enre el desplazamieno de punos ecinos del medio.

9 Cuaniaiamene el cambio de olumen V del cilindro es: ] [ 1 2 S S V + En el límie que ->0 el cambio fraccionario de olumen es: S S V V + ] [ lim 0 Inroduciendo el módulo de olumen B p B / B p cos k A ω sin k BkA p ω BkAp ma ampliud de presión

10 EJEMPLO 16.1 En una onda sonora senoidal de moderada inensidad las ariaciones máimas de presión son de Pa por arriba por debajo de la presión amosférica p a. Calcule el desplazamieno máimo correspondiene si la frecuencia es de 1000 Hz. En aire a presión amosférica densidad normales la rapidez del sonido es de 344 m/s el módulo de olumen B Pa. p BkA A ma p Bk ma 2π 2πf 2π 1000Hz k 18.3rad / λ 344m / s m A p kb ma Pa 18.3rad / m Pa m

11 RAPIDEZ DE LAS ONDAS SONORAS Vimos que para una onda ransersal: τ µ En general la rapidez de una onda mecánica iene la forma: fuerza de resiución inercia que se opone al reorno al equilibrio Una onda sonora en un fluido causa compresiones epansiones de modo que el érmino de fuerza de resiución debe ener que er con lo fácil o difícil que es comprimir el fluido: módulo de olumen B. El érmino de inercia esá relacionado con la masa que para un fluido se represena con la densidad ρ. Enonces para una onda longiudinal en un fluido: B ρ Rapidez de una onda longiudinal en un fluido

12 Si la onda longiudinal se propaga en una barra sólida la rapidez esá dada por: Y ρ donde Y es el módulo de Young del sólido. Rapidez del sonido en arios medios: Aire 20 o 344 m/s Agua20 o 1482 m/s Acero 5941 m/s Aluminio 6420 m/s

13 EJEMPLO 16.3 Un barco usa un sisema de sonar para deecar objeos submarinos. El sisema emie ondas sonoras mide el iempo que arda la onda reflejada eco en oler al deecor. Deermine la rapidez del sonido en agua calcule la longiud de onda de 262 Hz. ρ1000 kg/m 3 B Pa. B ρ Pa kg / m 1480m / s λ f 1480m / s 262Hz 5.65m

14 RAPIDEZ DEL SONIDO EN GASES El módulo de olumen B de un gas depende de la presión del gas. La epresión para el módulo de olumen de un gas es: B γp 0 Donde p 0 es la presión de equilibrio del gas γ es la razón de capacidades caloríficas número adimensional. Por ejemplo para el aire γ1.4. La densidad ρ de un gas ambién depende de la presión que a su ez depende de la emperaura. Resula que el cociene B/ρ para un gas ideal no depende de la presión sólo de la emperaura: γrt M Rapidez del sonido en un gas ideal donde T es la emperaura absolua en Kelin K M es la masa molar R es la consane de los gases R8.31 J/mol K