Movimientos periódicos

Transcripción

1 Los fenómenos que ienen lugar en el mundo físico son capados a raés del oído o la isa pero llegan desde punos disanes es decir arda ciero iempo en ser recibida > no emos ni oímos lo que sucede en el preciso insane en que lo percibimos sino lo ocurrido en un iempo anerior. ano nuesro oído como nuesra isa perciben la perurbación del medio que nos rodea fenómeno que recibe el nombre de MOVIMIENO ONDULAORIO o simplemene ONDA. Las ONDAS SONORAS son moimienos regulares sisemáicos de las moléculas del medio ransmisor superpuesos a sus moimienos propios propagándose a una deerminada elocidad llegan al oído en donde afeca a los nerios audiios por efecos mecánicos el cerebro se encarga de darle la sensación de sonido. Las ONDAS LUMINOSAS ELECROMAGNEICAS ocurren por el ranspore de energía por fenómenos de nauraleza no elásica. En los úlimos años se ha dado carácer ondulaorio incluso a las parículas elecrones proones... Esas son las razones por las que es necesario realizar en Física el esudio del moimieno ondulaorio. Como ese moimieno es periódico eremos en primer lugar el esudio de los moimienos periódicos. Moimienos periódicos Un cuerpo realiza un moimieno periódico cuando a ineralos regulares de iempo llamado PERIODO odas las ariables de su moimieno posición elocidad aceleración sus componenes oman el mismo alor. Algunos moimienos periódicos son: un péndulo que oscila un olane que gira con elocidad consane el moimieno de la ierra alrededor de su eje... Los moimienos periódicos son OSCILAORIOS cuando su disancia al origen pasa por un alor máimo oro mínimo como es el caso del péndulo. En esos se llama ELONGACION a la disancia que separa al puno móil del origen AMPLIUD al alor de la máima elongación. Se llaman MOVIMIENOS VIBRAORIOS a los moimienos periódicos de ipo oscilaorio que ienen su origen en el puno medio de su raecoria es decir ampliudes iguales a ambos lados del origen siendo además su periodo mu pequeño en general. Debido a ese pequeño alor del periodo se inroduce en Física una nuea magniud la frecuencia f1 que es el número de oscilaciones por segundo esando relacionada con el periodo a raés de la fórmula: Ejemplo de moimieno ibraorio sería un muelle elásico que se esira o conrae. Según un eorema maemáico debido a Fourier "odo moimieno periódico puede considerarse como la suma de moimienos ibraorios armónicos de frecuencias múliplos de la del moimieno periódico considerado frecuencia fundamenal". Para ello eamos el oscilador armónico. 1

2 Oscilador armónico Ese moimieno se caraceriza por ser recilíneo siendo ariable la aceleración en cada puno proporcional a la elongación pero de senido conrario. Como ejemplo caracerísico se suele poner el péndulo simple: "odo cuerpo capaz de oscilar alrededor de un eje horizonal que no pase por su cenro de graedad". En el M.A.S. la ecuación de la posición es del ipo: es la ELONGACION. A es la AMPLIUD. 0 es la FASE INICIAL de ibración. ω es la frecuencia angular o pulsación ω + 0 es la FASE de la ibración. El periodo la frecuencia la pulsación esán relacionados enre sí por las ecuaciones: 1La elocidad aceleración de las parículas someidas a ese moimieno oman la forma: Se obsera que la aceleración es direcamene proporcional k es una consane a la elongación. odo M.A.S. debe poseer esa caracerísica. Dinámica del MAS En los muelles la fuerza recuperadora iene dada por la ecuación de Hooke: Según el segundo principio de la dinámica esa fuerza es igual a m a: > > >

3 Energía en el moimieno armónico simple Hemos iso aneriormene que: E p 1 k Pueso que oscilador: A sen ω + 0 podemos esablecer la ariación de la energía poencial del Por ora pare: Siendo: ω Acos ω + 0 Relacionando ambas: Cuando E C es 0 J la E P es máima: Lo mismo ocurre cuando E P es 0 J E C es máima: Ambas energías arían periódicamene desde cero 0 J hasa 1/ k A. La energía mecánica de un oscilador es la suma de la energía cinéica la poencial: [ cos ω + + sen ω + ] 1 E k A 0 0 La energía del oscilador permanece consane ariando de forma conjuna las energías cinéica poencial. Ecuación general del moimieno ondulaorio La epresión anerior nos a a audar a describir el moimieno ondulaorio basándonos ambién en el eorema de Fourier. Básicamene el moimieno ondulaorio puede describirse como "la ransmisión de una perurbación desde un puno a oro sin que eisa ranspore neo de maeria". Una onda simple que se muee a lo largo de una cuerda iene muchas propiedades en común con una onda de luz: El desplazamieno de la cuerda es perpendicular a la dirección del moimieno de la perurbación es decir la onda se propaga a lo largo de la cuerda mienras cada elemeno de la cuerda se muee a un lado a oro. Las ondas de esa clase se llaman ondas ransersales. 3

4 4 La luz es una onda ransersal con sus campos elécrico magnéico ariando en una dirección perpendicular a la dirección de propagación. Sin embargo las ondas producidas al comprimir dilaar un muelle ienen la misma dirección que la perurbación compresión-dilaación: ondas longiudinales. En general la función de onda resula ser solución de la ecuación de D'Alember: Ψ + Ψ + Ψ Ψ z r r Ψ es la función de onda represena la perurbación en el espacio z en el iempo. es la elocidad de la onda. Si la onda se propaga en la dirección : En cuo caso la solución de la ecuación de la onda iene la forma:. Siendo f una función arbiraria de la ariable dos eces diferenciable. Veamos el caso en el que su perfil sea una sinusoide. Como habíamos dicho Fourier obuo un eorema maemáico por el cual cualquier ibración real puede descomponerse en suma de funciones sinusoidales: [ ] 0 k sen A k sen A ± > El argumeno de la función sinusoidal iene que ser adimensional de ahí que se inroduzca la consane posiia k llamada número de ondas. La función de onda debe ser doblemene periódica: ± ± ± π sen A período Araés de su emporalmene Araés de la longiud longiud Espacialmene :. :. 1 Relacionando esa epresión de la ecuación de onda con la dada aneriormene se obiene: > > f f k k π ω ω π π π

5 Por ano la ecuación fundamenal de la onda oma las formas: A sen π ± A sen ± k A sen ± ω - si la onda iaja hacia la derecha. + si la onda iaja hacia la izquierda. [ k ] Fase elocidad de fase Ya hemos definido el concepo de fase en el moimieno armónico. En el caso general del moimieno ondulaorio sería el argumeno de la función sinusoidal: ω ± k. La función de onda que posea esa fase es un caso realmene especial pueso que para 0 s 0 m > Ψ Sin embargo no ha razón para que la magniud de la onda no pueda ener cualquier alor para 0 s 0 m. Eso se consigue inroduciendo la fase inicial 0 al que: Habíamos iso que la elocidad de propagación de la onda enía dada por: f Esa es la llamada elocidad de fase. Esa depende del ipo de onda que se propaga longiudinal o ransersal del medio en que se propaga la onda sólido líquido o gas: 1 Sólidos. En esos las ondas ransersales se propagan siempre más lenamene que las longiudinales: se uiliza por ello en los fenómenos sísmicos. En el caso de la deformación de sólidos en forma de hilos pueden aparecer ondas longiudinales ransersales cuas elocidades ienen dadas por: Líquidos Gases. En esos sólo puede ocurrir compresión dilaación oluméricas presiones > sólo cabe esperar en ellos la propagación de ondas longiudinales. No debemos confundir la elocidad de fase con la elocidad de las parículas que componen el medio: A sen π ± d π P A cos π d ± 5

6 Siendo la aceleración de dichas parículas: d d π a A sen π d d π π a > F m ± k Frenes de ondas De forma general una superficie sobre la cual la fase de una onda es consane se llama frene de onda. Los frenes de onda pueden ser circulares planos esféricos... Ejemplos: Energía e inensidad del moimieno ondulaorio Como hemos iso aneriormene el moimieno ondulaorio consise en la propagación de una perurbación de un puno del espacio a oro sin ranspore neo de maeria. Por ano en dicho moimieno lo que ocurre es la ransmisión de energía canidad de moimieno de un puno a oro. El alor que oma la energía en un moimieno ondulaorio es: La energía ransmiida de una parícula a ora energía de la onda es direcamene proporcional al cuadrado de la frecuencia del moimieno. Principio de Hugens Ese supone que cada puno del frene de ondas alcanzado por la perurbación se coniere en "fuene secundaria" de emisión: cada puno del frene emie nueas ondas con las mismas caracerísicas que la onda original: 6

7 El nueo frene de ondas es la cura que une los punos alcanzados por las ondas secundarias creadas en el frene de ondas a b c... Esa inerpreación es adecuada en ondas maeriales las ibraciones se ransmien de una parícula a ora del medio pero inadecuada en ondas elecromagnéicas que se propagan por el acío. ampoco conempla Hugens la posibilidad de propagación hacia arás de la onda que aunque no ocurre realmene no sería descarable en su eoría. Por ello Kirchoff hizo unas modificaciones en la eoría: 1 El principio es álido para cualquier ipo de ondas. Las ondas de reroceso poseen energía negaia por ano no eisen. Principio de superposición Hemos iso el comporamieno de ondas aisladas pero muchas eces las ondas se encuenran en un puno. Como caracerísica general de las ondas esá el hecho de no alerar su nauraleza al cruzarse al conrario de los objeos que arían sus moimienos al chocar. Así podemos enunciar el principio de superposición como: "cuando se propagan dos o más ondas por un medio la perurbación resulane en cada puno del medio es igual a la suma de las perurbaciones que producirían cada una de las ondas por separado" semejane a la composición de moimienos. Cuando dos o más ondas coinciden en un puno del medio se habla de inerferencia. Inerferencia enre ondas. Ondas esacionarias Hemos iso que la inerferencia es el fenómeno físico que resula al superponerse dos o más renes de ondas. Vamos a esudiar el caso de dos ondas que iajan en senidos conrarios eje OX enconrándose en fase: A sen ω 1 - k A sen ω + k A sen ω cos k En ese caso se produce el fenómeno de ondas esacionarias. La ampliud resulane iene la forma: cos cos π Ar A k A 7

8 La ampliud es pues función de la disancia adquiriendo alores máimos cuando: cos π ± 1> π n π > La ampliud es cero cuando: π cos π 0 > π n + 1 > n VIENRES n+1 NODOS 4 Disancia enre ienres consecuios: Disancia enre nodos consecuios: d V n +1 - n > d V d N n +1 - n - 1 > 4 4 d N Cenrándonos en los nodos como poseen ampliud nula permanecen consanemene en reposo. Es el caso de las cuerdas de una guiarra en donde inerfieren ondas idénicas que se propagan en senidos conrarios ondas esacionarias. En ella odos sus punos se mueen con moimieno armónico simple con la misma frecuencia ampliud ariable ecepo los NODOS que permanecen en reposo no dejando que se propague la onda ni la energía por ano. Por ello esas ondas reciben el nombre de ONDAS ESACIONARIAS. Las posibles frecuencias de ibración de la cuerda de longiud L unida por sus eremos iene dada por: L n f f n L Se denomina FRECUENCIA FUNDAMENAL DE VIBRACIÓN a: f 0 L Cualquier frecuencia f será pues múliplo enero de la fundamenal: n f f 0 Ese hecho inroduce el fenómeno de la CUANIZACIÓN es decir las frecuencias de ibración esán cuanizadas no pudiendo omar cualquier alor sino que serán múliplos eneros de la frecuencia fundamenal. Modos de ibración: 8

9 Difracción Son aquellos fenómenos que no pueden eplicarse considerando la propagación recilínea del moimieno ondulaorio pero puede inerprearse fácilmene a parir del principio de Hugens: "cuando en el camino de una onda inerponemos un obsáculo de amaño comparable a la longiud de onda del moimieno ondulaorio considerado aparecen fenómenos no eplicables a raés de una propagación recilínea de las ondas". El fenómeno de la difracción es an caracerísico del moimieno ondulaorio que nos a a permiir saber si un deerminado moimieno es o no de nauraleza ondulaorio. Por qué es an difícil obserar la difracción con ondas luminosas? Porque las longiudes de ondas de la luz isible es del orden de 10-7 m apareciendo figuras de difracción sólo cuando el obsáculo iene un amaño comparable. Si en el camino de un haz luminoso ponemos pues un obsáculo de amaño semejane a la longiud de onda del haz aparece una figura parecida a la dada en la eperiencia de Young: Aparece una serie de franjas claras oscuras alernanes no una zona cenral iluminada como ocurría con una rendija de maor amaño. Ocurre como sí cada puno de la rendija se comporase como foco emisor de ondas secundarias. La inerferencia de dichas ondas en la panalla son la causa de las figuras de difracción. Refleión refracción Son fenómenos de superficie es decir aparecen siempre que una onda encuenra una superficie que separa dos medios. La REFLEXIÓN se produce cuando la onda reboa en una superficie que separa dos medios coninuando su propagación por el mismo medio pero cambiando su dirección senido. Ejemplos: la refleión de la luz la refleión del sonido el eco... La REFRACCIÓN se produce cuando la onda araiesa la superficie de separación de ambos medios modificándose su elocidad dirección. Ejemplos: la refracción de la luz... Normalmene aparecen ambos fenómenos al mismo iempo. Según el principio de Hugens los punos de la superficie de separación de ambos medios se conieren en focos emisores de nueas ondas al ser alcanzados. Esquemáicamene ocurre: 9

10 PRIMERO: La onda reboa en la superficie coninuando su iaje por el mismo medio pero con disina dirección senido refleión. SEGUNDO: La onda pasa al segundo medio cambiando su elocidad dirección de propagación refracción. El esudio de la refleión la refracción llea a una serie de lees llamadas lees de Snell: 1 El ángulo de incidencia α i de refleión α r de refracción α esán en un mismo plano siendo ese perpendicular a la superficie de separación. El ángulo de incidencia α i es igual al ángulo de refleión α r. 3 El cociene enre el seno del ángulo de incidencia el seno del ángulo de refracción es una consane llamada índice de refracción n: senα i n senα c Donde c es una elocidad parón elocidad de la luz en el acío en el caso de las ondas elecromagnéicas. En general: senα i n 1 n 1 es el índice de refracción del medio 1. senα n1 n es el índice de refracción del medio. 10