Tema 2: Cinemática de la Partícula

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1 Física I-Grupo 3 (Curso 013/14) Tema : Cinemáica de la Parícula Grado en Ingeniería Diseño Indusrial y Des. Prod. Doble Gra. en Ing. Diseño Ind. y D.P e Ing. Mecánica Escuela Poliécnica Superior Universidad de Sevilla 10/8/013 Conenido.1. Concepos fundamenales. Descripción del movimieno... Vecores de posición, Velocidad, Aceleración..3. Clasificación de los movimienos.4. Movimieno en el plano: composición de movimienos..5. Componenes inrínsecas de la aceleración..6. Movimieno circular. Velocidad y aceleración angulares..7. Movimieno relaivo. Velocidad y aceleración relaivas Tiempo aprox: 6 horas 1

2 Objeivos Objeivos Definir los concepos de posición, velocidad y aceleración de una parícula. Comprender la nauraleza vecorial de la posición, velocidad y aceleración y la forma en que se relacionan enre si. Aplicar los concepos aprendidos a problemas de movimieno. Comprender el significado físico de las componenes angencial y normal de la aceleración. Aplicar los concepos de movimeno relaivo al caso de movimeno relaivo de raslación. Comprender el movimieno circular y los concepos de velocidad y aceleración angular. Comprender el movimieno relaivo. 3 Bibliografía General SEARS, F e al. Física universiaria. Vol. 1 TIPLER, P. A. e al. Física para la Ciencia y la Tecnología, Vol. 1 Problemas BURBANO, S., BURBANO, E., GRACIA, C.: Problemas de Físca Problemas de los libros aneriores... Tuorial: MaseringPhysics: Ed. PEARSON Además... los demás libros que aparecen en el programa. Bibliografía 4

3 Enlaces de inerés A coninuación enconrarás algunos enlaces de inerés, por si quieres profundizar en esos emas: Movimieno de un proyecil Aceleración de Coriolis y aceleración cenrífuga (video) Animación del efeco de Coriolis en la superficie erresre 5.1. Concepos fundamenales. Descripción del movimieno..1. Concepos fundamenales. Descripción del movimieno. Cinemáica: es la pare de la mecánica que esudia los movimienos independienemene de las causas que los producen. Así, la cinemáica describe el movimieno sin ocuparse de las fuerzas que los producen. El problema fundamenal de la cinemáica consise en describir y predecir el movimieno fuuro, deerminar posición, velocidad y aceleración de un móvil en función del iempo, condicionados a las caracerísicas del problema. Eso implica enconrar las respecivas ecuaciones r, v, a, ec. Cinemáica de la parícula: describe el movimieno de la parícula sin aender a las causas que lo producen. 6 3

4 .1. Concepos fundamenales. Descripción del movimieno. Puno maerial o parícula Puno geomérico sin dimensiones, eso es, sin volumen, doado de masa finia y disina de 0 (densidad infinia) Parícula = Puno con masa - La parícula es la idealización de un cuerpo de dimensiones pequeñas comparadas con sus desplazamienos, o cuya esrucura y movimienos inernos son irrelevanes. Ej: un rasalánico en su movimieno por el océano, la Tierra en su roación alrededor del Sol, ec... Cuando la roación no pueda despreciarse, el sólido no se puede considerar como parícula: Cinemáica del sólido rígido Concepos fundamenales. Descripción del movimieno. Un puno se mueve cuando su posición varía con relación a un sisema de ejes que consideramos fijo. Si los ejes de referencia esán realmene fijos, el movimieno es ABSOLUTO. Si no lo esán, al movimieno se le llama RELATIVO. 8 4

5 .. Vecores de posición, velocidad, aceleración...vecores de posición, velocidad, aceleración. Para deerminar cinemáicamene el movimieno hay que esablecer la relación enre la posición de la parícula respeco a un deerminado sisema de referencia y el iempo. Vecor posición: r r() Esa expresión consiuye la ecuación horaria del movimieno en forma vecorial. Las disinas posiciones del exremo de r forman una línea: s() r 0 s s() r r() La línea descria por la parícula en su movimieno en el espacio es su rayecoria. (s represena la disancia medida a lo largo de la rayecoria) 9.. Vecores de posición, velocidad, aceleración. Ecuaciones paraméricas de la rayecoria: Ecuaciones horarias x x () y y( ) r r( x, y, z ) z z () r x( ) i y( ) j z ( ) k Una segunda forma de definir el movimieno es, dando la ecuación analíica de la rayecoria en el espacio, que viene deerminada por la ecuación de dos superficies, cuya inersección es la curva rayecoria. f1 ( x, y, z ) 0 Ecuaciones implícias f ( x, y, z ) 0 Ora forma más de expresar la rayecoria sería: x f ( y, z ) y f ( x, z ) Ecuaciones explícias 10 5

6 .. Vecores de posición, velocidad, aceleración. Ejemplo: Parícula en rayecoria circular: y Ecuaciones horarias: x ( ) R cos y( ) R sen ( ) r R cos i R sen ( ) j r v x Eliminando : x y R cos sen Ecuación de la rayecoria x y R Ejemplo: R = m; = Vecores de posición, velocidad, aceleración. Vecor desplazamieno: r r ' r y El vecor desplazamieno indica el cambio de posición de la parícula al rasladarse de P a P. P r P ' Ejemplo: Desplazamieno en el plano. Se puede expresar ambién: O Trayecoria ' r r r r r y el módulo del vecor desplazamieno no coincide con la disancia recorrida a lo largo de la rayecoria, salvo en el movimieno recilíneo: r s x 1 6

7 Velocidad media: media r Es la velocidad media a la que se mueve la parícula. v.. Vecores de posición, velocidad, aceleración. Componenes caresianas vx v y vz Ejemplo en 1D x y z Unidades: [v] = [s]/[] = LT -1 En el S.I. se mide en m/s. No da información sobre las posibles variaciones de la velocidad durane el inervalo de iempo : durane ese iempo la velocidad en cada insane ha podido variar Vecores de posición, velocidad, aceleración. Cuál es la velocidad de una parícula en un insane concreo Velocidad insanánea: r d r v lim v media lim 0 0 d Es el límie de la velocidad media cuando se aproxima a cero (inervalo de iempo infiniesimalmene pequeño). Vecor velocidad v en un puno de la rayecoria referido al origen O (velocidad definida por un observador colocado en O) es la derivada del vecor de posición r de la parícula en el insane considerado, con respeco al iempo. La velocidad insanánea nos indica lo que esá sucediendo en cada insane de iempo. La velocidad insanánea se dirige según la angene a la rayecoria de la parícula en cada puno y senido el del movimieno. 14 7

8 La velocidad insanánea v x coincide con la pendiene de la línea angene a la curva x en función de :.. Vecores de posición, velocidad, aceleración. Ejemplo en 1D Si r( x, y, z ) es el vecor de posición de la parícula en un insane deerminado, las componenes coordenadas del vecor velocidad en ese insane serán: d r dx dy dz v i j k x i y j z k vxi vy j vzk d d d d El módulo de la velocidad será: v v v v x y z 15.. Vecores de posición, velocidad, aceleración. Ejemplo (1D): La gráfica represena la posición de una parícula en función del iempo. Cuál es su velocidad en el insane = s? Dibujando la angene en ese insane, se obiene: 8,5 m 4 m v pendiene an 1,5 m/s 5 s s 16 8

9 .. Vecores de posición, velocidad, aceleración. Ejemplo (1D): La posición de una piedra que se deja caer, pariendo del reposo, desde un acanilado viene dada por la ecuación en el S.I.: x 5. Calcule la velocidad media durane los primeros 7s y la velocidad a los 7s. La velocidad media durane los primeros 7s es: x vmedia 35 m/s 70 La velocidad para cualquier insane es la angene de la curva. Ésa se obiene derivando direcamene x() respeco del iempo: dx v 10 d La velocidad a los 7s es enonces: v 7s m/s 17.. Vecores de posición, velocidad, aceleración. Aceleración media: a media v ' v v Es la variación media de la velocidad. Unidades: [a] = [v]/[] = LT - En el S.I. se mide en m/s. Desplazamieno en el plano Según se mueve la parícula, v se puede calcular de varias formas. La aceleración media es un vecor dirigido según v. 18 9

10 .. Vecores de posición, velocidad, aceleración. Aceleración insanánea: v dv d r a lim amedia lim 0 0 d d Es el límie de la aceleración media cuando se aproxima a cero. Vecor aceleración a es la derivada del vecor velocidad respeco del iempo o bien la derivada segunda del vecor de posición respeco al iempo. Las componenes caresianas del vecor aceleración son: a x vx x ay vy y a vxi vy j vz k xi ÿ j zk ax vz z 19 La gráfica represena la evolución de la velocidad con el iempo (línea marrón)... Vecores de posición, velocidad, aceleración. La pendiene de la gráfica de la velocidad respeco del iempo es la aceleración. La pendiene de la línea azul es la aceleración media. La pendiene de la línea verde represena la aceleración. La aceleración va a ser disina de 0 si el vecor velocidad varía en cualquier forma, ya sea su módulo, su dirección o ambos. Así, puede darse que v ce pero a 0, porque v varía su dirección. 0 10

11 .. Vecores de posición, velocidad, aceleración. El problema fundamenal del movimieno de la parícula: El problema fundamenal de la cinemáica es deerminar la posición, velocidad y aceleración de la parícula, referidas a un sisema de referencia que consideramos fijo, y que esán inerrelacionadas enre sí. Conocido el vecor posición: r x( ) i y( ) j z ( ) k se puede deerminar derivando la velocidad y la aceleración: d r dx dy dz v i j k xi y j zk d d d d a vxi vy j vz k xi ÿ j zk Conocido el vecor aceleración se puede deerminar inegrando la velocidad y la posición en cualquier insane: v v dv 1 1 a () d r r dr 1 1 v () d 1.3. Clasificación de los movimienos Se clasifican según 11

12 .3. Clasificación de los movimienos Casos pariculares del movimieno recilíneo: (a) Movimieno recilíneo uniforme: es un movimieno cuya rayecoria es una línea reca y su velocidad, consane. v ce x x v 0 x x0 v v ce a 0 9 Movimieno recilíneo: Movimieno recilíneo de una parícula es aquel cuya rayecoria es una línea reca. Es por lo ano un movimieno unidimensional..3. Clasificación de los movimienos Eligiendo el eje x en la dirección del movimieno, las ecuaciones quedan simplemene: x x() v v ( ) x( ) a a ( ) v ( ) x( ) x x x x x.3. Clasificación de los movimienos o sus expresiones inegrales: x x dx v () d dv 1 1 x x Eliminando enre ésas d queda una ecuación muy úil en la resolución de problemas: v dv a dx x x x v v x x 1 1 a () d x 30 1

13 Ecuaciones escalares del MRU en res dimensiones..3. Clasificación de los movimienos Si no esá siuado en el eje x v = v x i + v y j + v z k res consanes. en donde v x, v y, v z son Enonces r = x i + y j + z k = = (x 0 + v x ) i + (y 0 + v y ) j + (z 0 + v z ) k Y las ecuaciones escalares quedarían: v x = k 1 ; v y = k ; v z = k 3 ; x = x 0 + v x y = y 0 + v y z = z 0 + v z.3. Clasificación de los movimienos Ejercicio: Escribir las ecuaciones escalares del movimieno anerior cuya ecuación de velocidad era: v = (3 i + 4 j 6 k) m/s, y su posición inicial venía deerminada por r 0 = ( i + k) m. Ecuaciones escalares de velocidad v x = 3 m/s ; de posición x = ( + 3 ) m v y = 4 m/s ; y = 4 m v z = 6 m/s ; z = (1 6 ) m 13

14 .3. Clasificación de los movimienos (b) Movimieno recilíneo uniformemene acelerado: es un movimieno cuya rayecoria es reca y su aceleración consane 1 x x v a v v a a ce 33 Ecuaciones del movimieno. MRUA.3. Clasificación de los movimienos a = dv/d = a x i significa que la v varía con el iempo siempre al mismo rimo. dv = a d. Inegrando: v = dv = a d = a + v 0 (v 0 = consane) v = a + v 0 Para obener la posición se vuelve a inegrar: r = dr = v d = (a + v 0 ) d r = ½ a + v 0 + r 0 (r 0 = consane) Si el movimieno ranscurre a lo largo del eje x la ecuación vecorial se expresará como: r = x i = (½ a x + v 0x + x 0 ) i 14

15 Ejemplo: Sea un el movimieno definido por las siguienes consanes a = (5 i) m/s y v 0 = 3 i m/s r 0 = 4 i m. Deermina las ecuaciones vecoriales de la velocidad y de la posición. v = a d = (5 i) m/s d v = (5 m/s + 3 m/s) i r = v d = (5 m/s + 3 m/s) i d r = (5/ m/s + 3 m/s + 4 m) i Ejercicio: Sea un movimieno cuya ecuación de velocidad es: v = (4 + ) j m/s. Deerminar la ecuación vecorial de la aceleración y de la posición. Suponiendo que para = 0 su posición es r 0 = 3 j m, cuál será su posición en el insane = s? a = dv/d = 4 j m/s r = dr = v d = (4 + ) j d = = (½ ) j m r = ( + + 3) j m r ( = s) = [ () + + 3] j m = = ( ) j m r ( = s) = 15 j m 15

16 Java-Apple Movimieno con aceleración consane Clasificación de los movimienos (c) Movimieno de caída de los cuerpos sobre la Tierra: odos los cuerpos caen sobre la Tierra, en el vacío, para punos próximos a su superficie y para pequeñas variaciones de alura comparadas con el radio de ésa (R=6.370 km), con la misma aceleración a la que llamamos aceleración de la gravedad g, con un valor aproximado de 9,81 m/s. Si se pare del reposo (v 0 0) y represenamos h por la alura de caída, enonces: 1 h g v g a g 9,8 m/s de las que se deducen las siguienes ecuaciones: 1 h v v gh 38 16

17 .3. Clasificación de los movimienos Si el objeo cae libremene, pero no pare del reposo, sino que lleva ciera velocidad v 0, enonces: v v g 0 En la foografía esroboscópica de la derecha (1 disparo cada 1/60 segundos), se deja caer libremene una manzana. Como se puede observar, conforme cae aumena el espaciado, indicando el aumeno de velocidad debido a la aceleración de la gravedad Clasificación de los movimienos Ejercicio: Caída libre 0 v0 gb 1 yb v0 B gb Una piedra se lanza en línea reca hacia arriba desde el borde la azoea de un edificio de 50 m, a una velocidad inicial de v 0 0 m/s. Calcule el iempo necesario para que la piedra alcance la máxima alura, ésa alura, el iempo necesario para que vuelva a la alura de la azoea y su velocidad, la velocidad y posición a los 5 segundos, y el iempo que arda en llegar al suelo y su velocidad. 1 yc v0 C gc 0 v v g C 0 C vd v0 gd 1 yd v0 D gd 40 17

18 .3. Clasificación de los movimienos (d) Movimieno de proyeciles: Lanzamieno de una parícula desde el puno r 0 (x 0, y 0 ) con velocidad inicial v 0 formando un ángulo 0 con el eje horizonal. La posición en un insane será: 1 () r r 0 v 0 g La posición final es la suma de los vecores de posición inicial, la posición resulane de la velocidad inicial y la posición resulane de la aceleración. 0 0 v 0 r ( x, y ) (0,0) 1 g ( xy, ) Clasificación de los movimienos Diagrama del movimieno de proyeciles: v ( ) v ( ) i v ( ) j v i v -g j xi x yi y v v i v j i xi yi v cosi v sen j i i i i x vxi 0 1 y vyi g y 0 v iseni g 4 18

19 .3. Clasificación de los movimienos Rango o alcance y alura máxima de un proyecil: Cuando se analiza el movimieno de un proyecil hay dos caracerísicas especialmene ineresanes: El rango o alcance, R, es la máxima disancia horizonal. La alura máxima que alcanza es h. Rango y alura para elevaciones inicial y final iguales: vi seni R g vi sen i h g Clasificación de los movimienos Dependencia del alcance con el ángulo: El máximo alcance se da para un ángulo de lanzamieno de 45º

20 Movimieno de proyeciles no simérico Ejercicio: Desde la azoea de un edificio se lanza una piedra hacia arriba formando un ángulo de 30º con la horizonal y una velocidad de 0 m/s. Si la alura del edificio es de 45 m, calcule el iempo que arda en llegar al suelo, con qué velocidad lo golpea y la disancia a la que cae. La velocidad inicial es:.3. Clasificación de los movimienos v 0 v0xi v0yj v0 cos0i v0 sen0 j 0cos30º i 0 sen30º j La posición de la piedra viene dada por: x v 0x 1 y vy 0 g sen30º 9, 81 4,s x 73,0 m v 35,9 m/s Composición de movimienos. 4. Composición de movimienos Si un cuerpo esá someido simuláneamene a dos movimienos independienes, en un insane deerminado, el movimieno resulane será una combinación de ambos: Vecor posición: suma de los vecores posición de cada movimieno. r r r 1 Velocidad: suma vecorial de las velocidades que imprimen cada movimieno. v v v 1 Aceleración: suma de las aceleraciones de cada uno de los movimienos. a a a

21 . 4. Composición de movimienos Se comprueba pues que r, v y a ienen realmene carácer vecorial, y que por ano siguen las reglas del álgebra vecorial. Es un hecho experimenal que se basa en el: Principio de Galileo: Cuando un cuerpo esá doado de dos movimienos simuláneos, su cambio de posición es independiene de que los movimienos acúen simulánea o sucesivamene. - De esa manera se podrá descomponer un movimieno complejo en la suma de oros más sencillos Componenes inrínsecas de la aceleración..5. Componenes inrínsecas de la aceleración. Considerando un movimieno curvilíneo de una parícula, la velocidad es siempre angene a la rayecoria, pero la aceleración forma ciero ángulo respeco a ésa. Una forma de esudiar el movimieno curvilíneo plano de la parícula consise en analizar las componenes de la velocidad y aceleración insanánea de ésa, según la dirección angencial y normal a su rayecoria en la posición en que se encuenra, en un deerminado insane. v v u Trayecoria P a n R a a v dv du a u v d d 51 1

22 Acelerador Freno 5.5. Componenes inrínsecas de la aceleración. du Cálculo de la derivada : d Recordando que si A es un vecor de módulo consane, enonces: d A d A A A ce A A A ce A 0 d d da da si A 0 y 0 enonces A. Luego: d du u d d u Si represenamos la variación de la dirección de u : u u' u R 1 du du u u u' u n lim u n 0 lim n 0 u d d u R s r s R R Así, la aceleración queda: 1 s v lim un un 0 R R dv d v R a u u n 53

23 Así, la aceleración se puede descomponer en una componene angencial a la rayecoria y ora normal a ésa que apunaría al cenro del radio de curvaura de la rayecoria: dv v a au a u u u d R n n n dv La aceleración angencial: a u d esá relacionada con del cambio del módulo de la velocidad. Será posiiva o negaiva..5. Componenes inrínsecas de la aceleración. P a n R a a v v La aceleración normal o cenrípea: an un R esá relacionada con cambio de dirección de la velocidad. Esá dirigida siempre hacia el cenro de curvaura de la rayecoria. - Así, la aceleración de una parícula que se mueva con v ce describiendo una rayecoria curva no es cero, salvo en un puno de inflexión (donde R ). 54 C v x v y a v 55 3

24 Casos pariculares: dv v 0 a 0 0 v ce d v 0 a 0 v an 0 0 R R.5. Componenes inrínsecas de la aceleración. Reposo Movimieno recilíneo uniforme R Movimieno recilíneo a n 0 a a u v a v a d dr v d si además a ce dv dr 0 v ce d d a 0 v a un R v si además an ce ce R ce R uniformemene acelerado: Acelerado v v0 a 1 s s0 vo a movimieno curvilíneo uniforme mov. circular uniforme 56 El movimieno circular de una parícula es aquel cuya rayecoria es una circunferencia. ds d v r d d Tomando el origen en el puno O (cenro de roación), podemos describir el movimieno mediane magniudes angulares:.6. Movimieno circular. Velocidad y Aceleración angulares..6. Movimieno circular. Velocidad y Aceleración angulares. Velocidad Angular y O Aceleración Angular ( ) d d () () () d d d d v r (No confundir velocidad angular con pulsación o frecuencia angular) r s x 57 4

25 .6. Movimieno circular.velocidad y Aceleración angulares. Vecor velocidad angular: En cieras siuaciones (roación alrededor de un eje fijo, por ejemplo) es úil pensar en y como vecores. Se define el vecor velocidad angular como un vecor dirigido a lo largo del eje de roación, de módulo d/d y senido al que se verifique que: v r r r cos i sen ( ) j zk (La dirección y senido de la velocidad angular se puede conocer fácilmene aplicando la regla de la mano derecha cerrando la mano en el senido de giro que sigue la parícula) Movimieno circular.velocidad y Aceleración angulares. Vecor aceleración angular: El vecor aceleración angular iene la misma dirección que el vecor velocidad angular, y su senido será el mismo, si esá acelerando, o el conrario, si esá frenando: d () d Las componenes inrínsecas de la aceleración se pueden expresar en función de la velocidad angular: dv d Aceleración angencial: a r r d d Aceleración cenrípea: v an r r Aceleración oal: a ru ru n 59 5

26 .6. Movimieno circular.velocidad y Aceleración angulares. Movimieno circular uniforme ( = 0 = ce): Si el movimieno se realiza con velocidad angular consane, el movimieno se dice uniforme. El período, T, es el iempo necesario para complear una vuela. La velocidad de la parícula será la longiud de la circunferencia del movimieno dividida por el período. Por lo ano, el período será: r T v La frecuencia, f, es el número de vuelas por unidad de iempo, y es la inversa del período: 1 f T Enonces, la velocidad angular se puede expresar: f 60 Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad angular consane. Si dan 90 vuelas por minuo, calcula: a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la velocidad lineal de un puno de las aspas que se encuenra a 0,75 m del cenro; c) el ángulo girado en 10 s. a) 90 vuelas min rad = = 3 rad/s min 60 s vuela b) rad v = R = 3 0,75 m = 7,1 m/s s c) rad = = 3 10 s = 30 rad = 15 vuelas s 6

27 .6. Movimieno circular. Velocidad y Aceleración angulares. Movimieno circular no uniforme ( 0): Caso general: aceleración angular variable en el iempo () d () 0 d d 0 d () 0 d d 0 Caso paricular: ce En esas expresiones úlimas, y son realmene las componenes z y z, no sus módulos, por lo que incluyen sus signos correspondienes. 6 Relación enre ecuaciones lineales y angulares (con.). MRUA a = k (consane) Ecuación v = f(): v = v 0 + a Ecuación e = f(): s = e 0 + v 0 + ½ a MCUA = k (consane) Ecuación = f(): = 0 + Ecuación = f(): = ½ s = R v = R a = R 7

28 Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmene en reposo, acelera uniformemene hasa alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un puno de la periferia a los 5 s de iniciarse el movimieno; c) las componenes inrínsecas de la aceleración en un puno del borde del disco; d) el nº de vuelas que da en 1 minuo. a) 5 rad/s 0 = = = 0,083 rad/s 60 s b) ( = 5 s) = 0 + = 0,083 rad/s 5 s =,1 rad/s v ( = 5 s) = R =,1 rad/s 0,15 m = 0,31 m/s (Coninúa en la diaposiiva siguiene) Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmene en reposo, acelera uniformemene hasa alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un puno de la periferia a los 5 s de iniciarse el movimieno; c) las componenes inrínsecas de la aceleración en un puno del borde del disco; d) el nº de vuelas que da en 1 minuo. c) a = R = 0,083 rad/s 0,15 m = 0,01 m/s a n = v /R = R = R = (0,083 rad/s ) 0,15 m a n = 1, m/s (a n depende de ) d) ( = 1 min) = 0 + ½ = ½ 0,083 rad/s (60 s) = 150 rad = 3,9 vuelas (Viene de la diaposiiva anerior) 8

29 Ejercicio: Un iovivo se pone en marcha y arda 5 s, durane los cuales acelera uniformemene, en adquirir los caballios siuados a 5 m del cenro la velocidad de 5 m/s con la cual permanece durane odo el iempo que dura la aracción. Calcula las componenes inrínsecas de la aceleración a los y a los 8 segundos de iniciado el movimieno, así como los valores de sus módulos. Solución Ejercicio: Un iovivo se pone en marcha y arda 5 s, durane los cuales acelera uniformemene, en adquirir los caballios siuados a 5 m del cenro la velocidad de 5 m/s con la cual permanece durane odo el iempo que dura la aracción. Calcula las componenes inrínsecas de la aceleración a los y a los 8 segundos de iniciado el movimieno, así como los valores de sus módulos. v 5 m/s ( = 5 s) = = = 1 rad/s R 5 m 0 1 rad/s 0 = = = 0, rad/s 5 s ( = s) = 0 + = 0, rad/s s = 0,4 rad/s v ( = s) = R = 0,4 rad/s 5 m = m/s 9

30 v ( m/s) a n ( = s) = = = 0,8 m/s R 5 m a ( = s) = R = 0, rad/s 5 m = 1 m/s a ( = s) = [(0,8 m/s ) + (1 m/s ) ] ½ = 1,8 m/s v (5 m/s) a n ( = 8 s) = = = 5 m/s R 5 m a ( = 8 s) = R = 0 rad/s 5 m = 0 m/s a ( = 8 s) = [(5 m/s ) + (0 m/s ) ] ½ = 5 m/s Ejercicio: Una parícula sigue la rayecoria helicoidal dada por las ecuaciones x ( ) R cos y ( ) R sen ( ) h z () donde R, h y ω son consanes. Deermínese en cualquier insane de iempo: a) Las aceleraciones angencial y normal. b) El radio de curvaura

31 .7. Movimieno relaivo. El movimieno es un concepo relaivo: puede verse de forma diferene por diferenes observadores. El movimieno se describe respeco a un sisema paricular de referencia: las observaciones hechas en la Tierra se refieren generalmene a un sisema ligado a ella. Diferenes observadores pueden uilizar sisemas de referencia disinos. ra rb r y Suelo z O x r A r B x '' z ' y ' Avión A/ B z '' y '' v B.7. Movimieno relaivo. O ' O '' v A/ B r A/ B v A x ' Barco Movimieno relaivo. Relación enre los vecores: r r r A B A/ B r r r A/ B A B v v v A A B a a a B A/ B A/ B v v v A/ B A B a a a A/ B A B ABSOLUTA ARRASTRE RELATIVA 71 31

32 7 Ejemplo: el mono y el guardabosques..7. Movimieno relaivo. Posición del mono 1 rm xmi xm an0 g j Posición del dardo 1 rp v 0 cos0 i v 0 sen0 g j Posición del dardo visa desde el mono Velocidad del dardo: v P () v0 g Movimieno recilíneo uniforme Velocidad relaiva: v P / M() v 0 ce r P / M r 0 P / M v 0 cos sen an r r r v x i v x j P / M P M 0 0 M 0 0 M 0 El dardo alcanza al mono cuando: v0 cos0 xm 0 r P / M 0 v 0 sen0 xm an0 0 v Velocidad del mono: v M( ) g x M cos

33 '/.7. Movimieno relaivo. Movimieno recilíneo uniforme: Transformaciones de Galileo En el caso de dos sisemas de referencia inerciales, eso es, dos sisemas en reposo o con movimieno recilíneo uniforme de raslación, los vecores posición, velocidad y aceleración del puno P se relacionan de la siguiene manera: Suponiendo que en = 0 los orígenes coinciden: OO ' v O'/ O r r ' OO ' Transformaciones de Galileo r r v ' O'/ O y ' v O'/ O z ' O ' r ' x ' y v v v ' O'/ O v v ' v O'/ O OO v ' O O r P a a a ' O'/ O a a' z O x Movimieno relaivo. Ejemplo: Movimieno relaivo Lanzamieno de la bola en reposo. Lanzamieno de la bola en movimieno: la bola adquiere la misma velocidad horizonal que el sisema que la lanza, siguiendo una rayecoria parabólica y volviendo al sisema