Primera ley de Maxwell o ley de Gauss para el campo Eléctrico

Transcripción

1 CUACION D MAW as leyes experimenales de la elecricidad y del magneismo se resumen en una serie de expresiones conocidas como ecuaciones de Maxwell. sas ecuaciones relacionan los vecores inensidad de campo elécrico () e inducción magnéica (), con sus fuenes, que son las cargas elécricas, las corrienes y los campos variables. Una clase imporane de acción muua o ineracción enre las parículas fundamenales que forman la maeria es la ineracción elecromagnéica. sa depende de una propiedad caracerísica la carga elécrica. a modificación del espacio por presencia o movimieno de cargas lo llamamos campo elecromagnéico, caracerizado por los vecores y, de al forma que la fuerza que aparece sobre una carga elécrica es : F = q ( + v x ). os campos y quedan deerminados por las posiciones de las cargas y por sus movimienos (o corrienes), es por eso que se las denominan fuenes del campo elecromagnéico, ya que conocidas ellas, a ravés de las ecuaciones de Maxwell podemos calcular y. Debemos ener presene que las ecuaciones de Maxwell al como las veremos ienen sus limiaciones. Funcionan muy bien para raar ineracciones enre gran número de cargas, como los circuios elécricos, las anenas y aún los rayos de áomos o de moléculas ionizados. as ineracciones elecromagnéicas enre parículas elemenales ( especialmene de ala energía ) se deben raar conforme a las leyes de la elecrodinámica cuánica. Primera ley de Maxwell o ley de Gauss para el campo lécrico Φ = ds. = q/ε l flujo elécrico a ravés de una superficie cerrada que encierra las cargas q 1, q 2,...q n, esá dado por la expresión anerior. Donde q = q 1 + q q n, es la carga oal en el inerior de la superficie. i no hay cargas en el inerior de la superficie cerrada, o si la carga nea es cero, enonces el C flujo elécrico (Φ ) oal a ravés de ella es cero. C as cargas que esán fuera de la D superficie cerrada no x D conribuyen a ese flujo oal o neo. a ley de Gauss es úil para calcular el campo x producido por disribuciones de A dx dz cargas que ienen ciera simería. A 1

2 Φ ACD =. ds.cosθ =.cosθ.d.d Φ ACD =.d.d Φ A C D = '. ds.cosθ = -.cosθ.d.d Φ A C D = -..d.d l flujo oal en la dirección será Φ =..d.d -..d.d = ( - ). d.d Como la disancia enre A y A es muy pequeña (d ), enonces la variación del campo enre ambas caras es infiniesimal ( - ) = d =.dx Φ =.dx.dz. x x Φ =.dv ( dv = volumen del cubo) x e obienen resulados análogos para las oras dos direcciones, por lo que el flujo elécrico que araviesa la superficie será : Φ =.dv + dv + dv x y z i dq es la carga denro del volumen dv, por la ley de Gauss nos queda: Φ = ( + + ) dv = dq/ε si dq/dv = ρ, obenemos x y z ( + + ) = ρ/ε div = ρ/ε x y z a ley de Gauss en forma diferencial relaciona el campo elécrico () en un puno del espacio con la disribución de cargas en el mismo puno (ρ). s decir expresa una relación local enre esas dos magniudes físicas. Vemos que las cargas elécricas son las fuenes del campo elécrico, y que la disribución y magniud de las cargas deerminan el campo en cada puno del espacio. egunda ley de Maxwell o ley de Gauss para el campo Magnéico ds. = l flujo magnéico a ravés de una superficie cerrada es siempre nulo. Como no hay masas magnéicas o polos aislados, siempre se encuenran formando dipolos, enonces las líneas del campo son cerradas. s decir, el flujo enrane a ravés de cualquier superficie cerrada es igual al flujo saliene. n forma diferencial, por analogía con la ley de Gauss para el campo elécrico, obenemos : + + = ó div = x y z as líneas de campo magnéico () no divergen ni convergen desde ningún puno (relación local), es decir los polos aislados no exisen. 2

3 Tercera ley de Maxwell o ley de Faraday - Henry d. dl =. ds Un campo magnéico dependiene del iempo implica la exisencia de un campo elécrico, al que su circulación a lo largo de un camino arbirario cerrado es igual a menos la derivada con respeco al iempo del flujo magnéico a ravés de una superficie limiada por el camino. sa superficie no es cerrada, y por lo ano el flujo magnéico que la araviesa no iene porque ser necesariamene cero. sa ley describe como son las líneas de que rodean un área donde el flujo magnéico que la araviesa, esá variando. a ley de la inducción elecromagnéica según vimos, se puede aplicar a caminos de cualquier forma. upongamos un camino recangular infiniesimal PQR sobre el plano xy dx R u y P A z u z u x Q. dl = PQR PQ QR R P. dl.cosθ =. QR. dl.cosθ = -. P + QR = ( - ) Como la disancia enre PQ es muy pequeña (dx), enonces P la variación del campo = ( - ) vale d. 3

4 + QR = ( - ) = d. =.dx. P x Análogamene, + PQ = -..dx a suma de las cuaro inegrales valen: R y. = ( x dl = PQR PQ QR R P - y ).dx. Por oro lado, el flujo a ravés de la superficie es : Φ PQR = ds. =.dx. d usiuyendo en la expresión de la ley de Faraday-Henry. dl =. ds se obiene: ( - d ).dx. = - (.dx.) - = - x y x y colocando el recángulo infiniesimal en los planos yz y zx : y z = y z x = a combinación de esas res expresiones dan la ley de Faraday en forma diferencial, que se puede escribir como : Ro. = - xpresa las relaciones que deben exisir enre la derivada respeco del iempo del campo magnéico en el puno y el campo elécrico exisene en ese mismo puno del espacio. Cuara ley de Maxwell a carga elécrica se conserva en odos los procesos que ocurren en el universo, la canidad de carga nea siempre permanece consane. upongamos ener una superficie arbiraria y cerrada (), llamaremos (q) a la carga nea denro de ella en un insane deerminado de iempo. Consideraremos un sisema dinámico por lo que cargas libres ( e - en los meales) se mueven a ravés del medio aravesando (). -A veces pueden exisir mas cargas salienes que enranes, originando una disminución de la carga nea (q). -Oras veces la siuación se puede inverir, de forma que las cargas que enran,pueden exceder a las que salen, dando como resulado que la carga nea (q) aumena. -i los flujos de carga enranes y salienes de () son iguales, la carga nea será consane. l principio de conservación de la carga exige que: 4

5 pérdida de carga = flujo saliene flujo enrane = flujo neo de carga saliene. l flujo neo de carga saliene (miembro de la derecha de la igualdad), o sea la carga que sale a ravés de la superficie cerrada por unidad de iempo vale: I = J ds. dq a pérdida de carga por unidad de iempo denro de la superficie cerrada () vale : = I dq = J ds. (principio de conservación de la carga) Recordando la ley de Gauss ds dq d. = q/ε, y derivando, = ε. ds J ds d. + ε. ds = cuando los campo son esáicos ds. = no depende del iempo, y su derivada es nula J ds. =, eso significa que para campos esáicos, no exise acumulación o pérdida de carga en ninguna región del espacio, por lo que la corriene nea a ravés de la superficie cerrada vale cero. Maxwell sugirió la incorporación de un segundo érmino a la ley de Ampére, cuando se ienen campos variables en el iempo. sa ley dice que la circulación del campo magnéico esá expresada por : µ I =. dl = µ J ds. donde es cualquier superficie limiada por, e I represena la corriene oal enlazada por la rayecoria a sugerencia de Maxwell fue reemplazar J ds. por J ds d. + ε. ds con lo que la expresión de Ampére queda. dl = µ ( J ds d. + ε. ds ). dl = µ I + µ ε ds d. a ley de Ampére relaciona una corriene esacionaria con el campo magnéico que ella produce. a ley de Ampére-Maxwell indica además, que un campo elécrico dependiene del iempo ambién conribuye al campo magnéico. n ausencias de corrienes, enonces :. dl = µ ε ds d. 5

6 Un campo elécrico variable en el iempo implica la exisencia de un campo magnéico en el mismo lugar. dx R u y P J Q u z u x Uilizando un análisis similar a la empleada para la ley de Faraday : dl PQR. = ( x y ) dx. el flujo de la densidad de corriene vale J ds. = J cos θ dx. = J dx. l flujo del campo elécrico vale : ds. =.dx., y su derivada vale: PQR d. ds = dx. PQR Reemplazando en la ley de Ampére-Maxwell las expresiones aneriores, y cancelando el facor común dx., resula : x y = µ J + ε µ, colocando el recángulo en los planos yz e zx : 6

7 7 J z y + = µ ε µ J x z + = µ ε µ que se puede expresar como Ro. = µ ( J + ε ) Relación enre la corriene elécrica en un puno del espacio y los campos elécricos y magnéicos en ese mismo puno. n el vacío donde no hay corrienes ( J = ), enonces : Ro. = µ ε Relación enre el campo magnéico y la derivada del campo elécrico respeco del iempo en el mismo puno.