OPCIÓN A MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B

Transcripción

1 MTEMÁTICS º BCHILLERTO B OPCIÓN Dadas las funciones f( x) = x x+, gx ( ) = x+ 1 a) Esboza sus gráficas y calcula su puno de core b) Señala el recino limiado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas y calcula el área de dicho recino a) Son dos parábolas cóncavas cuyos vérices son respecivamene (1,) y (,1), y sus gráficas son: Para calcular su puno de core igualamos ambas funciones. 1 x x+ = x + 1 x 4x+ 4= x= Luego es puno donde se coran ambas funciones es P(,) b) El recino cuya área hay que calcular es: Y su área corresponde al área comprendida enre las gráficas de ambas funciones y las abscisas x= y x=: 1 1 = ( f ( x) g( x) ) dx = x x + x + 1 dx = x x + dx = x 4 = x + x u 6 =

2 .- Sean las marices: = m ; B= ; C = 4 1 m 1 1 a) Calcular los valores de m para los que iene inversa b) Para m =, resolver la ecuación maricial: X B = C a) La mariz no endrá inversa cuando su deerminane sea : 1 1 = m = m + m m + m = m= m= 4 4, m Luego endrá inversa para cualquier valor de m disino de 1 y. b) Despejamos en la ecuación maricial. X B = C X = C + B X = C + B X = C + B Calculamos la inversa de : ( dj ) 1 ( ) = Para m =, el deerminane de es - ( ) ( ) Su mariz adjuna es (hacerlo como ejercicio): 1 dj( ) = Y por ano su inversa es: = Por ora pare, C+ B = + = 1 Luego la mariz que buscamos será: X = ( C+ B ) = 4 4 1= 1

3 ( m+ ) x y z = 1.- Dado el sisema: x y+ z = 1 x + my z = m a) Discúelo según los valores de m b) Resuélvelo para m = 1 c) Resuélvelo para m = a) Para discuir el sisema, calculamos el deerminane de las mariz de los coeficienes: m ( ) 1 = = m+ + m + mm+ = m + 1 m 1 Si lo igualamos a cero obenemos los valores de m para discuir el sisema: m + 1= m=± 1 Tenemos por ano res casos: i) Si m 1 y m 1 Rg( ) = Como la mariz ampliada coniene a, su rango ambién será, y por ano, por el Teorema de Rouché: Rg( ) = Rg( ') = = nº incógnias Sisema Compaible Deer min ado ii) Si m = = Buscamos un menor de orden disino de cero: 1 = 4 Rg( ) = 1 1 La mariz ampliada es: ' = Como la ª y ª fila son proporcionales, odos los menores de orden de esa mariz son, y por ano su rango es. Luego, por el Teorema de Rouché: Rg( ) = Rg( ') = < nº incógnias Sisema Compaible Indeer min ado iii) Si m = = Buscamos un menor de orden disino de cero: 1 1 = Rg( ) = 1 1

4 La mariz ampliada es: ' = Buscamos un menor de orden disino de cero: = 4 Rg( ') = Luego, por el Teorema de Rouché: Rg( ) = Rg( ') = Sisema Incompaible b) Si m = 1, es un sisema Compaible Indeerminado (viso anes), y lo resolvemos por Gauss: Y el sisema asociado será: x = λ x+ y z = 1 x+ y z = 1 y = λ 4y+ z = y+ z = 1 z = 1+ λ c) Si m =, el sisema es Compaible Deerminado, y lo podemos resolver por Cramer: 1 1 Como = = x = = = ; y = = 1 ; z = = Luego la solución es (,1,) 4.- Sean los punos (1,1,1), B(-1,,), C(,1,) y D(,-,) a) Calcular razonadamene el valor de para que los cuaro punos esén en el mismo plano b) Halla razonadamene la ecuación general del plano π perpendicular al segmeno deerminado por y B que conenga al puno C c) Calcula la disancia del origen de coordenadas al plano π a) Calculamos el plano que coniene a los punos, B y C y luego susiuimos las coordenadas del puno D para que esé en dicho plano:

5 B,,, C,, ( 1 1) ( 11) x 1 y 1 z 1 Con esos vecores y el puno la ecuación del plano será: 1 1 = x+ y z 1= 1 1 Si susiuimos las coordenadas de D podemos despejar : 1= = 5 b) Si el segmeno B es perpendicular al plano que queremos calcular, el vecor B ( 1,, 1) servirá como vecor normal de dicho plano, luego su ecuación general será del ipo. π x+ y z+ D= Para que conenga al puno C: D= D= 5 Luego el plano pedido será: π x+ y z+ 5= c) La disancia del origen de coordenadas (,,) a ese plano se puede calcular mediane la fórmula: x + By + Cz + D dp (, π) = do (, π) = = u + B + C 6 6 (También se puede hacer calculando la reca perpendicular al plano que pase por O, el puno de core de dicha reca con el plano y la disancia enre ambos punos) 5.- Dadas las recas r x= y = z ; x+ y = s y+ z+ 1= a) Esudiar su posición relaiva b) Calcular razonadamene un puno de r y un puno B de s de forma que la disancia enre y B sea mínima y hallar dicha disancia a) Pasamos ambas recas a ecuaciones paraméricas: x = µ x = λ r y = µ ; s y = λ z = µ z = 1 λ Sus vecores direcores son, respecivamene, u ( 111,,),v( 11,, ) Como no son paralelos, las recas o son secanes o se cruzan. l igualar ambas ecuaciones y resolver el sisema, no se obienen valores para μ y, por lo que las recas no ienen punos en común y por ano se cruzan. b) Los punos de ambas recas que esán a mínima disancia son jusamene aquellos desde donde se mide la disancia enre ambas recas, es decir, aquellos donde cora a ambas recas

6 una reca perpendicular a las dos y que las core. El proceso para calcular dichos punos es por ano el mismo que para calcular la disancia enre dos recas que se cruzan: Si ( µµµ,, ), B( λλ,, 1 λ) que los una será: B ( λ µ, λ µ, 1 λ µ ) dos punos genéricos de cada una de las recas, un vecor Y para que sea perpendicular a ambas recas: B u = ( λ µ, λ µ, 1 λ µ ) ( 1,1,1) = λ µ 1 = B v = ( λ µ, λ µ, 1 λ µ ) ( 1,1, ) = 6λ + µ + = 1 Y resolviendo el sisema se obiene λ =, µ = 7 7 Y los punos pedidos son 1 1 1,,, B,, Para calcular la disancia enre ellos usamos el módulo del vecor que los une: 1 14 d(,b ) B = =,, = u OPCIÓN B 1.- Dada la función f : definida por f( x) = x x a) Esboza su gráfica b) Calcula el área del recino limiado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la reca x= a) La función es: < f( x) = x x = + x x x x x x y su gráfica será: b) El recino será

7 Y el área: x x ( ) ( ) = f ( x )dx = x x dx + x + x dx = x + x + = = u + + = a b.- De la mariz = se sabe que de() = 4 c d a) Calcula, indicando las propiedades que uilices, b a de( ) y de d c b) Calcula c) d) Si B es una mariz cuadrada al que B = I, halla de(b) a) l muliplicar la mariz por -, su deerminane queda muliplicado por ( ), y como =, se deduce que de ( ) = 9 4 = 6 En el segundo deerminane, se ha muliplicado una fila por (el deerminane queda muliplicado ambién por ), ora por - (lo mismo) y se ha cambiado el orden de las columnas, lo que cambia su signo. Por ano: b a de = ( ) ( 1) 4 = 4 d c b) Como el deerminane de produco de dos marices es igual al produco de sus deerminanes, y c) Como =, se deduce que ( ) 1 1 de = 4 = B I B I B B B B B = = = 1 = 1 = 1 = 1.- Considera el sisema x y+ z = 5 x y+ z = 4 a) Calcula razonadamene un valor de α para el sisema resulane al ñadirle a la ecuación x+ y+ α z = 9 sea compaible indeerminado y resuélvelo en ese caso. b) Razona si exise algún valor de α para el cual es sisema resulane no iene solución x y+ z = 5 a) El sisema será: x y+ z = 4 x+ y+ α z = 9

8 Calculamos el deerminane de la mariz de los coeficienes para esudiar su rango: 1 = 1 = 5a = a = 1 1 a = Como la mariz ampliada coniene a, su rango ambién será, y por ano, por el Teorema de Rouché: Rg( ) = Rg( ') = = nº incógnias Sisema Compaible Deer min ado Luego si a Rg ( ) Si a = : 1 = 1 Buscamos un menor de orden disino de cero: 1 1 = 5 Rg( ) = 1 5 La mariz ampliada es: ' = Como la ª fila es la suma de las oras dos, odos sus menores de orden son, por lo que su rango es. Luego, por el Teorema de Rouché: Rg( ) = Rg( ') = < nº incógnias Sisema Compaible Indeer min ado Resolviendo en ese caso por Gauss: Luego el sisema asociado será: x = 9 λ x+ y = 9 y = λ 5y+ z = z = + 5λ b) Como hemos viso, no hay ningún valor de a para el que el sisema sea incompaible, por lo que no hay ningún valor de a para el que el sisema no enga solución

9 4. Considera los planos de ecuaciones: π x + y = 1 ; π ax + z = ; π x + (1 + a) y + az = a a) Cuáno debe valer a para que no engan ningún puno en común? Razona la respuesa b) Para a =, deermina la posición relaiva de los planos a) Se raa de discuir el sisema formado por los res planos. El deerminane de la mariz ampliada es: 1 1 = a = a a= a =,a= 1 1+ a 1 1 Luego si a, Rg ( ) a 1 = Como la mariz ampliada coniene a, su rango ambién será, y por ano, por el Teorema de Rouché: Rg( ) = Rg( ') = = nº incógnias Sisema Compaible Deer min ado Los planos endrán enonces un puno en común Si a = 1, 1 1 = 1 1 Buscamos un menor de orden disino de cero: = 1 Rg( ) = 1 La mariz ampliada será: ' = Buscamos un menor de orden que no de : 1 1 ( ) 1 1 = Rg ' = 1 1 Luego, por el Teorema de Rouché: Rg( ) = Rg( ') = Sisema Incompaible Y por ano, para ese valor de a los res planos no se coran en ningún puno. b) Para a =, los planos serían: π1 x+ y = 1 π z = π x+ y = 1 Claramene hay dos planos coincidenes y oro (el º) que los cora en una reca.

10 5. Halla razonadamene el puno simérico del puno P(,-4,5) respeco a la reca x y = r x+ z+ 1= x = 1 λ Pasamos la reca a paraméricas: r y = λ z = λ Usamos su vecor direcor como vecor normal del plano perpendicular a r que pasa por P: π x y+ z+ D= P(, 4, 5 ) D= D= 11 π x y+ z 11 = Calculamos el puno de core de r y π (susiuyendo las paraméricas en el plano): 1 λ λ + λ 11 = 14λ = λ = ( ) ( ) Luego el puno de core es Q(-1,-,) Calculamos ahora el simérico P (x,y,z) usando que Q es el puno medio de P y P : + x 1= x = 5 y 4 = y = z + 5 = z = 5 Luego el simérico pedido es P (-5,-,-5)