TEMA 1: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS.

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1 TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS. RELACIÓN DE PROBLEMAS. Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sisema de dos ecuaciones con res incógnias que sea: a) Compaible deerminado b) Compaible indeerminado c) Incompaible Jusifica en cada caso us respuesas.. a) Resuelve el sisema de ecuaciones: b) Añade una ecuación al sisema anerior de modo que el sisema resulane sea: I) Compaible deerminado II) Compaible indeerminado III) Incompaible. a) Eplica si el siguiene sisema de ecuaciones es compaible o incompaible: 6 b) Podríamos conseguir que fuera compaible deerminado, suprimiendo una de las ecuaciones? Raónalo.. Dado el sisema de ecuaciones: Si es posible, añade una ecuación de modo que el nuevo sisema resulane sea: a) Incompaible b) Compaible indeerminado Jusifica us respuesas.

2 . a) Raona si los siguienes sisemas son equivalenes o no: II: 0 7 I : b) Añade una ecuación al sisema I, de modo que el nuevo sisema resulane sea incompaible. Jusifica u respuesa. 6. Resuelve los siguienes sisemas de ecuaciones uiliando el méodo de Gauss: j) i) 8 7 h) 0 6 g) 6 9 f) 0 6 e) 0 d) 6 c) 9 b) 7 a)

3 7. Discue, resuelve cuando sea posible, el sisema: 8 m 6 8. Dado el siguiene sisema de ecuaciones, discúelo resuélvelo para los valores de m que lo hacen compaible: 7 0 m 9. Discue el siguiene sisema en función del parámero a, resuélvelo cuando sea posible: ( a ) Discue en función del parámero, resuelve cuando sea posible: a 6. Por un roulador, un cuaderno una carpea se pagan,6 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la miad del precio del roulador que, el precio de la carpea es igual al precio del cuaderno más el 0% del precio del roulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 0% de descueno.. Disponemos de res lingoes de disinas aleaciones de res meales A, B C. El primer lingoe coniene 0 g del meal A, 0 g del B 60 del C. El segundo coniene 0 g de A, 0 g de B 0 g de C. El ercero coniene 0 g de A, 0 g de B 0 g de C. Queremos elaborar, a parir de esos lingoes, uno nuevo que conenga g de A, g de B 0 g de C. Cuános gramos ha que coger de cada uno de los res lingoes?. En una reunión ha personas, enre hombres, mujeres niños. El doble del número de mujeres más el riple del número de niños, es igual al doble del número de

4 hombres. a) Con esos daos, se puede saber el número de hombres que ha? b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, cuános hombres, mujeres niños ha?. En una residencia de esudianes se compran semanalmene 0 helados de disinos sabores: vainilla, chocolae naa. El presupueso desinado para esa compra es de 0 euros el precio de cada helado es de euros el de vainilla, euros el de chocolae 6 euros el de naa. Conocidos los gusos de los esudiane, se sabe que enre helados de chocolae de naa se han de comprar el 0% más que de vainilla. a) Planea un sisema de ecuaciones lineales para calcular cuános helados de cada sabor se compran a la semana. b) Resuelve, mediane el méodo de Gauss, el sisema planeado en el aparado anerior.. Una compañía fabricó res ipos de muebles: sillas, mecedoras sofás. Para la fabricación de cada uno de esos ipos necesió la uiliación de cieras unidades de madera, plásico aluminio al como se indica en la abla siguiene. La compañía enía en eisencia 00 unidades de madera, 600 unidades de plásico 00 unidades de aluminio. Si la compañía uilió odas sus eisencias, cuánas sillas, mecedoras sofás fabricó? 6. Tres amigos acuerdan jugar res paridas de dados de forma que cuando uno pierda enregará a cada uno de los oros dos una canidad igual a la que cada uno posea en ese momeno. Cada uno perdió una parida, al final cada uno enía. Cuáno enía cada jugador al comenar? 7. Una persona ha obenido de beneficio por inverir un oal de en res empresas: A, B C. La suma del dinero inverido en A B fue m veces el inverido en C, los beneficios fueron el % en A, el 0% en B el 0% en C. a) Planea un sisema de ecuaciones para averiguar la canidad inverida en cada empresa. b) Prueba que si m > 0, el sisema es compaible deerminado. c) Halla la solución para m. 8. Una cuadrilla de cinco jardineros debía podar una planación rabajando de lunes a viernes. Cada día, cuaro podaban el oro les audaba. Cada jardinero podó el mismo número de árboles cada día. Los resulados de la poda fueron: lunes, árboles podados; mares, 6; miércoles, 8; jueves, 9, el viernes no sabemos si fueron 6 ó 8. Calcula cuános árboles diarios podó cada uno, sabiendo que fueron números eneros que ninguno podó los cinco días.

5 SOLUCIONES:. a) Si el sisema iene menos ecuaciones que incógnias, no puede ser compaible deerminado; con solo dos daos (ecuaciones) no podemos averiguar res incógnias. b) Por ejemplo: iene infinias soluciones, que serían de la forma: λ, λ, λ, con λ R c) Tendrían que ser dos ecuaciones conradicorias. Por ejemplo: es incompaible; no se pueden dar las dos ecuaciones a la ve.. a) Sumando: a Susiuendo en la ecuación: La solución del sisema es,. b) I) Si añadimos una ecuación que sea combinación lineal de las dos que enemos, el nuevo sisema seguirá siendo compaible deerminado. La nueva reca pasaría ambién por (, ). La solución del sisema seguirá siendo la misma. Por ejemplo, si sumamos las dos ecuaciones que enemos, obenemos. Añadiendo esa ecuación, seguirá siendo compaible deerminado ( con la misma solución). II) Es imposible, pues las dos recas que enemos solo ienen en común el puno (, ). Añadiendo ora ecuación no podemos conseguir que esas dos recas se coren en más punos. III) Para que fuera incompaible, endríamos que añadir una ecuación que conradijera las dos que enemos; es decir, de la forma: ( ) b( ) k, con k a b a Por ejemplo, con a, b : Añadiendo esa ecuación, obendríamos un sisema incompaible.. a) Observamos que la ercera ecuación es suma de las dos primeras, salvo en el érmino independiene que, en lugar de un 9, es un. Por ano, la ercera ecuación conradice las dos primeras. El sisema es incompaible.

6 b) No. Si suprimimos una de las ecuaciones, obendremos un sisema con res incógnias solo dos ecuaciones. Ese nuevo sisema podría ser compaible indeerminado (en ese caso lo sería), pero no compaible deerminado.. a) Una ecuación que haga el sisema incompaible ha de ser de la forma: ( ) b( ) k, con k b a Si omamos, por ejemplo, a, b, enemos: Añadiendo esa ecuación, el sisema es incompaible. b) Para que sea compaible indeerminado, la ecuación que añadamos será de la forma: ( ) b( ) b (una combinación lineal de las dos que enemos) a Si omamos, por ejemplo, a, b, quedará: 8 Añadiendo esa ecuación, el sisema es compaible indeerminado.. a) El segundo sisema es compaible deerminado. Tiene como única solución (,, ), que ambién es solución del sisema I. Sin embargo, el sisema I iene, además de (,, ), infinias soluciones más, es compaible indeerminado. Por ano, los dos sisemas no son equivalenes. b) Para que sea incompaible, debemos añadir una ecuación de la forma: ( ) b( ) k, con k a a 7 Por ejemplo, si omamos a, b : 6 Añadiendo esa ecuación, el nuevo sisema es incompaible. 6. a) 0, -, b) 0, -λ, λ c),, - d), λ, -, λ e) -,, f) λ, λ, λ g),, 0 h) Sisema incompaible. i) -,, j) Sisema incompaible. 7. Para cada valor de m, enemos un sisema diferene (ha infinios sisemas). Cada uno de ellos iene como solución única (,, 0).

7 8. Para cada valor de m 9, endríamos un sisema de ecuaciones diferene (ha infinios sisemas). Cada uno de ellos iene como solución única (,, 0) Si a 6 0, es decir, si a, o Pasamos la al el sisema queda: miembro: 7 7 Sería compaible indeerminado, con soluciones: λ, 7 λ, λ, con λ R 6 Si a, sería compaible deerminado. Su única solución sería ( 0, 0, 0). 0. Si ª 0, es decir, si a, la ª ecuación quedará 0, que es imposible. Por ano, sería incompaible. Si a, el sisema sería compaible deerminado. Lo resolvemos: 8 ( ) a 8a 8a ( a ) a a a Para cada valor de a, enemos un sisema diferene (ha infinios sisemas). Cada uno de ellos iene como solución única:, 8a,. El roulador marcaba,80 euros, el cuaderno, 0,90 euros, la carpea,,6 euros.. Habrá que coger g del primer lingoe, 0 g del segundo g del ercero.. Ha hombres, 6 mujeres niños.

8 . Se compran 0 helados de vainilla, 0 de chocolae 0 de naa.. Se fabricaron 00 sillas, 00 mecedoras 00 sofás. 6. El jugador que perdió primero enía 9 euros, el que perdió en segundo lugar enía el que perdió en ercer lugar enía. 7. Para m, las canidades inveridas respecivamene en A, B C fueron 0000, euros. 8. El jardinero que descansa el lunes poda árboles; el que descansa el mares, 0; el que descansa el miércoles, 8; el que descansa el jueves, 7, el que descansa el viernes, 0.