Unidad 5 Geometría afín en el espacio

Transcripción

1 Unidad 5 Geomería afín en el espacio 5

2 SOLUCIONES. a) Los componenes de los vecores pedidos son: b) Eisen infinias parejas de punos C D que cumplan la condición pedida. Por ejemplo, C(,,) D (,,). c) Sea F( a, b, c), debe cumplirse: ( a, b 6, c 9) (,,). Luego a 4, b c 6. d) Sea G ( a, b, c ), debe cumplirse: ( a, b,9 c ) (,,). Por ano, a 4, b 5, c 6.. a) El vecor suma u v u v (,,4 ). Un represenane de u, v u v puede verse en el dibujo.. Resolvemos el sisema vecorial u v (5,,5) u v (,,) Muliplicando la segunda ecuación por sumando a la primera se obiene v (,, ). Con ese vecor susiuido en la segunda ecuación se obiene u (,, ). Por ano, los vecores buscados son u (,, ) v (,, ). 6

3 4. Los vecores u, v w forman una base, a que el rango de la mari formada por sus filas es res, al ser: Las coordenadas del vecor (,, ) respeco de la base anerior son los escalares a, b c, que cumplen: Operando resolviendo el sisema resulane se obiene: Análogamene, el vecor (,, ) iene las siguienes coordenadas respeco de la base anerior: 5. El deerminane vale. Si la epresión anerior es nula, los res vecores no forman base de Por ano,, es decir, para. R. 6. Las disinas epresiones de la reca buscadas son: En la ecuación paramérica pueden obenerse los punos dando valores a. Así,

4 8. La reca viene deerminada por el puno ) (,, P el vecor ).,, v PQ ( Las ecuaciones de la ciada reca son: 8. La reca deerminada por los punos A B iene por ecuación: Al susiuir las coordenadas del puno C en la reca anerior, se iene: Por ano los punos no esán alineados. 9. a) Ecuación paramérica 4 R Ecuación como inersección de dos planos: 4 b) Ecuación paramérica 5 Ecuación coninua: 5 c) Ecuación coninua: Ecuación como inersección de dos planos:

5 . Dos recas paralelas ienen vecores direcores iguales o proporcionales. La reca pedida iene por ecuación. La solución es:. Pueden ser: s, con s R s. La ecuación es: 9

6 PÁGINA

7 SOLUCIONES 4. El plano iene por ecuación a) El plano iene por ecuación b) Las recas dadas se coran en el puno ).,, ( el plano pedido iene por ecuación c) Todos los planos paralelos al dado ienen por ecuación D,obligando a que pase por el puno (,, ) hallamos que D el plano buscado iene por ecuación 6. Esas recas son paralelas pues iene vecores direcores iguales o proporcionales. Para hallar la ecuación del plano que las coniene omamos uno de los vecores un puno de cada una de ellas, con lo que enemos oro vecor un puno. El plano iene por ecuación: La reca paralela a esos planos esará en la inersección de dos planos paralelos a esos de la forma K D hallamos las consanes D K obligando a que pasen por el puno ),, ( obenemos la reca de ecuaciones: 6 8. a) Los planos se coran dando una reca de ecuaciones 5 b) Los planos se coran dando una reca de ecuaciones 4 c) Los planos se coran en el puno ),, (

8 a) El plano la reca se coran en el puno (,, ) 5 8 b) el plano la reca se coran en el puno (,, ) Las recas se cruan. El plano pedido iene por ecuación: 4 5. Esudiamos la posición relaiva de esas recas esudiando el deerminane formado por el vecor direcor de una de las recas, el vecor direcor de la ora el vecor de un puno de una de las recas a un puno de la ora, de ese modo: b b Si b las recas son coplanarias, en ese caso se coran. Si b las recas no son coplanarias, es decir se cruan en el espacio.. Discuimos el sisema formado por la ecuación del plano las ecuaciones de la reca obenemos: Si m el sisema es compaible deerminado por lo que la reca el plano se coran en un puno. Si m el sisema es compaible indeerminado por lo que la reca esá conenida en el plano.

9 PÁGINA 8

10 SOLUCIONES. Sean los valores de a que hagan el deerminane a disino de cero. a El deerminane anerior vale a a ( a ), es disino de cero para cualquier valor diferene de uno La ecuación de la reca s es: 5 La inersección de s con el plano π es el puno 5, 8 9, La inersección de s con el plano π es el puno,, El vecor direcor de la reca pedida será proporcional al vecor direcor de la reca deerminada por los dos planos, v (,, ). La ecuación de la reca pedida es: 6. La reca viene deerminada por el puno (4, 5, 6) el vecor v (,, ), su ecuacion es:

11 . La solución es: 8. a) La reca r cora al plano π si m b) La reca el plano son paralelos si c) La reca esá conenida en el plano si m m 9. El ha de planos de arisa r iene por ecuación: ( 5 5) λ ( ) 9 n. n. Si el ha incide con el puno (,, ), se cumple: 5 λ ( ) λ / Para ese valor λ /, el plano buscado es: 4. Las recas se cruan en el espacio al ser cuaro el rango de la siguiene mari

12 . La solución queda: Si m 4, las recas se coran en un puno, /, -/. Si m 4 las recas se cruan en el espacio.. La solución es: a) Si m, se coran en un puno. Si m, se coran dos a dos. b) Si m m, se coran en un puno. Si m, dos planos son paralelos el oro cora a los aneriores. Si m, los planos se coran en una reca. c) Si m, se coran en un puno. Si m, se coran en una reca. d) Si m, se coran en un puno. Si m, se coran dos a dos.. El puno A, puno de core del plano la reca del enunciado, iene por coordenadas: A (,, ) La ecuación de la reca que pasa por los punos A B es: 4. Queda: con R 6 Enendemos por recas coplanarias aquellas que esán en un plano, es decir, aquellas recas pueden generar un único plano. De las cuaro posiciones relaivas de dos recas en el espacio, las que no son coplanarias son las recas que se cruan. Dos recas que se cruan son: 6

13 5. Sean P,, ), P (, ), P (,, ) P, ), cuaro punos cualesquiera del ( 4( 4 4, 4 espacio. Los punos medios de los lados del cuadriláero formado por P, P, P, P4 ienen por coordenadas. Los vérices M, M, M M4 forman un paralelogramo a que los vecores son iguales; de igual forma que Los vecores aneriores ienen por coordenadas: