UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUETBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE)

Transcripción

1 UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COUNIDAD DE ADRID PRUETBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 8-9 (Sepiebre) ATERIA: ATEÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El aluno conesará a los cuaro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá conesar a unos ejercicios de una opción y a oros ejercicios de la ora opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se perie el uso de calculadoras gráficas. Calificación oal áia: punos. Tiepo: Hora y edia. OPCIÓN A Ejercicio. Calificación áia: punos. Dada la ariz: se pide: a) (,5 punos). Deerinar los valores del paráero para los cuales la ariz es inverible. b) (,5 punos). Deerinar los valores del paráero para los cuales la ariz 5 es inverible. c) (,5 punos). Para calcular, si es posible, la ariz inversa de. a. La condición necesaria y suficiene para que una ariz cuadrada enga inversa es que su deerinane sea disino de cero. de : : : :,, b. 5 es ora ariz, y por ano la condición para que enga inversa sigue siendo la isa, que su deerinane sea disino de cero. 5 Teniendo en cuena la propiedad de los deerinanes: n n A A Teniendo en cuena los resulados del aparado a,,, 5 ( 5 ). c. : [ ] adj : adj

2 [ adj ] [ adj ] Ejercicio. Calificación áia: punos. Dada la función: Ln( a) b Si a > y f Si se pide: a) (,5 punos). Hallar los valores de los paráeros a, b para los cuales la función f es coninua en. b) (,5 punos). Para a b, esudiar si la función f es derivable en aplicando la definición de derivada. a. Para que una función f() sea coninua en un puno, se debe cuplir: Lí f f Por definición de la función f. Para calcular el líie de la función cuando iende a cero, se debe oar la epresión que iene la función en las proiidades de cero, no en el puno cero. Ln ( a) b Ln Lí f Lí? Para resolver el líie, y eniendo en cuena que las epresiones que foran la función son derivables en el enorno de cero, se aplica el eorea de L Hopial. a a b ab b Ln( a) b a a a b ab Lí Lí Lí Lí ( a) La solución del líie depende de los valores que oen a y b, se presenan dos casos diferenes: a b ab a b ab a b * - Si a b: Lí ± f Disconinua a a a b ab a a aa a a - Si a b: Lí Lí Lí Lí que la función sea coninua: a f : a : a b ± * El signo de depende el signo de la diferencia a b. a ( a) ( a) ( a) ( a) ( a ) a. Para b. f ( ) Ln Si > y Si f Por definición: ( h) f f Lí h h Dada la fora que iene la función, el líie se hace ás fácilene con el siguiene cabio de variable:

3 Ordenando la epresión: f h : h : f Ln Lí ( ) ( ) f Lí f Lí Lí L H 6 Lí 6 6 La función es derivable en y su derivada f Ln ( ) { Ordenando} Lí 6 ( ) Ejercicio. Calificación áia: punos. Dadas las recas: y z y z r ; s a b deerinar los valores de los paráeros a, b para los cuales las recas se coran perpendicularene. Puno A (,, ) Puno B (,, ) r : r : s : r Vecor dr (,, a) Vecor ds ( b,, ) Para resolver el problea se necesian dos ecuaciones, anas coo paráeros debeos calcular. ª Condición: Para que dos recas se coren, deben ser coplanarias. Si dos recas son coplanarias, el rango de la ariz forada por los vecores de dirección de las recas y un vecor forado enre un puno de cada reca debe ser. Para que el rango de una ariz de orden sea dos, su deerinane debe ser cero. AB r rg dr rg a a r d s b b Siplificando: a b b a 6 ( 6b a) 6b a ª Condición: Para que dos recas sean perpendiculares, sus vecores de dirección deben ser perpendiculares. So dos vecores son perpendiculares, su produco escalar debe ser nulo. r r dr o ds,, a o b,, : b a : a b Las dos condiciones foran un sisea de ecuaciones que perie calcular a y b. a b a : a b b

4 Ejercicio. Calificación áia: punos. Dado el plano π y z hallar las ecuaciones de los planos paralelos a π que se encuenran a unidades de π. Coo puede observarse en la figura adjuna, se buscan dos planos (σ y σ ) paralelos a π y que disen de él unidades La disancia enre dos planos paralelos π A By Cz D viene dada por la epresión: π A By Cz D d ( π π ) D D A B C Noa: Observar coo para poder calcular la disancia enre dos planos paralelos, los vecores norales de abos planos deben ser idénicos, no vale si solo son proporcionales. Los planos buscados (σ i ) perenece al haz de planos paralelos a π y por ano deberá ener la fora: σ i y z K El paráero K se obiene con la condición de que el plano buscado esa a res unidades de π. K d i K π σ : : K 9 K ± 9 : ( ) : K : σ : K 8 : σ y z y z 8

5 OPCIÓN B Ejercicio l. Calificación áia: punos. a) ( puno). Dada la función: f hallar el puno o los punos de la gráfica de f() en los que la pendiene de la reca angene sea b) (,5 punos). Hallar la ecuación de la reca angene a la gráfica de f() en el puno. c) (,5 punos). Sea g una función derivable con derivada coninua en oda la reca real, y al que g(), g(). Deosrar que eise al enos un puno c en el inervalo (,) al que g (c). a. Definición de derivada en un puno: La derivada de una función en un puno es la pendiene de la reca angene a la función en ese puno. Se pide calcular los valores de que cuplan: f Despejando: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) : : : En ó ± la pendiene de la reca angene vale. b. Ecuación de la reca angene a f f en en fora puno-pendiene: y f f ( ) : f ( ) ( ) (aparado a) y : y c. La hipóesis propuesa (g (c) ) se puede deosrar ediane el eorea de valor edio (de Lagrange), abién llaado eorea de los increenos finios, ó ediane el eorea de Rolle. Teorea de Lagrange: dada cualquier función f coninua en el inervalo [a, b] y diferenciable en el inervalo abiero (a, b) enonces eise al enos algún puno c en el inervalo (a, b) al que la angene a la curva en c es paralela a la reca secane que une los punos (a, f(a)) y (b, f(b)), es decir, eise al enos un puno c que saisface la igualdad: f ( b) f ( a) f c b a Pueso que la función g es derivable con derivada coninua en oda la reca real, según afira el enunciado, se la puede aplicar el eorea de Lagrange en el inervalo [, ], por lo ano eisirá al enos un calor c (, ) al que: g g g g c g Por lo que queda deosrada la hipóesis propuesa. Teorea de Rolle: Si una función es definida y coninua [ a, b ], diferenciable en el inervalo abiero ( a, b ), y oa valores iguales en los ereos del inervalo ( f ( a ) f ( b )) enonces eise al enos algún puno c en el inervalo ( a, b ) al que la angene a la curva en c es horizonal, es decir f '( c) 5

6 Para deosrar la hipóesis propuesa (g (c) ), se define la función H() g() que es derivable con derivada coninua en oda la reca real, por ser resa de dos funciones que lo son (g(), ). H g : H H c (,) / H ( c) H g H ( g ) g : H ( c) g ( c) : g (c) Por lo que queda deosrada la hipóesis propuesa. Ejercicio. Calificación áia: punos. Dada la reca: y z r y el plano π y z, hallar la ecuación de la reca s siérica de la reca r respeco del plano π. Se busca una reca r que iene la isa proyección orogonal sobre π que la reca r, y abas esán conenidas en un plano perpendicular a π La reca r se obiene ediane dos punos. (inersección de r con π) y A (siérico de cualquier puno A de la reca r respeco de π). Cálculo de. Se obiene coo inersección de r y π. λ r y : λ Susiuyendo r en π : λ λ λ z λ π : y z Operando se despeja el valor de λ. λ λ Susiuyendo en las Paraéricas de r el valor de λ, se obienen las coordenadas de. λ : y (,,) z Cálculo de A. A es el siérico de cualquier puno A de r (ecepo ) respeco de π. Coo puno A se oa el puno con el que esá definida la ecuación coninua de r. A (,, ); π y z. Pasos: i) Se calcula la reca s, perpendicular a π que coniene a A. ii) Se calcula coo inersección de s y π. iii) Conocidos A y se calculan las coordenadas de A con las ecuaciones del puno edio de un segeno. r r λ s π d n i) π,, s : s s y λ A(,, ) r z λ λ s y ii) : λ Susiuyendo r en π : ( λ) ( λ) ( λ) z λ π : y z Operando se despeja el valor de λ. 6λ λ Susiuyendo en las paraéricas de s el valor de λ, se obienen las coordenadas de. 6

7 λ : y z..., iii) Teniendo en cuena que es el puno edio de A ' A, se calculan las coordenadas de A despejando de las coordenadas del puno edio. a a'. a'. a a a' a a' a a' a a',, : y. a' y. a a a' z a' z a.. A ',, Conocido (,,) y A ',, se calcula r, siérica de r respeco de π. r 5 d A',,,, paralelo ( 5,, ) r ': r' (,,) y z r' 5, Ejercicio. Calificación áia: punos. Dado el sisea: λ λ y y λy se pide: a) ( puno). Obener los valores del paráero λ para los cuales el sisea iene soluciones disinas de: y z b) ( puno). Resolver el sisea para 5. a. Sisea hoogéneo, la ariz de coeficienes y la apliada se diferencia en una coluna de ceros, por lo ano, ienen el iso rango y coo consecuencia el sisea es copaible para cualquier valor real del paráero λ. rg A z z z Si A : rg A rg A* n. Sis. Copaible deerinado rga* Sisea copaible : Si A : rg A rg A* λ A λ λ λ λ A : ( λ ) ( λ 5) ( y z ) Trivial n. Sis. Copaible indeerinado. Infinias soluciones ( λ λ ) λ 6λ 5 ( λ ) ( λ 5) λ : : λ 5 : λ λ 5 Para que la solución sea disina de la rivial ( y z ), λ ó λ 5 7

8 b. rango. 5 y z λ 5 : 5 y z A rg A < : 5 rg A rga* < n 5y z Sisea copaible indeerinado con dos ecuaciones linealene independienes, al y coo indica su 5 y z Sisea equivalene:. El sisea se resuelve oando una de las variables coo 5 y z consane y ransforándola en un paráero. Es aconsejable oar coo paráero la variable que no foro pare del enor de orden que define el rango del sisea ( λ). y z 5λ y z 5λ Por el éodo de Craer: 5λ 5λ 5λ λ 5λ 5λ λ 5λ y λ : z λ 5 5 Solución: ( λ, λ, λ) λ R Ejercicio. Calificación áia: punos. Dadas las arices: A, B obener una ariz cuadrada X de orden que verifique la ecuación aricial A X B A B Teniendo en cuena: i. Para obener una ecuación aricial equivalene, se deben uliplicar los dos iebros de la igualdad por la isa ariz y en el iso orden. ii. El produco de una ariz por su inversa es la ariz idenidad o unidad (I). iii. La ariz idenidad o unidad es el eleeno neuro de la uliplicación de arices. Se despeja la ariz X. A X B A B Se uliplica los dos iebros por la inversa de A por la izquierda y por la inversa de B por la derecha A A X B B A (A B) B Se opera: I X I A A B A B B : X I B A I : X B A Cálculo de las inversas: A [ adj( A )] A A 6 : adj A : [ adj( A) ] A B : B adj : [ adj( B) ] 8

9 9 B A B X