Materia: MATEMÁTICAS II PROPUESTA A. 3 2x + 1 dx (1,25 puntos por integral)

Transcripción

1 Pruebas de Acceso a nseñanas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O.. Materia: MATMÁTICA II Instrucciones: l aluno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladaente raonando las respuestas. Puedes utiliar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio copleto puntúa,5 puntos. PROPUTA A A. i la edia aritética de dos núeros reales positivos es 4, calcula el valor de dichos núeros para que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea áio. (,5 puntos) A. Calcula las siguientes integrales: ( ) ln + ln d, + d (,5 puntos por integral) A. a) Discute el siguiente sistea de ecuaciones lineales en función del paráetro R = = + = + 4 = (,5 puntos) b) Calcula la solución cuando el sistea sea copatible deterinado. ( punto) 4A. Dado el plano π = las rectas = + λ r = λ R s = λ { + = 4 + = a) Halla el ángulo que foran π r. Raona cuántos planos ha perpendiculares a π que contengan la recta r. (,5 puntos) b) Halla la posición relativa de π s. Raona cuántos planos ha perpendiculares a π que contengan la recta s. (,5 puntos) (sigue a la vuelta)

2 A.- olución: Llaeos, a los núeros buscados:, 4 P 48 P (48 ) 9 ' 9 ( ) ' () 9 Máio (,84) Luego, A.- olución L ( L) d n la priera L t L d d Ld L ( ) Ld L ( ) L dt, La segunda " por partes" u L dv d K du v d d ( ) d Porque es inediata de la fora h ( ( f ( )) n ) d f ' ( ) d ( ) n ( f ( )) h n K ( h K con n ) K

3 A.- olución l rango dela atri de coeficienteses porque l rango de la apliada será 4 cuando su deterinate sea distintode cuando sea luego si 4 sistea incopatible si - (4-9 ) tiene colunas ( 57) ( el sistea es copatible deterinado Cuando = el sistea de 4 ecuaciones es equivalente al de tres ecuaciones siguiente: ) 4 5 A4.- olución a) Un vector perpendicular a es (,,-) un vector director de r es (,,-) coo indican sus respectivas ecuaciones, luego el plano la recta son perpendiculares, su ángulo 9 o La recta r se puede escribir coo intersección de dos planos, = con +=. l ha de planos de ecuación =+ (+=) que tabién podeos escribir ++ = es el conjunto de planos que pasan por la recta r todos ellos son perpendiculares a porque sus vectores característicos (,,-) (,, ) son perpendiculares, su producto escalar es. b) Para saber la posición relativa de s resolveos el sistea forado por sus ecuaciones 4 ( ) Luego se cortan en el punto (,,).

4 Unas ecuaciones paraetricas de s son: 4 Con lo que teneos que (-,,-) es un vector director de s. i efectuaos el producto vectorial de este vector por el (,,-) que es perpendicular a p obteneos un vector perpendicular a abos (-,,-)(,,-)=(-,-,-). Con este vector el punto de intersección de p s el (,,) obteos el plano -(-)-(-)-(-)= es decir ++=5 que es perpendicular a a s es el único porque el producto vectorial anterior da un resultado único. Podíaos haber utiliado el ha de planos con arista en s deterinar cuales de ellos eran perpendiculares a pero daría el iso resultado. Del ha (,, ( ) (,, ) perpendicular al - ) (. Luego los vectores asociados deben ser perpendiculares ) ( ) 5 buscaos el plano que sea 5 es el único perpendicular.

5 Pruebas de Acceso a nseñanas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O.. Materia: MATMÁTICA II PROPUTA B B. a) nuncia el Teorea del valor edio de Lagrange. (,5 puntos) b) Calcula un punto del intervalo [, ] en el que la recta tangente a la gráfica de la función f() = + + sea paralela a la recta que pasa por los puntos (, ) (, ). (,5 puntos) B. l área del recinto encerrado entre la gráfica de la parábola f() = a( ), a R, a >, el eje de abscisas, es de unidades de superficie. Calcula el valor de a. (,5 puntos) B. Évariste Galois, iels Abel rinivasa Raanujan fueron tres genios ateáticos que antes de sus preaturas uertes dejaron desarrollada una iportante obra ateática. Calcula las edades que tenían cuando fallecieron, sabiendo que su sua es 78, que su edia aritética coincide con la edad de Abel, que cuatro veces la edad de Raanujan ás dos veces la de Abel es nueve veces la edad de Galois. (,5 puntos por plantear un sistea de ecuaciones lineales con los datos del problea,5 puntos por calcular las edades) 4B. a) Deterina el valor del paráetro k R para que la recta = + λ r = k λ λ R = λ esté contenida en el plano π + + = 7. (,5 puntos) b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, obtén la ecuación iplícita de un plano π que corte perpendicularente a π, de odo que la intersección de abos planos sea r. (,5 puntos)

6 B.- olución a) Teorea del valor edio de Lagrange i f() es continua en [a, b] derivable en (a, b), entonces eiste, al enos, un punto c (a, b) tal que: (f(b)-f(a))/(b-a)=f (c) Geoétricaente, coo f (c) es la pendiente de la recta tangente en el punto c es la pendiente de la cuerda que une los puntos [a, f(a)] [b, f(b)], el teorea dice que dichas rectas tienen la isa pendiente; luego si una función es continua en [a, b] tiene tangente en todos los puntos de (a, b), es decir, es derivable en (a, b), entonces eiste, al enos, un punto de (a, b) en el cual la recta tangente es paralela a la cuerda liitada por los puntos (a,f(a)), (b,f(b)). La función dada es continua derivable en todo R por tanto se puede aplicar el teorea f ( ) f ( ) f () ( ) f ' ( ) f ' ( ) Luego c= B.- olución Para cualquier a> se trata de una parábola de eje vertical con el vértice en el punto ás bajo, los puntos de corte con el eje X son: a ( ) a( ) abeos que 8 4 a( ) d a ( ) d a[ ] a( 4) a a 9

7 B.- olución Llaareos al núero de años de Évaristo, al nº de años de iels al nº de años de rinivasa B4.- olución a)de las ecuaciones de la recta del plano obteneos que el vector (,,) es perpendicular al plano (,-,) es director de la recta. Coo su producto escalr es sabeos que la recta el plano son paralelos, lo que necesitaos para que la recta esté contenida en el plano es que el punto (,k,) de la recta esté en el plano, o sea que +k+=7, luego k=. b)l vector producto vectorial de los vectores (,,)(,-,)=(,,-) es perpendicular al plano buscado el punto (,,) de la recta debe pertenecer a él luego (-)+(-)-(-)= es el plano buscado, siplificando: -=