Los koalindres colgantes

Transcripción

1 CASO 1:_DOS MASAS (UNA POLEA) Antes de estudiar el caso de infinitos koalindres colgando de infinitas poleas, planteaos el caso de dos koalindres colgando de una sola polea Dado que no hay rozaiento, la tensión en cada cable es constante, luego los dos koalindres están soetidos a una fuerza T idéntica hacia arriba Planteando la segunda Ley de Newton a cada koalindre: 2ª Ley de Newton 1 a = T g 2 a = T g Igualdad de aceleraciones Coo el cable es inextensible, la aceleración de un koalindre será de la isa agnitud y sentido contrario que la del otro, es decir, lo que uno acelere hacia arriba lo hará el otro hacia abajo 3 a = a 1

2 Resolución del sistea Teneos por 3 ecuaciones con 3 incógnitas Despejaos a 1 del sistea de ecuaciones: a = g Considerando que todos los koalindres son iguales, en este caso concreto: a = 0g Lo cual es lógico, porque abos pesan lo iso y están en equilibrio 2

3 CASO 2: TRES MASAS (DOS POLEAS) Planteaos ahora el iso problea con tres koalindres colgando de dos poleas Aplicareos el iso procediiento de antes, pero para siplificar tendreos en cuenta desde el principio que la asa de todos los kolindres es la isa: 2ª Ley de Newton 1 a = T g 2 a = T g 3 a = T g Igualdad de aceleraciones A la hora de igualar aceleraciones en este caso hay que tener especial cuidado No sólo debeos considerar que cada koalindre se ve soetido a una aceleración, sino que adeás la segunda polea tabién se verá acelerada, así que añadios la incógnita a polea 2 La relación entre a 1 y a polea 2 es idéntica a la que había entre los dos koalindres del caso anterior 4 a = a Para ver la relación entre a 2, a 3 y a polea 2 debeos tener en cuenta que las tres ecuaciones que heos planteado con la 2ª Ley de Newton están referidas a un sistea inercial, es decir, las aceleraciones a 1, a 2 y a 3 (así coo a polea 2) son aceleraciones absolutas La relación que establece el cable entre el koalindre 2 y 3 sin ebargo, es entre aceleraciones relativas dentro del sistea que foran los koalindres 2 y 3 con la polea 2 Para entendernos, lo que acelera hacia arriba el koalindre 2 (signo positivo) es lo iso que acelera hacia abajo (signo negativo) el koalindre 3, si a abos le restaos lo que ya está acelerando la polea y el cable de su sistea de por sí 5 a a = a a 3

4 Relación entre tensiones Hasta ahora teneos 5 ecuaciones y 6 incógnitas, así que necesitaos una ecuación adicional Esta ecuación viene por la relación entre T 1 y T 2 Coo puede verse en la figura: 6 T = 2T Si, coo e pasó a í, te asaltan dudas de que la anterior ecuación pueda ser deducida tan alegreente, hay una pequeña explicación dentro de un recuadro al final de este apartado Solución del sistea Teneos por 6 ecuaciones con 6 incógnitas Despejaos a 1 del sistea de ecuaciones: a = 1 3 g Luego el prier koliandre sube con un tercio de la aceleración de la gravedad 4

5 Explicación alternativa de la ecuación 6: 2ª Ley de Newton para la polea nº 2 Para calcular la relación entre T 1 y T 2, lo ás obvio es plantear la 2ª Ley de Newton sólo para la polea en sí, cortando de la siguiente fora: Ya sabeos que según el enunciado del problea las poleas no tienen asa Significa esto que no podeos aplicar esta ecuación? Según entiendo, asignándole una asa polea no haceos nada incorrecto, sino que resolveos el problea para un caso ás general (es decir, que seguraente hareos trabajo de ás, pero bienvenido sea si eso nos hace estar ás seguros de hacerlo bien) 6 a = T 2T g Si resolveos el sistea utilizando 6* en lugar de 6 obteneos: a = g Coo se ve, podeos darle valor 0 a la asa de la polea sin caer en ninguna indeterinación ni dividir por cero ni hacer nada prohibido, y llegaos al iso resultado que antes a = 1 3 g Adeás, si heos resuelto el sistea, tabién vereos que: T = 4 g + g 3 + si 0 T = 4 3 g T = 2 g si T = 2 3 g Por tanto, si la polea tiene asa despreciable T 1 valdrá el doble que T 2, coo antes habíaos dicho Aviso final sobre este asunto Mucho ojo! No vale intentar calcular a las bravas a polea 2 quitándose de en edio T 1 y T 2 en 6*(ya que T 1-2T 2=0), porque eso da lugar a una indeterinación, al tener un cero en el nuerador y otro en el denoinador 5

6 CASO 3: N MASAS (N-1 POLEAS) Vistos los dos casos anteriores, calcular el caso con N koalindres consiste sipleente en repetir los pasos anteriores, de anera ordenada y con cuidado 2ª Ley de Newton (N ecuaciones) a = T g a = T g a = T g a = T g a = T g a = T g Ojo, que las dos últias asas coparten polea, y por tanto la tensión en abas es T n-1 6

7 Igualdad de aceleraciones (N-1 ecuaciones) Para escribir correctaente estas ecuaciones hay que tener en cuenta qué cuelga de qué y quién coparte cuerda con quién a = a En la ecuación de a 2, el rol de a 3 ahora lo toa a polea 3 (el koalindre 2 coparte cuerda con la polea 3, ientras que cuelga de la polea 2) y así sucesivaente a a = a + a a a = a + a a a = a + a a a = a + a Relación de tensiones (N-2 ecuaciones) Si la explicación de antes nos ha convencido, podreos escribir sin iedo: T = 2T T = 2T T = 2T T = 2T 7

8 Solución del sistea Analíticaente, hasta aquí es donde he llegado Lo siguiente que he hecho es resolver el sistea ediante un prograa inforático para un núero cada vez ayor de koalindres y observar el patrón de las soluciones En la siguiente tabla se puede ver la expresión de a 1 en función del núero de koalindres: N a 1/g (expresión) a 1/g (fracción) a 1/g (núero) N Por tanto, en el problea planteado de infinitos koalindres, el priero de ellos experienta una aceleración hacia arriba de valor g/2 8