1 Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R 0103) Movimiento Rectilíneo Vertical. r g. ( ) gt. A( t) g. g r

Transcripción

1 Física General I Paralelos 5. Profesor RodrigoVergara R 3) Moviiento Rectilíneo Vertical ) Moviiento Vertical con aceleración constante Conocer aplicar las ecuaciones de posición, velocidad aceleración en el oviento vertical (caso particular del MRU) Conocer los casos: lanzaiento vertical hacia abajo, lanzaiento vertical hacia arriba caída libre. Para el caso lanzaiento vertical hacia arriba, definir calcular tiepo áxio altura áxia Resolver gráfica analíticaente probleas de encuentro entre dos cuerpos con Moviiento Vertical. Ecuaciones del Moviiento Vertical El sistea de referencia general para el oviiento vertical se uestra en la figura. Las ecuaciones del oviiento vertical están dadas por: gt [a] V t V [b] ( t) + V t ( ) gt ( t) g [c] onde (t): altura del óvil en función de t. V(t): velocidad del óvil en función de t. (t): aceleración del óvil en función de t. X: altura del óvil en t. : velocidad del óvil en t. g: celeración de gravedad. Para oviientos a nivel terrestre se considera constante (suposicion que se justificará cuando veaos gravitación) de valor 9,8 [/s ], aunque para efectos de cálculo se suele usar, [/s ]. El oviiento vertical es un caso particular de MRU donde a -g, por lo que todos los conceptos vistos para el MRU son válidos para el oviiento vertical. ependiendo del valor de, el oviiento vertical se puede clasificar en tres tipos: Lanzaiento vertical hacia abajo ( < ): Caracterizado por enunciados del tipo se lanza (tira) un cuerpo hacia abajo. Caída Libre ( ): Caracterizado por enunciados del tipo se suelta (deja caer) un cuerpo. r g Figura ) Sistea de referencia general para el oviiento vertical. Física General I Paralelos 5. Profesor RodrigoVergara R Lanzaiento vertical hacia arriba ( > ): Caracterizado por enunciados del tipo se lanza (tira) un cuerpo hacia arriba. Para el caso de probleas en los cuales solaente haa cuerpos en caída libre /o lanzaiento vertical hacia abajo, resulta conveniente usar el sistea de referencia ostrado en la figura. En él, las cantidades positivas apuntan hacia abajo, las ecuaciones de altura, velocidad aceleración quedarían expresadas de la siguiente anera: ( t) + t + gt [a] V t V + [b] ( ) gt ( t) g [c] Lanzaiento vertical hacia arriba En la figura 3 podeos distinguir tres instantes claves en el lanzaiento vertical hacia arriba: Instante (t ): El cuerpo se lanza velocidad de agnitud hacia arriba desde la altura inicial, epieza su ascenso. Instante (t Táx): El cuerpo alcanza su altura áxia áx. Se detiene en el aire, por lo que su velocidad tiene agnitud cero. espués epieza su descenso. Instante 3 (t Táx): El cuerpo vuelve a pasar por su nivel de lanzaiento, su velocidad tiene agnitud hacia abajo. En este caso, podeos distinguir dos paráetros iportantes: La altura áxia (áx) que puede alcanzar el cuerpo El tiepo áxio (Táx) que es el tiepo, a partir del instante de lanzaiento, que el cuerpo deora en llegar a áx. plicando la condición V(Táx) a la ecuación [b] se llega a V ( T ) g Táx Táx [3] g áx Sabiendo que áx (Táx), reeplazando [3] en [a]: Figura ) Sistea de referencia para el oviiento vertical para lanzaiento hacia abajo /o caída libre 3 Figura 3) Lanzaiento vertical hacia arriba

2 3 Física General I Paralelos 5. Profesor RodrigoVergara R áx ( Táx ) + Táx g Táx [4] + g + + g g g g g En la figura 4 se visualizan los gráficos de posición velocidad para un lanzaiento vertical hacia arriba. Se aprecia que, para el instante t Táx, el cuerpo alcanza su altura áxia áx tiene velocidad cero, ientras que para t Táx, el cuerpo vuelve a pasar por su altura inicial de lanzaiento, a una velocidad de agnitud, pero dirigida hacia abajo, en sentido opuesto al del lanzaiento inicial. áx (t) g 4 Ejercicio: Física General I Paralelos 5. Profesor RodrigoVergara R En la figura 5 se aprecian dos cuerpos que caen desde gran altura. Mientras el oviiento de es de caída libre, el de es un lanzaiento vertical hacia abajo con 5 [/s]. deás, está inicialente H 3 [] ás abajo que. Considere g [/s ]. Usando el sistea de referencia indicado en la figura : a) Si abos cuerpos parten siultáneaente, calcule el instante en que alcanza a la distancia que tuvo que recorrer para lograrlo. Figura 5) Situación de ejercicio de b) Si sale con 3 [s] de retraso con respecto Moviiento Vertical a, Lo alcanzará? c) Calcule el retardo T de para que, a partir de t T, la distancia entre sea constante. esarrollo: Pregunta a) En este caso, conviene usar el sistea de referencia ilustrado en la figura 6, en el cual todas las cantidades con dirección hacia abajo se definen coo positivas. sí, las ecuaciones de posición de son: H V(t) T áx T áx t ( t) H + g t 3 + t t ( t) V t + g t 5 t + t 5 t + 5 t En el instante en que alcanza a, (t) (t). Luego: 5 t + 5 t 3 5 t t 3 [ s] 5 - T áx T áx t Reeplazando en la ecuación para (t), se obtiene la distancia recorrida por hasta alcanzar a [ ] Figura 4) Gráficos de altura velocidad para un lanzaiento vertical hacia arriba. Pregunta b) En este caso, ha que considerar que parte con 3 [s] de retraso. Luego, las ecuaciones de posición de son:

3 5 Física General I Paralelos 5. Profesor RodrigoVergara R ( t) H + g t 3 + t t ( t) V ( t - 3) + g ( t - 3) 5 ( t - 3) + ( t - 3) 5 ( t - 3) + 5 ( t - 3) 5 t ( t 6 t + 9) 5 t t 3 t t 5 t + 3 En el instante en que alcanza a, (t) (t). Luego: 5 t 5 t t t 7 t 7 [ s] 5 Hasta aquí todo parece siilar a la pregunta a), pero ha un detalle: coo parte en t 3 [s], tendría que alcanzar a en un instante posterior a ese, el resultado obtenido para t es claraente enor t 3 [s] que 3, por lo que no corresponde a una solución físicaente válida. 5 [/s] Para analizar bien esta situación, veaos qué sucede con la velocidad de en el instante en que se lanza 48 [] hacia abajo. La velocidad de es igual a: V ( t) g t t l evaluar en t 3 [s], obteneos una velocidad de 3 [/s] hacia abajo. deás, en ese instante, la posición de es ( ) [ ] sí, la situación (que se ilustra en la figura 6), sería la siguiente: En t 3 [s], parte con 48 [] de ventaja sobre, su velocidad inicial es 6 veces aor que la de, tienen la isa aceleración (g). En esas condiciones, resulta evidente que jaás va a alcanzar a, que lo que sucederá es que se alejará cada vez ás de. Pregunta c) En este caso, ha que considerar que parte con T [s] de retraso. Luego, las ecuaciones de posición de son: ( t) H + g t 3 + t t 3 [/s] Figura 6) Situación de en t 3 [s] para la pregunta b. 6 Física General I Paralelos 5. Profesor RodrigoVergara R hora lo que se busca es que, después de t T, la distancia entre peranezca constante, esto es (t) (t) constante. Restando las dos ecuaciones de posición: [ ] [ 5 t - 5 T + 5 ( t - T t + T )] [ 5 t - 5 T + 5 t - T t + 5 T ] [ 5 t + t ( 5 - T ) 5 T + 5 T ] ( t) ( t) 5 ( t -T ) + 5 ( t -T ) 5 t t ( 5 - T ) + 5 T 5 T t ( T - 5) T 5 T Para que se cupla la condición de diferencia constante, el factor que acopaña al tiepo t tiene T - 5 T.5 s. que ser igual a cero. Luego, [ ] Se puede llegar a este iso resultado usando derivadas. Si la función F(x) (t) (t) es constante, entonces la derivada de F(x) tiene que ser cero. Es decir F' (t) t '( t ) '( t) ( t )' [ 5 ( t - T ) + 5 ( t - T ) ] t [ 5 + ( t T )] 5 + ( t T ) 5 + t T 5 T T.5[ s] ' La función de velocidad de abos cuerpos está dada por: V V ( t) g t t ( t ) V + g ( t -T ) 5 + ( t -,5) En t T, se aprecia que V(T) V(T) 5 [/s]. deás, en ese instante, la posición del cuerpo es ( ) [ ] En la figura 7 se ilustra la situación para t T. Los dos cuerpos tienen la isa aceleración (g) la isa velocidad inicial (5 [/s]), por lo que sus oviientos serán iguales. coo está a 4.5 [] delante de, se conclue que abos cuerpos estarán distanciados a 4.5 [] durante todo el traecto. 4.5 [] t T [s] Para este caso, se puede establecer que: Para t < T, el cuerpo se acerca a a edida que 5 [/s] abos caen, hasta que en ento dado lo alcanza. Para t T, los cuerpos se antienen a Figura 7 Situación de en t T [s] para la pregunta c distancia constante durante su caída. Para t > T, se va alejando de a edida que abos van caendo. 5 [/s] ( t) V ( t - T ) + g ( t - T ) 5 ( t - T ) + ( t -T ) 5 ( t - T ) + 5 ( t - T )

4 7 Física General I Paralelos 5. Profesor RodrigoVergara R ) Efecto de la resistencia del aire nalizar a nivel cualitativo el efecto de la resistencia del aire en la caída de los cuerpos. Calcular la velocidad terinal de un cuerpo en caída libre para dos odelos de resistencia de aire En los tiepos previos a las investigaciones del físico renacentista italiano Galileo Galilei, se sostenía la creencia (heredada de ristóteles) de que un cuerpo pesado se deora enos al caer que uno liviano. Galileo refutó esta creencia al hacer el siguiente análisis. Sean un cuerpo pesado un cuerpo liviano, coo los ilustrados en la figura 8. Si unios con un hilo, forando el cuerpo lo dejaos caer desde gran altura, la suposición de que cae con aor velocidad que lleva a dos conclusiones contradictorias entre sí (reducción al absurdo) Figura 8) nálisis de Galileo de la caída es ás liviano que cae ás de los cuerpos lento que En, frena a cae ás lento que. es ás pesado que cae ás rápido que. Para corroborar su razonaiento, Galileo Galileo se subió a la Torre de Pisa (ver figura 9), dejó caer dos cuerpos de diferente peso. nte la sorpresa de todos, los dos cuerpos llegaron juntos al suelo. Si usted deja caer una oneda un trozo de papel estirado desde una isa altura inicial, la oneda llegará priero. Pero si arruga el trozo de papel forando una pelota repite el experiento, abos cuerpos llegarán al iso tiepo (ver figura ). Esto se debe a que aire opone resistencia a la caída de los cuerpos. Mientras ás liviano sea el cuerpo, aor es la resistencia. l respecto, Galileo foruló la siguiente teoría: os cuerpos cualesquiera que se dejan caer siultáneaente en el vacío, van caendo siepre juntos, con iguales velocidades. Esto se aprecia en el clásico experiento de laboratorio ilustrado en la Figura 9) Experiento de Galileo en la Torre de Pisa Figura ) Experiento de la oneda el trozo de papel figura, en el cual se dejan caer dos cuerpos de diferente peso dentro de un recipiente sellado de cristal. Cuando está llena de aire, el cuerpo ás pesado llega antes al suelo, pero cuando se repite el experiento después de extraer el aire del recipiente con una boba de vacío, abos cuerpos 8 Física General I Paralelos 5. Profesor RodrigoVergara R caen al iso tiepo. Este efecto fue verificado en 969, durante el prier viaje del hobre a la Luna. El odelo idealizado de oviiento vertical analizado anteriorente desprecia el efecto de la resistencia del aire, lo cual resulta razonable a baja altura con cuerpos pesados. Sin ebargo, en la realidad, la resistencia del aire existe (ver figura ), su efecto es una fuerza de frenado o arrastre que se opone al auento de rapidez del cuerpo que depende directaente de la velocidad de caída. Transcurrido un tiepo de la caída, el peso la resistencia del aire se igualan el cuerpo cae con velocidad terinal constante. En la figura 3 se uestra un cuerpo de asa caendo a gran altura desde el reposo. En la situación inicial (figura 3a), a velocidad inicial del cuerpo es cero. La fuerza de frenado es cero el cuerpo cae efectivaente en caída libre. Pero a edida que auenta la velocidad, auenta la fuerza de frenado, disinuendo la aceleración neta del cuerpo (figura 3b). Finalente, en el oento en que la fuerza de frenado se iguala al peso, el cuerpo adquiere una velocidad terinal vt (figura 3c). En general, la agnitud de la fuerza de frenado puede depender de la velocidad de foras u coplejas. Para efectos de este curso, se van a considerar dos odelos: Modelo ) sue que la fuerza de arrastre es directaente proporcional a la velocidad del objeto, esto es: Figura ) Caída de cuerpos en el aire en el vacío ( v ) b v [5] Figura ) Efecto de la resistencia del aire en la caída de los cuerpos. g g g onde v es la velocidad instantánea del cuerpo, b es un coeficiente de roce viscoso, que depende de las propiedades del cuerpo (taaño fora) de las propiedades del aire, especialente su densidad. Este odelo es válido para objetos que caen lentaente en el aire, para objetos u peqiueños, coo partículas de polvo. El signo enos de [5] indica que la fuerza de arrastre se opone al auento de velocidad. (a) (b) (c) Figura 3) Moviiento vertical con fricción de aire. (a) Situación de inicio; (b) Situación transiente; (c) Situación terinal.

5 9 Física General I Paralelos 5. Profesor RodrigoVergara R plicando la º Le de Newton al cuerpo de asa b g b v a a g v [6] donde a es la aceleración neta del cuerpo. Cuando se alcanza la velocidad terinal, a. Finalente: b g g v v vt b [7] Posteriorente, deostrareos que, para este odelo, la velocidad del cuerpo v(t) es una función exponencial. Modelo ) sue que la fuerza de arrastre es directaente proporcional al cuadrado de velocidad del objeto, esto es: ( v ) v α [8] onde v es la velocidad instantánea del cuerpo, α es una constante de proporcionalidad que depende de las propiedades del cuerpo (taaño fora) de las propiedades del aire, especialente su densidad. Este odelo es válido para objetos de aor diensión que se desplazan a grandes velocidades. El signo enos de [8] indica que la fuerza de arrastre se opone al auento de velocidad. plicando la º Le de Newton al cuerpo de asa g α α v a a g v [9] donde a es la aceleración neta del cuerpo. Cuando se alcanza la velocidad terinal, a. Finalente: α g g v v v [] α T Esta situación será analizada con ás detalle cuando veaos roce viscoso.